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浙江省开化中学等五校2025-2026学年第二学期期中考试
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，轴且，则的面积是( )
A. B. C. D.
5.若正实数，满足，则下列不等关系一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在四边形中，，分别为，的中点，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于年拆除后在年重建，某同学为了估算天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内，若在处测得塔尖的俯角为，在处测得塔底的俯角为，同时测得塔尖的俯角为，且，则由此算得衢州天王塔的高度为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则( )
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥外接球的表面积为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
13.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 ．
14.函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在封闭图形中，段是以直线上的点为圆心，长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积．
16.本小题分
已知，是平面内两个不共线的向量，，，．
若，，三点共线，求实数的值；
若，，是钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调增区间；
将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答；；．
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知_________．
求角；
若，．
(ⅰ)若，求的最大值；
(ⅱ)若为锐角三角形，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，函数．
若，判断函数的奇偶性并证明；
是否存在实数，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
若关于的方程在区间上只有一解，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：过点作，垂足为，则，，
所以，
；
．

16.解：，，
若，，三点共线，即，共线，
即存在实数使得成立，
即，即，
则，所以，
是钝角，则且与不共线，
又，，，
即，即，
又与不共线，即，
综上，且．

17.解：，
令，，解得，，
则的增区间为，．
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象，
则，
已知在区间上有两个不同的零点，
等价于方程在区间上有两个不同的实根，
令，则，
则与图象有两个不同的交点，
因为，故其图象如图：
则，所以实数的取值范围．

18.解：选，
则，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
选，
则，
所以，即，
所以，又因为，所以；
选，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，又因为，所以
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为；
(ⅱ)因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以
所以实数的取值范围为．

19.解：当时，为上的偶函数理由如下：
当时，，
，为上的偶函数．
可作在上的草图．
当，则在上单调递减，
两式相除整理得，
与相矛盾．
当，则在上单调递增，
，可以理解为在上有个不同实根．
令，，
，，，
要使有两个不等实根，则．
当，则在上单调递减，
两式相除整理得，
，，，
此时
综上所述：或．
，
关于的方程在区间上只有一解，
可转化为在区间上只有一解，
即在区间上只有一解，
当时，，所以
，
另一方面，还需在区间上恒成立．
恒成立，．
综上所述：的取值范围为．

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