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2026 解三角形大题训练（一）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、解答题（本大题共 30 小题）
1．[2026 湖南株洲·模拟，15 分]已知 a、b、 c分别为 ABC内角 A、B、C的对边，
a bcosC csinB．
（1）求 B；
（2）若b 5， c 2，求 ABC的面积．
2．[2026 广东深高·月考，15 分]和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公
式，是三角函数中的一组恒等式，其中有 cos cos 2cos
cos ，已知锐角
2 2
ABC内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 sin2 A sin2C 1 2cos2 B．
（1）求 tan A tan C 的最小值；
π π
（2）若b 2，C , ，求 ABC的面积 S的取值范围．
6 4
3．[2026 广东·月考，15 分]记 ABC的内角 A、 B、C的对边分别为 a、b、c，已知
a 2，b 3．
（1）若 c 7，求 ABC的面积；
（2）若1 cosB 2cos2A，求 c．
4．[2026 福建三明·月考，15 分]在 ABC中内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，且
a(sin B 3 cosB) 3c．
（1）求 A；
（2）若 cosBcosC
1
，
8 a 2 2
，求 ABC的面积S．
5．[2026 北京 55 中·月考，15 分]已知 ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b，
c，且 cos 2A cos 2C 2sin2 B 2sin AsinB．
（1）求 C．
（2）若 a 4，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使 ABC存在且
唯一确定，求 ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
① BC边上的中线长为 19；② c 13；③角C的平分线长为 4 3．
3
6．[2026 辽宁大连·二模，15 分]如图，在等腰Rt△ABC中，CA CB 1，
ACB 90 ，D为边 AB上的一动点，连接 CD，作 BE CD，垂足为 E，且 E在线段 CD
上（不包括端点 C，D）．
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（1）若 ACD 30 ，求 AD的长度；
S
（2）求 ACDS 的取值范围． BCE
7．[2026 湖北黄高·月考，15 分]锐角三角形 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a,b,c，
且满足 sin2C sin2B cos2A sinBsinC 1．
（1）求角 A；
a
（2）设H为锐角三角形 ABC的垂心，求 的值．
AH
8．[2026 江西康中·月考，15 分]已知锐角 ABC的三个内角 A，B，C所对的边分别为
a，b，c， cos2A cos2C 2cos2B 2sinAsinC．
（1）求角 B的大小；
（2）求 cosA cosC的取值范围．
9．[2026 江苏·二模，15 分]在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知
a 2，b c，bcsin2 A 1 ．
2 4
sinC sinB
（1）求 的值；
sinA
π
（2）证明： B ．
6
10．[2026 辽宁大连·一模，15 分]在 ABC中，D为 AC边上一点，CD 3， BC 8，
BD 7 .
（1）求 sin BDC的值；
（2）若 A 60 ，求 AD的长.
1
11．[2026 山西高平一中·一模，15 分]在 ABC中，C 2A 2B,sinB ．
7
（1）求 cos A；
（2）若 BC 11，求 ABC的面积．
12．[2026 天津和平·一模，15 分]在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且
2a 3c b a
．
3a 3b c
（1）求 cosB的值；
（2）已知acosC ccosA．
（i）若 ABC的外接圆半径为 3 2 ， 6b 4a，求b,c的值；
2
π
（ ii）求 cos 4A 的值．
4
13．[2026 河南开高·月考，15 分]如图，实地测量中，在岸边选了 3个位置 A,B,C,D在
对岸处，下面得到了一些参数．已知： AB 2，BC 3， ABC BAD 120 ，
cosC 1 ．
7
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（1）求 AC的长度；
（2）求 tan DBC的值．
14．[2026 天津河北·一模，15 分]在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，
已知b 2 2， c 4， BAC 135 ．
（1）求 a的值；
（ 2）求 sin 2B
π
的值；
4
S
（3）过点 A作 AD AB，D在边 BC上，记△ ABD与 ACD的面积分别为 S1， S ，求 12 S2
的值．
15．[2026 云南昭一中·开学摸底，15 分]在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，
且满足b2 c2 a2 bc .
（1）求角 A；
（2）若 ABC的面积为 3，且b 2c，求 ABC的周长.
1
16．[2026 福建福州·月考，15 分]在△ABC中，a=3，b c=2，cosB= ．
2
（Ⅰ）求 b，c的值；
（Ⅱ）求 sin（B–C）的值．
17．[2026 海南嘉中·开学摸底，15 分]已知 ABC的周长为 2+1，且
sin A sin B 2 sinC .
（1）求边 AB的长；
1
（2）若 ABC的面积为 sinC，求角C的度数.
6
18．[2026 山东东营·一模，15 分]已知 ABC的角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，

