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第36讲 投影与视图
◎2022年版课标要求
①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.
②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.
③了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型.
④通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
◎备考策略
注重生活中的几何体：在日常的教学过程中，对于三视图的识别，不仅要引导学生牢记简单几何体的三视图，还要引导学生注意生活中常见的几何体并会判断其三视图。
◎链接教材
七上P114～P124，七上P142～P145，九下P86～P111；华师：七上P120～P133；北师：七上P1～P21，九上P124～P147.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　投影
平行投影 由　① 　形成的投影
中心投影 由同一个点发出的光线形成的投影
正投影 投影线　② 　投影面产生的投影
例1 下列是平行投影的影子是( )
A.皮影戏中的影子
B.太阳光下房屋的影子
C.路灯下行人的影子
D.在手电筒照射下纸片的影子
变式1 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A.逐渐变短 B.先变短后变长
C.先变长后变短 D.逐渐变长
　考点2　三视图　 重点
1.三视图的概念及画法
概念 (1)主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图；(2)左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图；(3)俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
画法 (1)主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等；(2)看得见的部分的轮廓线画成实线，看不见的部分的轮廓线画成虚线
2.根据三视图还原几何体
想象 根据主视图、俯视图和左视图，想象从三个方向看到的几何体的形状
定形 综合确定几何体(原实物原型)的形状
定大小、位置 根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置及各个方向的大小
例2 (2025大庆)由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为( )
变式2－1 (2025成都)下列几何体中，主视图和俯视图相同的是( )
变式2－2 (2025烟台)社团小组运用3D打印技术制作的模型如图所示，它的左视图是( )
例3 (2025福建)福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.图2为其示意图，它的主视图是( )
变式3 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻的基本功.如图，这是一块雕刻印章的材料，其俯视图为( )
例4 观察如图所示的某物体的三视图，该物体的名称是( )
A.三棱锥
B.长方体
C.三棱柱
D.不能确定
变式4 在下列四个几何体中，三视图都是圆的是( )
A.正方体 B.球 C.圆柱 D.圆锥
　考点3　立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
常见几何体 展开图 图形示例(选其中一种)
两个全等的圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
两个全等的三角形和三个矩形
2.正方体展开图的常见类型及相对面
正方体展开图类型及相对面图示
口诀：一线不过四，田、凹应弃之
例5 (2025河南)数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是( )
变式5 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )
例6 “非学无以广才”出自诸葛亮的《诫子书》，其大意为：不学习就无从增长知识，提高才干.一个正方体的展开图如图所示，则“非”字相对面上的汉字为( )
A.学 B.广 C.才 D.以
变式6 (2025内江)如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是( )
A.安 B.全 C.校 D.园
1.(2025宜宾)下列立体图形是圆柱的是( )
2.(2025浙江)底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是( )
A B C D
3.(2025资阳)如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是( )
(第3题)
　 　　
4.(2025自贡)如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为( )
A B C D
5.(2025广元)下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是( )
A 　 B C 　 D
6.(2025云南)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A.正方体
B.长方体
C.圆锥
D.圆柱
7.(2025德阳)下列图形中可以作为正方体的展开图的是( )
8.(2025吉林)一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为( )
A.我 B.中 C.国 D.梦
9.一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是 .(填一个即可)
10.三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH.确定光源P的位置，并画出影子为EF的竹竿(用线段表示).
　
11.(2025遂宁)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是( )
(第11题)
12.(2025龙东地区)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是( )
(第12题)
A.7 B.8 C.6 D.5
13.某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的侧面积为 cm2.
14.综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD(规格：AB＝40 cm，BC＝100 cm)，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合，且无重叠部分，如图3所示.
(1)若收纳盒高是10 cm，则该收纳盒底面的边EF＝ cm，EH＝ cm；
(2)如图3，若收纳盒的底面积是350 cm2，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小如图4所示，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒.(不考虑倾斜放入且要盖上盖子)第36讲 投影与视图
◎2022年版课标要求
①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.
②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.
③了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型.
