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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件1.3.2平方差公式的应用第一章整式的乘除授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册1.3.2平方差公式的应用练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础应用题（每题5分，共30分）1.运用平方差公式解决基础计算应用（重点巩固：找准公式中a、b，灵活运用公式简化计算，避免直接展开）（1）$$102 \times 98$$（提示：转化为$$(100+2)(100-2)$$）（2）$$51 \times 49$$（3）$$(x+1)(x-1)(x^2 + 1)$$（4）$$(2x+3)(2x-3) + 5x$$（5）$$(-3x+2)(-3x-2)$$（6）$$99^2 - 1^2$$二、基础填空题（每题4分，共20分）1.利用平方差公式计算：$$103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 =$$ ________；2.若$$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$$，则当x=3时，代数式的值为________；3.填空：$$(a+2b)(a-2b) + 4b^2 =$$ ________；4.利用平方差公式简化计算：$$(m+3)(m-3) - (m-2)(m+2) =$$ ________；5.若$$a^2 - b^2 = 12$$，且$$a - b = 3$$，则$$a + b =$$ ________（逆用公式解决求值问题）。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列应用平方差公式的计算是否正确，错误的请改正（重点规避公式误用、转化错误，掌握应用技巧）。1. $$19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1 = 399$$（）改正：________2. $$(x-3)(x+3) - 5 = x^2 - 9 - 5 = x^2 - 4$$（）改正：________3. $$(2x+1)(2x-1) = 2x^2 - 1$$（）改正：________四、提升应用题（每题7分，共21分）1.化简并求值（平方差公式与代数式求值结合，强化公式应用灵活性）（1）$$(x+4)(x-4) - x(x-2)$$，其中$$x = -3$$（2）$$(3a-2)(3a+2) - (a-1)(a+1)$$，其中$$a = 1$$2.综合应用（重点突破公式逆用、连续应用，解决复杂计算问题）（1）$$(x-1)(x+1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)$$（2）$$(2x+3)(2x-3) - (x-2)(x+2) + 3x^2$$五、拓展应用题（14分）1.一个长方形的长为$$(2x+5)$$cm，宽为$$(2x-5)$$cm，求这个长方形的面积（用平方差公式计算），并求当x=4时，长方形的面积是多少？2.已知两个连续奇数的平方差为32，求这两个连续奇数（提示：设较小的奇数为$$2n-1$$，较大的奇数为$$2n+1$$，利用平方差公式求解）。六、易错点专项练习（附加10分）运用平方差公式解决下列问题，注意公式转化、符号调整和结果化简，避免应用错误：1. $$202 \times 198$$ 2. $$(-x-1)(x-1) + (x+2)(x-2)$$ 3. $$(a-2b)(a+2b) - (2a-b)(2a+b)$$参考答案一、基础应用题（1）$$100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$$（2）$$(50+1)(50-1) = 2500 - 1 = 2499$$（3）$$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1$$（4）$$4x^2 - 9 + 5x$$（5）$$9x^2 - 4$$（6）$$(99-1)(99+1) = 98 \times 100 = 9800$$二、基础填空题1. 9991 2. 5 3. $$a^2$$ 4. 5 5. 4三、判断改错题1.错误，改正：$$19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$$（结果正确，步骤遗漏$$1^2$$，补充完整即可）2.错误，改正：$$(x-3)(x+3) - 5 = x^2 - 9 - 5 = x^2 - 14$$ 3.错误，改正：$$(2x+1)(2x-1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$$四、提升应用题1.（1）化简：$$x^2 - 16 - x^2 + 2x = 2x - 16$$，代入x=-3，得$$2 \times (-3) - 16 = -22$$（2）化简：$$9a^2 - 4 - (a^2 - 1) = 8a^2 - 3$$，代入a=1，得$$8 \times 1 - 3 = 5$$ 2.（1）$$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1$$（2）$$4x^2 - 9 - (x^2 - 4) + 3x^2 = 6x^2 - 5$$五、拓展应用题1.面积$$S = (2x+5)(2x-5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$$（$$cm^2$$）；当x=4时，$$S = 4 \times 4^2 - 25 = 64 - 25 = 39$$（$$cm^2$$），答：长方形面积是$$4x^2 - 25$$$$cm^2$$，x=4时面积是39 $$cm^2$$。2.设较小奇数为$$2n-1$$，较大奇数为$$2n+1$$，由题意得：$$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 32$$，逆用平方差公式得：$$[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] = 32$$，化简得$$4n \times 2 = 32$$，解得$$n = 4$$，则这两个奇数为$$2 \times 4 - 1 = 7$$和$$2 \times 4 + 1 = 9$$，答：这两个连续奇数分别是7和9。