向量 m a,b ，n 3cosA,sinB ， p b c,a c .
（ ） m //n 1 若 ，求 A；
m p c 2 C π（2）若 , , ，求 ABC的面积.
3
19．[2026 云南昆明·临考冲刺，15 分]已知 ABC中的内角 A， B，C所对的边分别为
a，b， c，满足b cosC c cosB
a
.
2cos A
（1）求 A；
1 1
（2）若b 1，函数 f x sin cx A 的图象经过点 P 0, ，求 f x 的解析式.a 2
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20．[2026 河北·一模，15 分]△ABC中，已知内角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，且
c 2acosB 1
满足 .
c 2
π
（1）当 A 时，求cosB；
3
（2）若 a=2，当 tan B A 取最大值时，求 c .
21．[2026 重庆渝北·月考，15 分]在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，
sin A cos B cosC
.
cos A sinC sin B
（1）求 A；
（2）若D是边 BC上一点， AD DC 2BD， c 1，求 ABC的面积.
22．[2026 山东省青州第一中学·二模，15 分]设 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为
a π b c，b，c，且有 2sin B ．
6 a
（1）求角 A；
（2）若 BC边上的高 h 3 a，求 cosBcosC．
4
23．[2026 重庆市第一中学校·月考，15 分]在 ABC中，内角 A,B,C 对边的边长分别是
a,b,c π，已知 c 2,C .
3
（1）若满足已知条件的 ABC恰有一个，求边长 a的取值范围；
（2）若 sinC sin B A 2sin 2A，求 ABC的面积.
24．[2026 安徽芜湖一中·月考，15 分]记 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a，b，c，
c b 3
已知 a 3， 1.b c bc
（1）求 A；
（2）若 sin B
3
sinC ，求 ABC的面积.
2
25．[2026 青海朔山中学·月考，15 分]在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，
且 c(2 cos A) a cosC ．
（ ） b1 求 的值；
c
2π
（2）若 A ,b 6,BC 3BD，求 AD的长．
3
26．[2026 河南信高·月考，15 分]如图，在四边形 ABCD中，
AC 2 7,CD 2AD, 2π ADC ．
3
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（1）求 sin DAC的值；
（2）若 BAC 2 DAC，且 ABC的面积是 ACD面积的 4倍，求 AB的长．
27．[2026 广东惠州一中·月考，15 分]在 ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b，
c，且 3asinC ccos A c 0 .
（1）求 A；
（2）若 sin B sinC 11 3 ，a 7，求 ABC的面积.
14
28．[2026 重庆市育才中学·月考，15 分]已知 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为
a，b， c，且 (sinB sinC)2 sin2A sinBsinC．
（1）求 A的值；

（2）点D是 BC边上一点，且BD 2DC，若 AD 4，求 ABC面积S的最大值．
29．[2026 安徽阜阳·模拟，15 分]已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，
已知 a 6， c ccosA 6 3sinC .
（1）求 A；
（2）若角 A 的平分线交 BC于点D， 在下列两个问题中选择一个作答:
①若 AD 3 3， 求 ABC的周长；
②若△ ABD的面积为 ACD面积的两倍， 求 AD的长.
30．[2026 甘肃康县第一中学·一模，15 分]已知 ABC中， a,b,c是角 A,B,C 所对的边，
asin A C bsinA .
2
（1）求角 B的大小；
（2）已知 a b 1 .
（i）如图①，在 ABC的边 AB,BC上分别取D,E两点，若 AD DE，求 AD长度的最小
值；
π
（ii）如图②，D,E,F分别在边 AB,BC , AC上，DE EF , EDF ，求 DEF面积的最
6
小值.
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参考答案

1．【答案】（1） ；
4
（ 32） .
2
【详解】（1）由已知及正弦定理得 sinA sinBcosC sinCsinB ，
∵ sinA sin B C sinBcosC cosBsinC，C∈(0，π)，sinC≠0，
∴ sinB cosB，即 tanB 1，∵B∈(0，π)，∴ B ；
4
（2）由余弦定理b2 a2 c2 2accosB得 a2 2a 3 0，解得 a 3或 a 1 (舍)．
S 1 3∴ ABC acsinB .2 2
2．【答案】（1）2 3
3 3
（2） ,
3
5 2
【 】（ ） sin 2 A sin 2 C 1 cos 2A 1 cos 2C详解 1 因为
2 2
1
1 cos 2A cos 2C 1 cos A C cos A C
2
1 cosBcos A C ，
又根据题意1 cosBcos A C 1 2cos2 B，
则 cosBcos A C 2cos2 B 0，
cos B cos A C 2cos A C 0，
cosB 3cos AcosC sin AsinC 0，
则 cosB 0（舍）或 sin AsinC 3cos AcosC，
由 sin AsinC 0，有 cos AcosC 0，则 tan A tanC 3，
所以 tan A tanC 2 tan A tanC 2 3 ，
π
当且仅当 tan A tanC 3，即 A B C 时取等号，3
所以 tan A tan C 的最小值为 2 3；
a 2 c 2sin A 2sinC
（2）在 ABC中，由正弦定理有 ，则 a ， c ，
sin A sin B s inC sin B sin B
S 1 2sin A 2sinC sin B 2 sin A sinC 2sin A sinC则
2 sinB sinB sinB sin A cosC sinC cosA
2 tan A tanC 6
，
tan A tanC tan A t anC
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由函数 f 3 π π 3x 3 x 在 ,1 上单调递减，C , ，则 tanC ,1 ，x 3 6 4



