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第38讲 概率
◎2022年版课标要求
①能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.
②知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率.
◎备考策略
概率题从题位到考查形式的改变，体现命题的不确定性．因此，老师在日常的教学中，除练习常规的概率试题外，还应让学生多练习一些考查形式比较灵活的试题，要全面复习。
◎链接教材
人教：九上P126～P153；华师：九上P125～P162；北师：七下P135～P159，九上P59～P74.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　事件的分类
事件类型 概念
必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件
不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件
随机事件 在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件
例1 (2025徐州)一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A.至多有1个球是红球 B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球 D.至少有1个球是黑球
变式1 (2025湖北省卷)在下列事件中，不可能事件是( )
A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心
　
考点2　概率的概念及计算
常见方法 具体内容
公式法 如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P( )＝　① 　；常用于一步概率的计算
列表法 当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；常用于两步概率的计算
画树状图法 当一次试验涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法；常用于两步或多步概率的计算
几何概型 若一个试验涉及的面积(或体积、长度、角度、时间)是S，事件A发生时涉及的面积(或体积、长度、角度、时间)是S1，则事件A发生的概率P( )＝　② 　
例2 (2025南充)不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是 .
变式2 (2025苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
例3 (2025福建)在分别写有－1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是( )
A. B. C. D.
变式3 (2025扬州)为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.
(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择，选到同一种体育活动的概率.
例4 (2025广东省卷)如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为( )
A. B. C. D.
变式4 (2025武威)如图，这是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个
扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定.转动转盘，等转
盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色.若指针落在区域分界线上，则重
新转动转盘.
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ；
(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘)，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
考点3　用频率估计概率
例5 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别.每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子.通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是 .
变式5 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.一个边长为5 cm的正方形二维码如图所示，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色区域，则估计黑色区域的面积是 cm2.
1.在下列事件中，必然事件是( )
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是180°
2.(2025北京)一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是( )
A. B. C. D.
3.(2025)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1 000 2 000 5 000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1 100 2 750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为( )
A.0.52 B.0.55 C.0.58 D.0.63
4.(2025辽宁)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为( )
A. B. C. D.
5.(2025成都模拟)如图，D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点.现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为 .
6.(2025广西)从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为 .
7.(2025凉山州)某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍(A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他)进行调查(每人只能选择一项).根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的总人数是 人.
(2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为 °.
(3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛.请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.
8.一个不透明的口袋中先放入除颜色外，形状、大小都相同的黑白两种球各2个，若从中摸到一个白球的概率为，则需再往袋中放入形状、大小都相同的 个黑球.
9.(2025成都)从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为 .
10.(2025龙东地区)如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为 .
11.(2025徐州)如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母.转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次.
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.第38讲 概率
◎2022年版课标要求
①能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.
②知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率.
◎备考策略
概率题从题位到考查形式的改变，体现命题的不确定性．因此，老师在日常的教学中，除练习常规的概率试题外，还应让学生多练习一些考查形式比较灵活的试题，要全面复习。
◎链接教材
人教：九上P126～P153；华师：九上P125～P162；北师：七下P135～P159，九上P59～P74.
◎讲安排
建议1讲
◎教学过程
　考点1　事件的分类
事件类型 概念
必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件
不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件
随机事件 在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件
例1 (2025徐州)一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是(　C　)
A.至多有1个球是红球 B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球 D.至少有1个球是黑球
变式1 (2025湖北省卷)在下列事件中，不可能事件是(　B　)
A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心
　
考点2　概率的概念及计算
常见方法 具体内容
公式法 如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝　①　　；常用于一步概率的计算
列表法 当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；常用于两步概率的计算
画树状图法 当一次试验涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法；常用于两步或多步概率的计算
几何概型 若一个试验涉及的面积(或体积、长度、角度、时间)是S，事件A发生时涉及的面积(或体积、长度、角度、时间)是S1，则事件A发生的概率P(A)＝　②　　
例2 (2025南充)不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　.
变式2 (2025苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
例3 (2025福建)在分别写有－1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是(　B　)
A. B. C. D.
变式3 (2025扬州)为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.
(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是　　；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择，选到同一种体育活动的概率.
解：画树状图如图所示.
由树状图，知一共有16种等可能的结果，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果有4种.
∴P(小明和小聪随机选择选到同一种体育活动)＝＝.
例4 (2025广东省卷)如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为(　D　)
A. B. C. D.
变式4 (2025武威)如图，这是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个
扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定.转动转盘，等转
盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色.若指针落在区域分界线上，则重
新转动转盘.
(1)任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为　　；
(2)任意转动转盘两次(第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘)，用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率.
解：列表如下：
第一次 第二次
红 白 蓝
红 (红，红) (红，白) (红，蓝)
白 (白，红) (白，白) (白，蓝)
蓝 (蓝，红) (蓝，白) (蓝，蓝)
∴共有9种等可能的结果，指针所落区域颜色不同的结果有6种.
∴P(指针所落区域颜色不同)＝＝.
考点3　用频率估计概率
例5 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别.每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋子.通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是　2　.
变式5 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.一个边长为5 cm的正方形二维码如图所示，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色区域，则估计黑色区域的面积是　15　cm2.
1.在下列事件中，必然事件是(　D　)
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是180°
2.(2025北京)一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是(　A　)
A. B. C. D.
3.(2025)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1 000 2 000 5 000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1 100 2 750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为(　B　)
A.0.52 B.0.55 C.0.58 D.0.63
4.(2025辽宁)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为(　C　)
A. B. C. D.
5.(2025成都模拟)如图，D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点.现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为　　.
6.(2025广西)从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为　　.
7.(2025凉山州)某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍(A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他)进行调查(每人只能选择一项).根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的总人数是　50　人.
(2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为　86.4　°.
(3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛.请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.
解：(2)补全条形图如图所示.
(3)由题意，画出树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种.
∴P(2人恰好是1名男生和1名女生)＝＝.
8.一个不透明的口袋中先放入除颜色外，形状、大小都相同的黑白两种球各2个，若从中摸到一个白球的概率为，则需再往袋中放入形状、大小都相同的　2　个黑球.
9.(2025成都)从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为　　.
10.(2025龙东地区)如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为　　.
11.(2025徐州)如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母.转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次.
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为　　；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率.
解：列表如下：
甲 乙
P Q R
A (A，P) (A，Q) (A，R)
B (B，P) (B，Q) (B，R)
C (C，P) (C，Q) (C，R)
D (D，P) (D，Q) (D，R)
由表知，共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种，
∴P(甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域)＝＝.

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