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2025 A．1:3 B．1: 4 C．1:5 D．1: 25年下学期岳阳市第十中学九年级第一次月考
10 4.如图，点 A、B在反比例函数 y (x 0)图象上，连接 AB 并延长与反比例函数 y 1 (x 0)x x 图象相
数学学科试卷
1
交于点C，连接OA与反比例函数 y (x 0)x 图象交于点D，若 AB 2BC，则 ABD面积为（ ）
时间:120分钟 满分:120分
A． 3 B．2 C． 5 D． 6
一、选择题（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． x 1 2 B． x 2y 1 C． 2 + 1 2 = 0 D． x2 4x 3

2.已知 a，b，c，d是比例线段，若 = 2， = 3， = 4，则 d的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3.若关于 的一元二次方程 2 + 2 + 2 4 = 0的一个实数根为 0，则 等于（ ）
A．±2 B．2 C． 2 D．0 第 4题图 第 8题图 第 9题图 第 10题图
4.如图， AD∥BE∥CF，若 AB 4,BC 8,DE 3，则DF的长是（ ） 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 11. 2一元二次方程 x 8x 5 0的一次项系数是 ．
5.晟晟将方程 2 4 2 = 0化为( + )2 = 的形式时，得到 p的值为 2，q的值为 6，则晟晟所 a 2 a 2b
得结果（ ） 12.已知 ，求 ．
A．不正确，p的值应为﹣2 B b 3 b．不正确，q的值应为 2
C．不正确，q的值应为 4 D．正确 13.若 y 2xa 2为关于 x的反比例函数，则 a的值是 ． 第 14题图
6. 2关于反比例函数 = 图象，下列说法错误的是（ ）
14.如图， ，添加一个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中
A．点(2， 1)在它的图象上 B．若 > 1，则 > 2 能判定 的有 ．（填符合要求的所有序号）
C．它的图象在第二、四象限 D．当 > 0时，y随 x的增大而增大 15.已知：关于 x的一元二次方程 x2 6x k 0没有实数根，点 A(-5,a)，B(-4,b)，
7. 在同一平面直角坐标系中，函数 = + 1( ≠ 0)和 = ( ≠ 0)的图象可能是（ ） k
都在双曲线 y 上，则 a b （用“ ”、“ ”或“ ”填空 )
x
16.如图，在Rt△ABC中， ACB 90 ，CD AB于 D，若 AD 2，BD 8，则CD长 第 16题图
为 ．
17.把直线 = + 5 m y
1
的图象向下平移 个单位，与反比例函数 mx的图象只有一个交点，则 的
A． B． C． D 值为 ．．
8. 18.我们约定：在平面直角坐标系中，若点 , 满足 + = 10，我们就说 点是该平面直角坐标如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是 6cm，
系内的“大十中”点，若函数图象上存在一个或以上的“大十中”点的函数我们称之为“幸福函数”．
则蝴蝶身体的长度约为（ ）
24
（1）若反比例函数 = 是“幸福函数”，则 2,12 ．（填“是”或“不是”）该函数图A. 3 5 -3 cm B. 9 -3 5 cm C. 3 5 3 cm D. 2 5 -1 cm
1
9.如图，D 、E 分别是△ABC的边 AB、BC上的点，且 DE AC， AE、CD相交于点 O ，若 象上的“大十中”点。（2）若反比例函数 = 的图象上存在两个“大十中”点为 1, 1 ， 2, 2 且 + 1
S DOE：S COA 1: 25，则 BD与 DA的比是（ ） 1 = 3，求 的值为 ．
2
三、解答题（共 8 题，66 分） 325. 如图，已知直线 y x 4与反比例函数 y x的图象交于点 A，B，点 P是
y轴上一动点，连接 PA，
19.解方程
PB
(1) 2 2 = 0 (2) 2 2 4 + 1 = 0 ．(1)求点 A，B的坐标；
(2)当点 P运动时，△PAB的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点 P的坐标和周长的最
小值；若不存在，请说明理由；
20. 3已知线段 a、b满足 : = 3: 2，且 + 2 = 42． (3)点N 在 x轴正半轴上，点M 是反比例函数 y x 0x（ ）的图象上的一个点，点 Q为平面内
(1)求线段 a、b的长；
(2) c a b c 任意一点，是否存在以 A、Q、
M 、N为顶点的四边形是正方形？若存在，求出所有满足条件的点
若线段 是线段 、 的比例中项，求线段 的长．
M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21.如图， 平分∠ ， 为 中点，∠ = ∠ ，求证： = 2 ．
22.已知关于 x 2的一元二次方程 c a x 2bx c a 0，其中 a，b， c分别为△ABC三边的长． 26.
(1) 【问题解决】若△ABC是等边三角形，求方程的根； (1)在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图 1，已知正方形 ABCD，正方形CEFG(2) ．将正若△ABC是直角三角形，且 c为斜边长，试判别方程根的情况．
方形CEFG绕点 C旋转，连接 BE，DG，则 BE与DG的数量关系为 ；位置关系为 ；
【问题探究】
(2)创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图 2，在矩形 ABCD和矩
形DEFG中， AD 2DE， AB 2DG， AD DG，将矩形DEFG绕点 D旋转，直线 AE，CG交于点 P，
23. k如图，O为坐标原点，直线 y1 k1x b与双曲线 y 22 相较于点 A( 1,5)和点 B(m, 1)x 两点． AE与CG有怎样的数量和位置关系？请你给出证明．
(1) 【拓展延伸】求反比例函数与一次函数的表达式；
(2) AOB (3)善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图 3，四边形
ABCD是矩形， AB 2， BC 4，
求△ 的面积
点 E是 AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG :CE 1: 2，连接 BG，DG，BE，
(3)当 y1 y2时，请直接写出 x的取值范围．
求 BG
1
BE
2 的最小值．
24.暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，某体育用品店开展羽毛球拍促销活动．
(1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月羽毛球拍销售量逐月提升，已知 6月共销售羽毛球拍
500副，每月的月销售增长率相同，8月共销售 845副，求该羽毛球拍 6月份到 8月份销售量的月
平均增长率；
(2)已知某体育用品店羽毛球拍平均每天可销售 40副，每副盈利 30元，每下降 1元，则每天可
多售 8副，在每副降价幅度不超过 10元的情况下，如果每天要盈利 2000元，则每副羽毛球拍应
降价多少元？2025 年下学期岳阳市第十中学九年级第一次月考
数学学科试卷（答案）
一、选择题（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1-5 DDABA 6-10 BCABC
二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
8
11. -8 12. _ 3 ___
13. 1 14. ① ② ④
15. < 16. 4
17. 3 或 7 18. 是 , 5 或-2
三、解答题（共 8 题，66 分）
19.(1) 1 = 1， 2 = 2；
(2) = 1 + 21 ， 2 = 1
2
2 2
20.（1）解：∵ : = 3: 2，
∴设 = 3 ， = 2 ，
∵ + 2 = 42，
∴ 3 + 4 = 42，
∴ = 6，
∴ = 18， = 12，
∴线段 的长为 18，线段 的长为 12．
（2）解：∵线段 是线段 、 的比例中项， = 18， = 12，
∴ 2 = = 216，
∵由题意知， > 0，
∴ = 6 6，
∴线段 的长为 6 6．
21.证明：∵ 为 中点，
∴ = 2 ，
∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
= = 2 ∴ = 2，