3



有 tan A tanC tanC
3
4,
10 3
，tanC 3

S 3 3 , 3

∴ ，
5 2
3 3 3
综上， ABC的面积S的取值范围是 ,5 2 .
3．【答案】（1） 3 3
2
5
（2）
2
【详解】（1）因为 a 2，b 3， c 7，
2 2 2
由余弦定理可得 cosC a b c 4 9 7 1 ，
2ab 2 2 3 2
因为C 0, π ， π所以C ，
3
故 ABC的面积为 S 1 ABC ab sinC
1
2 3 3 3 3 .
2 2 2 2
（2）因为1 cosB 2cos2A，所以 cosB 2cos2 A 1 cos2A，
π
由 a b 可知 A为锐角，即 A 0, ，
2
又因为 B 0, π 且余弦函数 y cos x在 0, π 上单调递减，
a b 2 3 3
由正弦定理得 ，即 ，
sin A sin B sin A sin 2A 2sin Acos A
所以 cos A
3
，故 sin A 3
2 7
1 cos2 A 1 ，
4 4 4
所以 sinC sin A B sin A 2A sin Acos 2A cos Asin 2A
sin A 2cos2 A 1 2sin Acos2 A sin A 4cos2 A 1 ，
a c
由正弦定理 得
sin A sinC
a sinC 2sin A 4cos 2 A 1 c 2 4cos 2A 1 2 4 9 5 1 .
sin A sin A 16 2
4．【答案】（ π1） A
3
（2） 3
【详解】（1）由正弦定理知
sin A(sin B 3 cos B) 3 sinC 3(sin AcosB cos Asin B)．
∴ sin Asin B 3 cos Asin B ，∵ B (0, )，∴ sin B 0，
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∴ tan A 3， A (0,π)，∴ A
π
．
3
（ 2π2）法一：由（1）知 B C ， cos(B C) cos BcosC sin BsinC
1
，
3 2
∴ sin BsinC
3
．
8
bc a 2 32 3∴ 8 4 ，∴bc 4，∴ S 1 3 4 3．
sin BsinC sin 2 A 3 3 8 2 2
： （ ） B C 2π
1 3
法二 由 1 知 ， cos(B C) cos BcosC sin BsinC ，∴ sin BsinC ．
3 2 8
2R a b c 4 2 4 6由正弦定理可得 ．
sin A sin B sinC 3 3
∴ S 2R 2 sin AsinB sinC 3 ．
5．【答案】（ ） π1
3
（2）选① 5 3；选②不合，因为三角形不唯一；选③ 2 3 .
【详解】（1）由二倍角公式得：1 2sin2 A 1 2sin2 C 2sin2 B 2sin Asin B，
整理得：sin2C sin2 A sin2 B sin Asin B，
sin A a b c由正弦定理得： ， sin B ， sinC ，代入上式可得：
2R 2R 2R
( c )2 ( a b )2 ( )2 a b ，即 c2 a2 b2 ab，
2R 2R 2R 2R 2R
1
由余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC ，可得 2cosC 1， cosC ，
2
C π因为0 C π，所以 .
3
（2）若选条件①，记 BC边上的中线为 AD，则 AD 19，
在△ADC中，由余弦定理得 AD2 AC 2 CD2 2AC CD cos C，
即19 b2 4 4b
1
，解得b 5或 3（舍），
2
所以 S 1△ ABC ab sinC
1 3
4 5 5 3 .
2 2 2
若选条件②，在 ABC中由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC ，
即13 b2 16 4b，解得b 1或 3，此时与题目中 ABC存在且唯一确定矛盾；
若选条件③，记角C的角平分线为CE，CE 4 3 ，在 CEB中，由余弦定理得：
3
EB CE2 BC 2 2CE BC cos ECB 16 4 3 3 4 3 16 2 4 ，
3 3 2 3
∵CE EB 4 3 ， B ECB
π A π ， π B C ，
3 6 2
∵a 4 b 2， c a2 b2 16 4 2 3，
S 1 bc 1 ABC 2 2 3 2 3 .2 2
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6．【答案】（1） 6 2
2
S
（2） △ACD 2 2 2,1S △BCE
【详解】（1）在△ADC中， ACD 30 ， BAC 45 ，
AD 1
由正弦定理可得， sin 30 sin 180 75 ，
1 1
AD sin 30 2 2 6 2∴ sin 75 sin 30 45 2 .1 2 2 3
2 2 2 2
3π
（2）不妨设 ACD ，则 CBE ， ADC ，BE cos ，
4
π
CD AC sin
在 ACD中，由正弦定理得 CD 4 ，
sin A sin ADC sin(3π )
4
π
S ACD AC CD sin ACD CD
sin
4 2则 S BCE BC BE sin CBE BE sin 3π π
，


