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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件1.3.1平方差公式第一章整式的乘除授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册1.3.1平方差公式练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础计算题（每题5分，共30分）1.直接运用平方差公式计算（重点巩固公式：$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$，找准公式中的a和b，注意符号）（1）$$(x+3)(x-3)$$（2）$$(a+2)(a-2)$$（3）$$(2x+1)(2x-1)$$（4）$$(3m-4)(3m+4)$$（5）$$(-x+5)(-x-5)$$（6）$$(a-b)(a+b)$$二、基础填空题（每题4分，共20分）1. $$(x+4)(x-4) = x^2 - k$$，则k = ________；2. $$(2a+3)(2a-3) = 4a^2 - m$$，则m = ________；3. $$(x+y)(x-y) + y^2 =$$ ________；4.若$$(a+3)(a-3) = 16$$，则$$a^2 =$$ ________；5.填空：$$(\_\_\_ + \_\_\_)(\_\_\_ - \_\_\_) = 9x^2 - 16y^2$$（填合适的代数式）。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列计算是否正确，错误的请改正（重点区分平方差公式与多项式乘法，避免误用公式）。1. $$(x+2)(x+2) = x^2 - 4$$（）改正：________2. $$(a-3)(a+3) = a^2 - 6$$（）改正：________3. $$(2x-1)(-2x-1) = 4x^2 - 1$$（）改正：________四、提升计算题（每题7分，共21分）1.化简计算（平方差公式与单项式、多项式混合运算）（1）$$(x+5)(x-5) + 2x(x+3)$$（2）$$(3a-2)(3a+2) - (a-1)^2$$2.综合运用计算（重点突破公式变形、符号调整，找准a和b）（1）$$(x-2)(x+2)(x^2 + 4)$$（2）$$(-2x+3)(-2x-3) - 3x(x-4)$$五、拓展应用题（14分）1.一个正方形的边长为$$(x+2)$$cm，另一个正方形的边长为$$(x-2)$$cm，求这两个正方形的面积差（用平方差公式计算，正方形面积公式：$$S =边长\times边长$$），并求当x=5时，面积差是多少？2.已知$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 = 20$$，且$$a - b = 5$$，求$$a + b$$和$$a^2$$的值（逆用平方差公式）。六、易错点专项练习（附加10分）计算下列各式，注意符号调整、公式适用条件，避免误用平方差公式：1. $$(-x-2)(x-2)$$ 2. $$(2x+3y)(2x-3y) - (x+2y)(x-2y)$$ 3. $$(a-1)(a+1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)$$参考答案一、基础计算题（1）$$x^2 - 9$$（2）$$a^2 - 4$$（3）$$4x^2 - 1$$（4）$$9m^2 - 16$$（5）$$x^2 - 25$$（6）$$a^2 - b^2$$二、基础填空题1. 16 2. 9 3. $$x^2$$ 4. 25 5. $$3x$$，$$4y$$，$$3x$$，$$4y$$（顺序可调整，合理即可）三、判断改错题1.错误，改正：$$(x+2)(x+2) = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ 2.错误，改正：$$(a-3)(a+3) = a^2 - 9$$ 3.错误，改正：$$(2x-1)(-2x-1) = (-1)^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$$四、提升计算题1.（1）$$x^2 - 25 + 2x^2 + 6x = 3x^2 + 6x - 25$$（2）$$9a^2 - 4 - (a^2 - 2a + 1) = 8a^2 + 2a - 5$$ 2.（1）$$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16$$（2）$$4x^2 - 9 - 3x^2 + 12x = x^2 + 12x - 9$$五、拓展应用题1.面积差$$S = (x+2)^2 - (x-2)^2 = [(x+2)+(x-2)][(x+2)-(x-2)] = 2x \times 4 = 8x$$（$$cm^2$$）；当x=5时，$$S = 8 \times 5 = 40$$（$$cm^2$$），答：两个正方形的面积差是$$8x$$$$cm^2$$，x=5时面积差是40 $$cm^2$$。2.由平方差公式$$(a+b)(a-b) = 20$$，代入$$a - b = 5$$，得$$5(a+b) = 20$$，解得$$a + b = 4$$；联立$$\begin{cases}a + b = 4 \\ a - b = 5\end{cases}$$，解得$$a = 4.5$$，则$$a^2 = 20.25$$，答：$$a + b = 4$$，$$a^2 = 20.25$$。六、易错点专项练习1. $$4 - x^2$$ 2. $$4x^2 - 9y^2 - (x^2 - 4y^2) = 3x^2 - 5y^2$$ 3. $$(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) = (a^4 - 1)(a^4 + 1) = a^8 - 1$$说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.1平方差公式核心知识点设计，涵盖公式直接应用、逆用、公式变形、混合运算、符号判断等重点难点，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握平方差公式的适用条件和运算规律，规避符号错误、误用公式、找错a和b等常见易错点。
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.
2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把
这事和邻居们－讲，大家都说：
“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
新课探究
（1）(x+2) (x–2)
（2）(1+3a)(1–3a)
（3）(x+5y)(1–5y)
（4）(2y+z)(2y–z)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
= 1 – 3a + 3a – 9a2
= 1 – 9a2
= x2 – 5xy + 5xy – 25y2
= x2 – 25y2
= 4y2 – 2yz + 2yz – z2
= 4y2 – z2
用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积：
两数的___
两数的___
中间项抵消了
两数_____的___
和
差
差
平方
你发现了什么
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。
你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗
(a + b)(a - b) = a2 - b2
（1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y).
= 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。
= x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。
（1）(3m + 1)(3m - 1)
（2）(x2 + y)(x2 - y)
你能用字母表示你发现的规律吗
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
平方差公式：
平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。
相反项
相同项
注意用谁减谁
相同项2-相反项2
例 1
利用平方差公式计算：
（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ；
（3） (– m + n ) (– m – n) 。
解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2；
（3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。
a
b
总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。
（1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。
解:（1） ( a + 2)( a – 2)
（2） (3a + 2b)(3a – 2b)
= a2 – 22
= (3a)2 – (2b)2
= a2 – 4
= 9a2 – 4b2
计算：
随堂练习
例 2 利用平方差公式计算
（1）(– x – y)(– x + y)；
（2）(ab + 8)(ab – 8) 。
解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2；
（2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。
如何计算(a – b)(– a – b) 你是怎样做的
(a – b)(– a – b)
= – (a – b) (a + b )
= – (a2 – b2)
= b2 – a2
尝试·思考
注意:对于不能直接应用公式的，
可能要经过变形才可以应用。
知识点 认识平方差公式
1.式子中，与平方差公式中
和 对应的项分别是( )
B
A.， B.，
C.， D.，
2.下列式子能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
3.下列利用平方差公式计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4.（12分）计算：
（1） ;
解：原式 ；
（2） ；
解：原式 ；
（3） 。
解：原式 。
5.计算： 等于( )
B
A. B.
C. D.
6. 若，则 ____。
平方差公式
文字描述
几何验证
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
(a + b)(a－b) = a2－b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=-b

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