∴ = 2 ．
22.解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴ a b c，
∴方程变为 2ax2 2ax 0，即：，
解得： x1 0， x2 1；
（2）∵△ABC是直角三角形， c为斜边，
∴ a2 b2 c2，
2
∴Δ 4b 4 c a c a 4 b2 c2 a2 0，
∴方程有两个相等的实数根．
23. k（1）解： 点 A( 1,5)和点 B(m, 1)均在反比例函数 y2 2x 图象上，
k2 1 5 m ( 1)，
k2 5，m 5，
B(5, 1)， y
5
2的函数表达式为 y2 ，x
点 A( 1,5)和点 B(5, 1)在直线 y1 k1x b上，
k1 b 5 k 1 1
5k1 b 1
，解得 ，
b 4
y1的函数表达式为 y1 x 4；
（2）解：在函数 y1 x 4中，令 x 0，得 y1 4，
直线 AB交 y轴于 (0,4)，
S△AOB=12
k
（3）解： A( 1,5)， B(5, 1)是直线 y k x b和反比例函数 y 21 1 2 x 的交点，
观察图象可知： x 1或0 x 5时， y1 y2；
24.（1）解：设平均每月增长率为 x，
根据题意得：500 1 + 2 = 845，
解得： = 0.3 = 30%或 = 2.3（舍去），
答：该增长率为 30%；
（2）解：设每副羽毛球拍降价 y元，则每副羽毛球拍盈利 30 元，平均每天可售出 40 +
8 副，
根据题意得： 30 40 + 8 = 2000，
即 2 25 + 100 = 0，
解得： = 5 或 = 20（舍去），
答：每副羽毛球拍应降价 5元．
y x 4
x 3 x 1
25.(1)解：联立 y 3
，解得： 或y 1
，
y 3 x
∴点A的坐标为 3,1 ，点 B的坐标为 1,3 ；
(2)作点 B的关于 y轴的对称点 B 1,3 ，连接 AB ，
设直线 AB 的解析式为 y kx b，将点 A 3,1 ， B 1,3 代入，
1 3k b 1 5
得： ，解得： k ，b ，
3 x b 2 2
1 5
∴直线 AB 的解析式为 y x ，使直线与 y轴的交点为 0,
5
2 2 2
，