4
cos 1 2 sin 2
4
2 0, π 2 π π , 3π π
2
由于 ，得 2 4 4 4 ，∴
sin 2 ,1 ， 4 2
π S
∴1 sin 2 2,1 2 ，∴ ACD 2 2 2,1
4 S
.
BCE
7．【答案】（ ） A π1
3
（2） 3
【详解】（1）由条件知： sin2C sin2B sin2A sinBsinC，由正弦定理可得
c2 b2 a2 bc，
2 2
所以 cosA b c a
2 1
，则 A
π
；
2bc 2 3
（2）设 AD垂直于 BC于 D，BE垂直于 AC于 E，AD与 BE交于垂心 H，
则 CEB CDA 90 ，故 AHB DHE 180 C，
有 ABH 90 BAE，则 sin ABH sin 90 BAE cos BAE，
设 ABC外接圆半径为 R，在 ABH 中用正弦定理：
AH AB AB AB 2R AH
sin ABH sin AHB sin 180 C sinC cos BAE ，
故 AH 2Rcos BAE，
a a sin BAE
所以 tan BAE 3 .
AH 2Rcos BAE cos BAE
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π
8．【答案】（1）
3
3
（2） ,1
2


【详解】（1）由 cos2A cos2C 2cos2B 2sinAsinC，得
1 2sin2 A 1 2sin2 C 2 1 sin2 B 2sin AsinC，
整理得 sin AsinC sin2 A sin2 C sin2 B .
a b c
由正弦定理 ，得 ac a2 c2 b2 .
sin A sin B sinC
2
由余弦定理的推论，得cosB a c
2 b2 ac 1
.
2ac 2ac 2
因为 B 0, π ，所以 B π .
3
2π π
（2）由（ 2π1）知 A C π B ，所以C π π A ，所以 A .
3 3 2 6 2
所以 cos A cosC cos A cos
2π
A 3
cos A cos 2π cos A sin 2πsin A
3 3
1 3
cos A cos A sin A
2 2
1 cos A 3 sin A
2 2
cos A π .
3
由 A
π π π π π
, ，得 A ,6 2 3 6 6 .
因为 y cos x
π
在 ,0 上单调递增，在 0,
π
上单调递减，且
6 6
cos π 3 , cos
π 3
, cos0 1，
6 2 6 2
π 3
所以 cos A ,13
.
2
3
所以 cosA cosC的取值范围是 ,12 ．
9．【答案】（1） 3
2
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（2）见详解
A 1 1 cosA 1
【详解】（1）由bcsin2 ，得bc ，整理，得 2bc 2bccosA 1 .
2 4 2 4
在 ABC中，由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA，得 2bc b2 c2 a2 1 .
a 2 ， b c 2把 代入上式 得 3，
因为b c，所以 c b 3 .
a b c
在 ABC中，由正弦定理 ，得 sinC sinB c b 3 .
sinA sinB sinC sinA a 2
（2）在 ABC中，由余弦定理，得
2 2a2 c2 b2 4 c2 b2 4 c c 3 3 1 3cosB ，
2ac 4c 4c 2 4c 2
π
因为0 B π，所以 B .
6
10．【答案】（1） 4 3；（2）5.
7
2 2 2
【详解】（1）在△BCD中，据余弦定理，有 cos BDC 7 3 8 1 .又
2 7 3 7
0 BDC ，
1 2所以 sin BDC= 1 4 3 .
7 7
（2）因为 BDC A ABD，则 ABD BDC 60 .
4 3 1 1 3 5 3
所以 sin ABD sin BDC 60 .
7 2 7 2 14
AD BD
在△ ABD中，据正弦定理，有 .
sin ABD sin BAD
BD sin ABD 7
5 3

所以 AD 14 5 .
sin BAD 3
2
11．【答案】（1） 5 3
14
（2）11 3
2
【详解】（1）（1）由2A 2B 2(π C) C， C 2π得 ，
3
B 此时 0,
π
，可得 cosB 1 sin2 B
4 3
，
3 7
1 3 4 3 1 5 3
于是 cos A cos(B C) sin BsinC cos BcosC
7 2 7
．
2 14
（ ） A 2 由 0,
π
， sin A 1 cos2 A
11
得 ，
3 14
第 11 页，共 23 页
3
BC AB 11
在 ABC中由正弦定理得 ，可得 AB BC sinC 2
sin A sinC sin A 11
7 3，
14
故 ABC的面积 S 1 1 1 11 3 AB BC sin B 7 3 11 ．
2 2 7 2
1
12．【答案】（1） cosB=
3
（2）（i）b 4， c 6；（ii） 8 7 2
18
2a 3c b a 2 2 2
【详解】（1）由 ，整理得 a c b 1 ，
3a 3b c 2ac 3
2 2 2 1
由余弦定理 cos B a c b ，故 cosB= ；
2ac 3
（ a c2）由正弦定理可得 ，由acosC ccosA，则 sinAcosC sinCcosA 0，
sinA sinC
即 sin A C 0，所以 A C， a c；
（i）由 B 0, π ，故 sinB 1 cos2B 2 2 ，
3
b
由正弦定理可得 2R 3 2，故b 4，则 6
sinB a b 6
，故 c a 6；
4
（ii）由 A B C π可知 B π 2A，故 cos2A cos π B cosB 1 ，
3
sin2A sinB 2 2 ，由 sin4A 2sin2Acos2A 4 2 ，
3 9
cos4A cos22A 7 sin22A ，
9
cos 4A π cos 4Acos π sin 4Asin π 2
7 4 2 8 7 2
故 4 4 4 2

