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2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
2．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C． D．14
4．如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．D．E分别是的边、上的点，，如果，，那么的长是（ ）
A．12 B．22.5 C．25 D．6
8．在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
9．下面立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线，顶点坐标为，与轴的一个交点在0和之间．下列结论：①；②若，两点都在函数图象上，则；③；④关于的方程没有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．因式分解：________．
12．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
13．一元二次方程的两根分别为，则_____
14．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________．
15．如图，已知A，B，D三点在上，，则_______°．
16．如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点的坐标为，则点的坐标是________．
17．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________．
18．如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交的延长线于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则________．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
(1)将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出；
(2)画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标．
20．（6分）计算与化简求值：
(1)；
(2)，其中．
21．（6分）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
22．（8分）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
23．（8分）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．（8分）如图，直线 与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点
(1)求反比例函数的解析式及点的坐标；
(2)求的面积．
25．（6分）已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：．
26．（8分）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为．
(1)求的度数；
(2)求建筑物的高度．
27．（10分）如图，抛物线经过三点，交轴于点．
(1)（3分）求a，b的值；
(2)（3分）在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积；
(3)（4分）点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1-5 CAAAB 6-10 AABCD
11． 12． 13．2 14．
15．100 16． 17． 18．
19．（1）即为所求，如下图所示；（2）即为所求，且
20．(1)； (2)，
21．（1）设年平均增长率为x，根据题意得，，
解得或（舍去），
答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；
（2）按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元，
答：不能实现目标．
22．（1）证明如下：
∵边绕点旋转到的位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）连接，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）连接，如图2所示：
∵，
∴，
∴为的直径．
∵，
∴，
设的半径为，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得，
∴．
∴．
24．（1）∵点在直线 上，
∴，
∴，
设反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
对于直线 ，当时，，
解得，
∴，
∵过点作轴的垂线交反比例函数于点，
∴点的横坐标为，
∴，
∴点的坐标为；
（2）设直线的解析式为，
把、代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴,
∵，
∴，
∴的面积．
25．如图，过点作，交于点．
是边上的中线，
，
，
，
．
，
，即，
．
26．（1）过点作于点，如图，
则，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∴；
（2）过点作于点，过点作于点，如图，
∵，
∴
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴；
又，
∴，
∵，即，且，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
又，
，
∴，
∴，
∴．
27．（1）将代入，
得到，
解得，
故抛物线解析式为，
将代入解析式，得，
解得；
；
（2）抛物线解析式为，
，
对称轴为直线，
连接，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，
当时，，
，
；
（3）①当点在轴下方时，如图，
∴
抛物线的对称轴为直线，，
∴点纵坐标为，
将代入，
解得或（舍去），
;
②当点在轴上方时，
过点作轴于点，
在和中，
，
，即点的纵坐标为，
，
解得或
或，
综上所述，符合条件的坐标为或或．

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