六、易错点专项练习1. $$(200+2)(200-2) = 200^2 - 2^2 = 40000 - 4 = 39996$$ 2. $$(1 - x^2) + (x^2 - 4) = -3$$ 3. $$(a^2 - 4b^2) - (4a^2 - b^2) = -3a^2 - 3b^2$$说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.2平方差公式的应用核心知识点设计，重点突出公式在简化计算、代数式求值、实际问题、连续应用和逆用中的应用，涵盖基础应用、综合应用和拓展应用，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握平方差公式的应用技巧，规避公式误用、转化错误、符号错误、结果化简不彻底等常见易错点。1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简
便运算；(重点)
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.(难点)
1.问：平方差公式是怎样的？
(a + b)(a b) = a2 b2.
2.利用平方差公式计算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
4x2－49b2
9n2－m2
如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
（1）请表示图中阴影部
分的面积。
a
b
a2 – b2
新课探究
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(a + b) (a – b)
a-b
a
b
b
（3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗
a
b
a
b
阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b)
（4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法
a
b
把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。
阴影部分的面积：(a + b)(a – b)
a+b
a-b
（1）计算下列各组算式：
7×9 =
8×8 =
11×13 =
12×12 =
79×81 =
80×80 =
63
64
143
144
6399
6400
（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么
(a – 1)(a + 1) = a2 – 1。
观察·思考
（3）请用字母表示这一规律。
符合平方差公式。
例 3 用平方差公式进行计算：
（1）103×97； （2）118×122 。
解：（1）103×97
=(100 + 3)(100 – 3)
= 1002 – 32
= 9 991；
（2）118×122
= (120 – 2)(120 + 2)
= 1202 – 22
= 14 396。
(103+97)÷2=100
(118+122)÷2=120
你有什么发现
例 3 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。
解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
= a2(a2 – b2) + a2b2；
= a4 – a2b2 + a2b2；
= a4；
例 3 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)
= (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x)
= 4x2 – 25 – 4x2 + 6x
= 6x – 25。
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A
1．计算a2－(a＋1)(a－1)的结果是(　　)
A．1 B．－1
C．2a2＋1 D．2a2－1
2. 我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是(　　)
A．a(a＋9)＝a2＋9a
B．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C．(a＋3)(a－6)＝a2－3a－18
D．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B
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返回
C
4．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　　)
A．13 B．3 C．－3 D．5
A
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5. 小王叔叔改建一个边长为a m的正方形养鸡场，计划纵向扩大2 m，横向缩短2 m，则改建后养鸡场面积的变化情况是(　　)
A．面积减少4 m2 B．面积增加4 m2
C．面积增加2 m2 D．面积不变
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【点拨】由题意，得改建后养鸡场的长为(a＋2) m，宽为(a－2) m，所以改建后养鸡场的面积为(a＋2)(a－2)＝(a2－4) m2.因为a2－(a2－4)＝4(m2)，所以改建后养鸡场面积减少4 m2.
【答案】A
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6. 利用平方差公式计算：
(1)100.5×99.5；


(2)2 024×2 026－2 0252.
【解】原式＝(100＋0.5)×(100－0.5)＝1002－0.52＝10 000－0.25＝9 999.75.
原式＝(2 025－1)(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－1－2 0252＝－1.
课堂小结
原理:等面积法
简便运算
方法:用不同方法表示
同一图形的面积
混合运算
平方差公式
验证公式
应用

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