9 9
．
18
13．【答案】（1） AC 19
（2） 2 3．
【详解】（1）在 ABC中，
AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos120 4 9 2 2 3 1

19，
2
AC 19．
（2）延长DA,CB交于点 E，则 EAB EBA 60 ，所以 ABE为等边三角形，
BE 2， EC 5，
由 cosC 1 ，得 sinC 4 3 ，
7 7
在△EDC中， sin EDC sin 60 C 3 1 1 4 3 5 3 ，
2 7 2 7 14
CD EC
在 CDE中，由正弦定理可得， ，则CD 7，
sin60 sin EDC
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BC CD
在 BDC中，设 DBC ，由 sin C sin ，可得

3sin 7sin C 7 1 sin
4 3
cos ，则7 7 tan 2 3．
故 tan DBC的值为2 3．
14．【答案】（1） a 2 10
（2） sin 2B
π 7 2
4 10
（3）2
【详解】（1）因为b 2 2， c 4， BAC 135 ，

由余弦定理，得 a2 b2 c2 2bc cos BAC 16 8 2 4 2 2
2
2
40 ，

解得 a 2 10．
a b 2
（2）由正弦定理，得 ，即 bsin A 2 2 10，
sin A sin B sinB 2 a 2 10 10
因为 B为锐角，所以 cos B 1 sin2 B 3 10 ，
10
则 sin 2B 2sin BcosB 3 ， cos 2B 2cos2 B
4
1 ，
5 5
所以 sin 2B π

sin 2Bcos
π
cos 2Bsin π 7 2 ．
4 4 4 10
（3） AB因为 AD AB，即 cos B ，所以
BD BD
AB 4 10
，
cos B 3
则CD BC BD 2 10 ．
3
设点 A到直线 BC的距离为 d，
S BD
因为 S 11 BD d S
1
， 2 CD d，所以
1 2
S ．2 2 2 CD
15．【答案】（1） π
3
第 13 页，共 23 页
（2） 6 3 2
【详解】（1）因为b2 c2 a2 2bc cos A，又b2 c2 a2 bc，所以 2bccos A bc，得
cos A 1 ，
2
π
又 0 A π，所以 A .
3
（ π2）由（1）得 A ， S 13 ABC bc sin A
1
bc 3 3，得bc 4，
2 2 2
又b 2c，解得b 2 2,c 2，
所以 a2 b2 c2 bc 8 2 2 2 2 6，故a 6，
所以 ABC的周长为 a b c 6 3 2 .
b 7
16．【答案】(Ⅰ)
c
；
5
4
(Ⅱ) 3 .
7
a2 c2 2
cos B
b 1

2ac 2
a 3
【详解】 (Ⅰ)由题意可得： b c 2 ，解得： b 7 .

a 3

c 5

(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： sin B 1 cos2 B 3 ，
2
b c
结合正弦定理 可得： sinC c sin B 5 3 ，
sin B sinC b 14
很明显角 C为锐角，故 cosC 1 sin2 C
11
，
14
故 sin B C sinBcosC cosBsinC 4 3 .
7
17．【答案】（1）1

（2）
3
【详解】（1）解： a b c由正弦定理知 ，
sin A sin B sinC
∵sin A sin B 2 sinC，
a b 2c，
∵ ABC的周长为 2+1，
a b c 2 1 2c c，
AB c 1．
（ ） ： 1 12 解 ABC的面积 S absinC sinC，
2 6
ab 1 ，
3
由（1）知， a b 2， c=1，
第 14 页，共 23 页
2 2 1a2 b2 c2 (a b )2 2ab c2 1
由余弦定理知 cosC 3
1

2ab 2ab ，2 1 2
3
∵C (0, )，
C ．
3
π
18．【答案】（1）
3
（2） 3
【 】（ 详解 1）因为m//n，所以 a sin B b 3 cos A 0 ①.
a b
又由正弦定理 ，即 asin B bsin A，代入①式，
sin A sin B
π
可得bsin A 3bcos A 0，整理得 2sin A 3
0，

又 A 0, π π π 2π， 所以 A , ，
π
解得 A .
3 3 3 3
m p m ·p （2）因为 ，所以 a b c b a c 0，
即 2ab c a b ，又 c 2，所以 a b ab .
π
因为C ， 2由余弦定理可得 4 a2 b2 ab a b 3ab，
3
2
即 4 ab 3ab，解得 ab 4或 ab 1（舍去）.
故 S 1 ABC ab sinC
1
4 3 3 .
2 2 2
19．【答案】（1） A π
3
（2） f x 3 sin 2x
π

