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海林市朝鲜族中学2025-2026学年度 第二学期
高二年级数学学科第一次考试（人教版、选择性必修第五、六章）
一、单项选择题（每小题5分 共40分）
1．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
2．函数的导数为
A． B．
C． D．
3．若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
4．下列选项中与最接近的数为（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
5．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ）
A． B． C． D．
6．设是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
7．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36 C．42 D．50
8．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分）
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ）
A． B． C． D．
11．函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(每小题5分，共15分）
12．二项式的展开式中的常数项为____________
13．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．

14．函数的单调递减区间为__________．
四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分）
15．已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.
(1)求n的值与展开式中各项的系数和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
16．已知，在处的切线与垂直，
(1)求实数a的值；
(2)求在区间上的值域．
17．已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围．
18．现有甲、乙、丙、丁名公费师范生和三所重点中学
(1)甲、乙、丙、丁名公费师范生分配至三所重点中学任教，有多少种不同分法.
(2)从甲、乙、丙、丁名公费师范生中选出人分配至三所重点中学任教，每所学校分配一人，甲必须当选，有多少种不同分法
(3)将所学校的位校长排入已经站好的名学生队伍中拍照留念，这名学生已经排好，不改变学生原有顺序将三位校长再排入(可以不相邻)，有多少种不同的排法 (结果用数字作答)
19．已知函数.
（1）判断函数的零点个数；
（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数的取值范围及判断，，之间的关系.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B c B D B ACD BcD
题号 11
答案 ACD
12．
13．72
14．
15．（1）由题知，，由组合数性质可知，；
令得展开式中各项的系数和为
（2）因为，所以展开式共有7项，
由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，
所以.
16．（1）由求导得，
则在处的切线的斜率为，因切线与垂直，
故，解得.
（2）由（1）可得 ，
因，则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
因,即,
故在区间上的值域为.
17．（1）由题可知在上恒成立，所以．
因为，所以，
则，所以的取值范围为．
（2）由有解，可得有解．
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，故的取值范围为．
18．（1）由于每名公费师范生都有所学校可选，因此有种分法.
（2）由于甲必须当选，所以需要从乙、丙、丁中选2人，有种分法，再将选中的人全排列分配到所学校，有种分法，
故共有种分法.
（3）名学生排好形成个空位（含两端），因此第一位校长有种选择；
第一位校长选择后，此时已经有个人，形成了个空位（含两端），因此，第二位校长有种选择；
同理，第三位校长有种选择；
综上所述，总的排法有种.
19．（1）由题知函数的定义域为，
对任意恒成立，
当且仅当时，，所以在上单调递增.
又，所以函数有且仅有1个零点.
（2）因为，
所以.
由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.
令，
又，且函数图象的对称轴为，
所以只需
解得，即实数的取值范围为.
由，是方程的两根，得，，
故.
又，所以.

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