④通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
◎备考策略
注重生活中的几何体：在日常的教学过程中，对于三视图的识别，不仅要引导学生牢记简单几何体的三视图，还要引导学生注意生活中常见的几何体并会判断其三视图。
◎链接教材
七上P114～P124，七上P142～P145，九下P86～P111；华师：七上P120～P133；北师：七上P1～P21，九上P124～P147.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　投影
平行投影 由　①　平行光线　形成的投影
中心投影 由同一个点发出的光线形成的投影
正投影 投影线　②　垂直于　投影面产生的投影
例1 下列是平行投影的影子是(　B　)
A.皮影戏中的影子
B.太阳光下房屋的影子
C.路灯下行人的影子
D.在手电筒照射下纸片的影子
变式1 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子(　B　)
A.逐渐变短 B.先变短后变长
C.先变长后变短 D.逐渐变长
　考点2　三视图　 重点
1.三视图的概念及画法
概念 (1)主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图；(2)左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图；(3)俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
画法 (1)主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等；(2)看得见的部分的轮廓线画成实线，看不见的部分的轮廓线画成虚线
2.根据三视图还原几何体
想象 根据主视图、俯视图和左视图，想象从三个方向看到的几何体的形状
定形 综合确定几何体(原实物原型)的形状
定大小、位置 根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置及各个方向的大小
例2 (2025大庆)由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为(　D　)
变式2－1 (2025成都)下列几何体中，主视图和俯视图相同的是(　C　)
变式2－2 (2025烟台)社团小组运用3D打印技术制作的模型如图所示，它的左视图是(　C　)
例3 (2025福建)福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.图2为其示意图，它的主视图是(　A　)
变式3 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻的基本功.如图，这是一块雕刻印章的材料，其俯视图为(　D　)
例4 观察如图所示的某物体的三视图，该物体的名称是(　C　)
A.三棱锥
B.长方体
C.三棱柱
D.不能确定
变式4 在下列四个几何体中，三视图都是圆的是(　B　)
A.正方体 B.球 C.圆柱 D.圆锥
　考点3　立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
常见几何体 展开图 图形示例(选其中一种)
两个全等的圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
两个全等的三角形和三个矩形
2.正方体展开图的常见类型及相对面
正方体展开图类型及相对面图示
口诀：一线不过四，田、凹应弃之
例5 (2025河南)数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是(　D　)
变式5 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是(　B　)
例6 “非学无以广才”出自诸葛亮的《诫子书》，其大意为：不学习就无从增长知识，提高才干.一个正方体的展开图如图所示，则“非”字相对面上的汉字为(　C　)
A.学 B.广 C.才 D.以
变式6 (2025内江)如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是(　B　)
A.安 B.全 C.校 D.园
1.(2025宜宾)下列立体图形是圆柱的是(　D　)
2.(2025浙江)底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是(　A　)
A B C D
3.(2025资阳)如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是(　D　)
(第3题)
　 　　
4.(2025自贡)如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为(　D　)
A B C D
5.(2025广元)下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是(　A　)
A 　 B C 　 D
6.(2025云南)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　D　)
A.正方体
B.长方体
C.圆锥
D.圆柱
7.(2025德阳)下列图形中可以作为正方体的展开图的是(　A　)
8.(2025吉林)一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为(　C　)
A.我 B.中 C.国 D.梦
9.一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是　球(答案不唯一)　.(填一个即可)
10.三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH.确定光源P的位置，并画出影子为EF的竹竿(用线段表示).
解：如图，点P为光源的位置，线段ME是影子为EF的竹竿.　
11.(2025遂宁)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是(　B　)
(第11题)
12.(2025龙东地区)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是(　A　)
(第12题)
A.7 B.8 C.6 D.5
13.某几何体的三视图如图所示，由图中数据可知，该几何体的侧面积为　15π　cm2.
14.综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD(规格：AB＝40 cm，BC＝100 cm)，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合，且无重叠部分，如图3所示.
(1)若收纳盒高是10 cm，则该收纳盒底面的边EF＝　20　cm，EH＝　40　cm；
(2)如图3，若收纳盒的底面积是350 cm2，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小如图4所示，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒.(不考虑倾斜放入且要盖上盖子)
解：设收纳盒高为x cm.
依题意，得(100－2x)(40－2x)＝350.
整理，得x2－70x＋825＝0.
解得x1＝15，x2＝55(不符合题意，舍去).
∴收纳盒的长、宽、高分别为35 cm，10 cm，15 cm.
∵10 cm＜15 cm，
∴玩具机械狗不能放入该收纳盒.

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