3 3
【详解】（1）由b cosC c cos B
a
，得 sin B cosC sin C cos B sin A ，
2cos A 2 cos A
sin B C sin A sin A所以 ，即 sin A ，
2cos A 2cos A
1 1
又因为 0 A π，所以 sin A 0，所以1 ，解得 cos A ，
2cos A 2
A π所以 ；
3
（2） （ ） A π由 1 知 ，
3
1
又因为函数 f x sin cx A 的图象经过点 P 0,
1
，a 2
所以 1 1 sin c 0 A 1 sin π 3 ，解得 a 3 .
2 a a 3 2a
第 15 页，共 23 页
a b
由正弦定理可得 ，所以 b sin A 1 sin
π 3
sin A sin B a 3 2
.
sin B sin B sin B
3 1
所以 2 ，所以 sin B ，又 0 B
2π

3 ，
B π所以 ，
2 3 6
sin B
C π π π π所以 ，又 a 3,b 1，所以 2
6 3 2 c a b
2 2，
1
所以 f x sin π 3 2 x sin
π
3 3 3
2 x
3
.

20．【答案】（1） 7
14
（2）4
c 2a cos B 1
【详解】（1）由 ,得c 4acosB ,由正弦定理得 sinC 4sin AcosB，则
c 2
sin π A B 4sin Acos B，
π
即 sin AcosB cos Asin B 4sin AcosB ,得 tan B 3tan A，由 A 可得
3 tan B 3 3
，
1 7
又 B 0, π ，所以 cos B 2 .
1 3 3 14
（2）由（1）可得 tan B 3tan A，则 tan A 0，所以
tan B A tanB tan A 2 tan A 2 tan A 3 ，
1 tanB tan A 1 3tan2 A 2 3 tan A 3
当且仅当 tan A 3 时， tan B A 取得最大值 3，
3 3
π π π
由 tan A 3 及 A 0, π ，得 A ，此时 B ,C ，
3 6 3 2
a a又 2，所以 c 4 .
sin A
π
21．【答案】（1）
3
（2） 3
2
【详解】（1）由已知可得 sin B sinC，所以b c，故 B C .
sin A cosB cosC
因为 ，
cos A sinC sin B
即 sin AsinC sin Asin B cos Acos B cos AcosC，
故 cos AcosC sin AsinC cos Acos B sin Asin B ，
所以 cos A C cos A B ，
又 π A B π, π A C π，
所以 A B A C或 A B C A，所以 B C（舍）或 B C 2A，
第 16 页，共 23 页
π
因为 A B C π，所以 A ；
3
（2）设 BD x，则 AD DC 2x，
2
在△ ABD中，由余弦定理可得 cos ADB 5x 1 ，
4x2
2 2
在 ACD中，由余弦定理可得 cos ADC 8x b ，
8x2
由 cos ADB cos ADC ，可得18x2 b2 2，
在 ABC中，由余弦定理可得9x2 1 b2 b，
所以可得 x 3 ,b 2，所以 S 1 π 3
3 ABC
1 2 sin
2 3 2
π
22．【答案】（1） A
3
1
（2） cosBcosC
8
π sinB sinC
【详解】（1）（1）由题意得：2sin B ，
6 sinA
则 ( 3 sin B cos B) sin A sin B sin Acos B sin B cos A，
π
有 3sin A 1 cos A，即2sin A 1，因为 A 0, π 所以 A ．
6 3
S 1 ah 1（2）（2）由 ABC bc sin A，则
3 a2 3 bc，所以 a2 2bc，
2 2 8 4
有 sin2 A 2sin B sinC，则 sin BsinC
3
，
8
又 cos A cos(B C) sin BsinC cos BcosC
1
，则 cosBcosC
1
．
2 8
4 3
23．【答案】（1） 0,2 3
（2） 2 3
3
a c a 2 4 3【 详解】（1）由正弦定理得 ，则 ，
sin A sinC sin A 3 3
2
即 a 4 3 sin A，要使满足已知条件的 ABC恰有一个，
3
则 0
π
A 或 A
π
，即0 sin A 3 或 sin A 1，3 2 2
所以0 a 2或a 4 3 ，
3
第 17 页，共 23 页
4 3
则边长 a的取值范围为 0,2 3 .
（2）由 sinC sin B A 2sin 2A，
则 sin A B sin B A 2sin 2A，
则 sin AcosB cos Asin B sin Bcos A cosBsin A 4sin Acos A
化简得 cos A sin B 2sin A 0，
π π
当 cos A 0 ， A ， c 2,C ， b c 2 2 3 时 因 则 ，
2 3 tanC 3 3
此时 S 1 bc 1 2 3 2 2 3 ABC ；2 2 3 3
当 cos A 0时， sin B 2sin A，由正弦定理得b 2a①，
由余弦定理得， c2 a2 b2 2ab cosC ，即 4 a2 b2 ab②，
由①②联立，解得 a 2 3 ，则b 4 3 ，
3 3
此时 S 1 1 2 3 4 3 3 2 3△ ABC ab sinC .2 2 3 3 2 3
综上所述， ABC的面积为 2 3 .
3
24．【答案】（ ） A π1
3
（2） 3
2
c b 3 2
【详解】（1）因为 a 3，则 1即为 c b a 1，b c bc b c bc
整理可得b2 c2 a2 bc，
2 2 2
由余弦定理可得 cos A b c a bc 1 ，
2bc 2bc 2
且 A 0, π ， A π所以 .
3
a b c 3
（2） 2 b c由正弦定理可得 sin A sinB sinC 3 ，则 sin B ,sinC ，2 2
2
b c 3
可得 sin B sinC ，即b c 3，
2 2 2
由（1）可得 2 2b c2 a2 bc，则 b c a2 3bc，
即9 3 3bc，可得bc 2，
所以 ABC的面积 S 1 ABC bcsin A
1
2 3 3 .
2 2 2 2
b
25．【答案】（1） 2；
c
（2） 2 .
第 18 页，共 23 页
【详解】（1）在 ABC中，由 c(2 cos A) a cosC 及正弦定理，得
(2 cos A)sinC sin AcosC ，
即 2sinC sin AcosC cos AsinC sin(A C) sin B，因此 2c b，
b
所以 2 .
c
1
（2）由 BC 3BD，得 AD AB BC
1AC 1AB 2 1 ，则 AD AB AC，
3 3 3 3 3