5
∴当点 P的坐标为 0, 时，PA PB有最小值，此时 PAB的周长最小，为2 2 2 + 2 5
．

(3)若A、Q、M 、N为顶点的四边形是正方形，则 AMN 是以点A为直角顶点的等腰直角
三角形。
3
设点M 坐标为 x, ，
x
①如图 2，当点M 在点A左侧时，过点A作 x轴垂线，垂足为点D，
过点M 作 y轴的垂线，与DA相交于点C，则： ACM ADN 90 ，C点的横坐标
为 3，
∵ AMN 为等腰直角三角形，
∴ AM AN ， MAC DAN AMC MAC 90 ，
∴ DAN AMC，
∴ ACM≌ NDA AAS ，
∴CM AD，
∴3 x 1，解得： x 2，

∴点M 坐标为 2,
3
2
；

②如图 3，当点M 在点A右侧时，过点M ，N 作 y轴的平行线与过点A作 y轴的垂线交于
点 E， F ；
同理可证： AEM≌ NFA，可得： AE NF，
即： x 3 1，解得： x 4．
4, 3 ∴点M 坐标为 ；
4
2, 3 4, 3 综上所述：点M 坐标为 2
和 4
．

26.解：（1）∵正方形 ABCD，
∴ BCD 90 ，CD CB，
∵四边形CEFG是正方形，
∴ ECG 90 ，CG CE，
∴ ECG BCD 90 ，
∴ BCE DCG，
在 BCE和△DCG中，
BC DC

BCE DCG，

CE CG
∴ DCG≌ BCE SAS ，
∴DG BE，
故答案为：DG BE；
（2）CG 2AE，理由如下：
在矩形 ABCD和矩形DEFG中，
GDE ADC 90 ，
∴ ADC ADG GDE ADG，
∴ GDC = ADE．
又∵ AD 2DE， AB 2DG， AD DG，
DG DC
∴ 2，
DE AD
∴ CDG∽ ADE ，
CG DG
∴ 2．
AE DE
∴CG 2AE；
（3）∵四边形 ECGF 、四边形 ABCD都是矩形，
∴CD AB 2， AD BC 4， ECG BCD 90 ，
∴ DCG BCE，
∵CD :CB 2 : 4 1: 2，CG :CE 1: 2，
∴CD :CB CG :CE，
∵ DCG BCE，
∴△DCG∽△BCE，
DG CG 1
∴ BEC DGC， ，
BE CE 2
1
∴DG BE，
2
作 EN BC于 N，GM BC交 BC的延长线于 M，如图 3，
∵ ENC CMG ECG 90 ，
∴ ECN GCM ECN CEN 90 ，
∴ GCM CEN，
∴△ECN∽△CGM ，
EC EN
∴ 2，
CG CM
∵ EN AB 2，
∴CM 1，
∴点 G的运动轨迹是直线MG，
作点 D关于直线MG的对称点G ，连接BG 交MG于 G，此时BG GD的值最小，最小值
为BG ，
∵DG
1
BE，
2
∴ BG
1
BE BG DG ，
2
∴ BG
1
BE的最小值就是 BG DG 的最小值，
2
∵ BG 22 62 2 10，
∴ BG
1
BE的最小值为
2 2 10
．

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