， 即3AD 2AB AC 两边平方得 2 2 29AD 4AB 4AB AC AC ，
由（1）知b 2c，又b 6，则 c 3，又 A 2π ，
3
2
因此9AD 4c 2 4bc cosA b 2 4 32 4 6 3 (
1
) 62 3 6，解得 | AD | 2，
2
所以 AD的长为 2 .
26．【答案】（1） 21
7
（2） 2 7
【详解】（1）设 DAC π ，则 DCA ，
3
CD AD CD sin sin
2
由正弦定理可知， sin πsin(π )，即 AD sin( ) 3 ，
3 3 cos
1
sin
2 2
π
整理得 2sin 3 cos ，又因为 sin2 cos2 1， (0, )，3
可解得 sin 21 ，即 sin DAC 21 .
7 7
（2）由（1）可知， sin 21 ， cos 2 7 .
7 7
CD AC 2 7

由正弦定理可知， sin sin ADC 3 ，解得CD 4，
2
又∵CD 2AD， AD 2 .
∵ BAC 2 DAC， sin BAC sin 2 2sin cos 4 3 .
7
S 1∵ △ ABC AC AB sin BAC
2 3
AC AB ，
2 7
S 1 21△ ACD AC AD sin DAC AC， S ABC 4S ACD，2 7
2 3
AC 4 21 AB AC，
7 7
解得 AB 2 7 .
27．【 π答案】（1） A
3
（2）6 3
第 19 页，共 23 页
【详解】（1）因为 3asinC ccos A c 0，由正弦定理得
π
3 sin AsinC sinC cos A sinC 0， sinC 0 ,故 3sin A -cos A -1 =0 ，即 2sin A 1，
6
解得 sin A
π

1
6
，
2
π π π
又 0 A π，所以 A , A ；
6 6 3
2π
（ π 2π2）由（1）知 A ，所以 B C ， sin B sinC sin B sin B

，3 3 3
sin B 3 cosB 1 sin B 3 sin B 3 cosB 3sin B π 11 3

2 2 2 2 6 14
sin π 11 π 5 3即 B 6
， cos B ，
14 6 14
sinB sin B π π 所以 sin

B
π
cos
π
cos B
π
sin
π 11 3 5 3 1
，所
6 6 6 6 6 6 14 2 14 2
以 sin B 3 3 8 3 或sin B ，
14 14
又 sin B sinC 11 3 ，
14
所以 sin B 8 3， sinC 3 3 ，或 sin B 3 3 ， sinC 8 3
14 14 14 14
所以 ABC
1
的面积 S ab sinC 1 a a sinB sinC 1 a 2sin Bsin C 6 3 .
2 2 sin A 2 sin A
π
28．【答案】（1） A
3
（2）6 3
【详解】（1）由 (sinB sinC)2 sin2A sinBsinC结合正弦定理得： (b c)2 a 2 bc ，即
b2 c2 bc a2，
2 2 2
由余弦定理： cosA b c a 1 ，
2bc 2
A (0,π)， π因为 所以 A ；
3
（2）∵BD 2DC， AD AB 2 AC AD ，

即 AD
1
AB 2 AC，
3 3
两边同时平方：
22 1 AD AB 2

AC
2 1 2 4 4 2
，AD AB AB AC AC ，
3 3 9 9 9
16 1 4 c2 bccos π 4 b2 2 c 2b 2 ≥ bc
2
bc，
9 9 3 9 3 3 9 3
c 2b
bc 24，当且仅当 即 时，取等号．
3 3 c 2b 4 3
第 20 页，共 23 页
S 1 bcsinA 1 3 24 6 3，
2 2 2
即S的最大值为6 3．
π
29．【答案】（1） A
3
（2）①18；② AD 4
【详解】（1）因为 a 6， 且 c ccosA 6 3sinC ，
所以 c 3asinC ccosA，
由正弦定理得 sinC 3sinAsinC sinCcosA
因为 sinC 0，
所以1 3sinA cosA 2sin A
π

6
，

sin A π 1即
.
6 2
因为 A 0, π A π π , 5π，所以 ， A π π ，
6 6 6 6 6
π
所以 A .
3
（2）若选择问题①若 AD 3 3， 求 ABC的周长，
因为角 A 的平分线交 BC 于点 D，
所以 BAD CAD 1 BAC π ，
2 6
1 π 1 π 1
由 S ABC S ABD S ACD 得 bcsin c ADsin b ADsin
π
2 3 2 6 2 6
因为 AD 3 3， 所以 3 bc 3 3 b c ，
2 2
即b bc c .
3
（ ） A π由 1 可知 ， 结合余弦定理可得b23 c
2 36 bc，
2
即 (b c)2 3bc 36 ， 所以 (bc) 3bc 36 0，
9
即 bc 9 bc 4

0 ，
9
又因为bc 0， 所以bc 36，
bc
所以b c 12， 所以 ABC的周长为 18 .
3
若选择问题 ②若 △ ABD的面积为 ACD面积的两倍， 求 AD的长
因为角 A 的平分线交 BC
1 π
于点 D，所以 BAD CAD BAC ，
2 6
第 21 页，共 23 页
1
2 S c ADsin
π
所以 △ ABD 2 6
c
， c 2b，
1 S 1 b ADsin π△ ACD b
2 6
由 （1）可知， A π ， 结合余弦定理可得 b2 c23 bc 36 ，
从而 b 2 3， c 4 3
1
2 S BD c sinB
又 △ ABD 2
BD
1 ， 即 BD 2CD，1 S△ ACD CD b sinC CD
2
结合 BD CD a 6可得 BD 4，CD 2，
设 AD x， 由 ADB ADC π，
所以 cos ADB cos ADC 0，
2
即得 AD DB
2 AB2 AD2 DC 2 AC 2
0 ，
2 AD DB 2 AD DC
AD2 42 4 3 2 2AD2 22 2 3 3AD2 24 72 2
0，所以 AD 16，
2 AD 4 2 AD 2 2 AD 4
解得 AD 4 .
π
30．【答案】（1） B ；
3
（2） 3 3 .
56
asin A C【详解】（1）在 ABC中，由 bsinA及正弦定理，得
2
sin Asin A C sin BsinA ，
2
π B B B B B π
而 sin A 0，则 sin sin B，即 cos 2sin cos ，又0 ，
2 2 2 2 2 2
sin B 1 B π π因此 ，解得 ，所以 B .
2 2 2 6 3
π
（2）①由（1）知， B ，而 a b 1，则 ABC是正三角形，设 BE x(0 x 1)，
3
1
当 x 0时， E与 B重合，D为 AB的中点， AD ；当 x 1时， E与C重合， AD 1，
2
当0 x 1时，在 BDE中， BD 1 AD,DE AD，
由余弦定理，得 BD2 BE 2 DE 2 2BD BE cos B，
2
即 (1 AD)2 x2 AD2 (1 AD) x，因此 AD x x 1 (x 2)x x 2 3
2 x 2 x
第 22 页，共 23 页
3 3
x 1 2 x 3 2 3 3，当且仅当 x 2 3 时取等号，
2 x 2 x
而 2 3 3
1
，所以 AD长度的最小值 2 3 3 .
2
②设CF m, CEF (0
π 2π
) ，则 CFE ，
2 3
EF CF CE

在△CEF 中，由正弦定理得 sin π sin sin(2π )，
3 3
则 EF 3m ( 3 cos sin )m
π
,CE ，在 DEF中，DE EF , EDF ，
2sin 2sin 6
则 DFE
π
， AFD π DFE CFE CEF π，又 A C ，
3 3
AF DF
于是△ADF∽△CFE， 2，则 ( 3 cos sin )m，
CE EF AF 2CE sin
sin
由 AF CF 1，得 ( 3 cos sin )m m 1，解得m ，
sin 2sin 3 cos
2
因此 DEF的面积 S 1 3 2 3 3m 2 3 3 m DEF DE EF EF ( ) 2 2 2 2sin 8 sin 2
3 3 3 3
，其中锐角 2 由56sin2 ( ) tan
3
确定，
8(2sin 3 cos ) 2
而
π
π，则当 时，[sin( )] 3 3
2 2 max
1， (S DEF )min ，56
所以 DEF面积的最小值为 3 3 .
56
第 23 页，共 23 页

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