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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件1.3.4完全平方公式的应用第一章整式的乘除授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册1.3.4完全平方公式的应用练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础应用题（每题5分，共30分）1.运用完全平方公式解决基础计算应用（重点巩固：灵活运用$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$，熟练进行公式正用、逆用，简化计算）（1）$$101^2$$（提示：转化为$$(100+1)^2$$）（2）$$99^2$$（3）$$(x+3)^2 - 2(x+3)(x-2)$$（4）$$(2x-1)^2 + (2x+1)^2$$（5）$$(-x-4)^2$$（6）$$(a+b)^2 - 4ab$$二、基础填空题（每题4分，共20分）1.利用完全平方公式计算：$$102^2 = (100+2)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2 =$$ ________；2.若$$(x-2)^2 = x^2 - 4x + k$$，则当x=5时，k的值为________；3.填空：$$a^2 + 6a + 9 = (\_\_\_)^2$$（逆用完全平方公式）；4.已知$$a - b = 3$$，$$ab = 2$$，则$$a^2 + b^2 =$$ ________（逆用公式求值）；5.化简：$$(x+2y)^2 - (x-2y)^2 =$$ ________（利用公式简化运算）。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列应用完全平方公式的计算是否正确，错误的请改正（重点规避漏乘中间项、符号错误、公式误用，掌握应用技巧）。1. $$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 = 9600$$（）改正：________2. $$(x+1)^2 - (x-1)^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x + 1 = 2$$（）改正：________3. $$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab - 4b^2$$（）改正：________四、提升应用题（每题7分，共21分）1.化简并求值（完全平方公式与代数式求值结合，强化公式应用灵活性）（1）$$(x-3)^2 - (x+2)(x-2)$$，其中$$x = \frac{1}{2}$$（2）$$(2a+b)^2 - (2a-b)^2$$，其中$$a = 2$$，$$b = -1$$2.综合应用（重点突破公式逆用、混合运算，解决复杂应用问题）（1）$$(a+b+c)^2$$（提示：将$$a+b$$看作一个整体应用完全平方公式）（2）$$(x-2y)^2 - 2(x-2y)(x+y) + (x+y)^2$$五、拓展应用题（14分）1.一个正方形的边长为$$(2x-1)$$cm，另一个正方形的边长为$$(2x+1)$$cm，求这两个正方形的面积和（用完全平方公式计算），并求当x=3时，面积和是多少？2.已知$$(a+b)^2 = 18$$，$$(a-b)^2 = 6$$，求$$a^2 + b^2$$和$$ab$$的值（灵活逆用完全平方公式求解）。六、易错点专项练习（附加10分）运用完全平方公式解决下列问题，注意公式转化、符号调整和结果化简，避免应用错误：1. $$103^2$$ 2. $$(-2x+3y)^2 - (2x+3y)^2$$ 3. $$(a-1)^2 + 2(a-1)(a+1) + (a+1)^2$$参考答案一、基础应用题（1）$$100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10201$$（2）$$(100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$$（3）$$x^2 + 6x + 9 - 2(x^2 + x - 6) = -x^2 + 4x + 21$$（4）$$4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 = 8x^2 + 2$$（5）$$x^2 + 8x + 16$$（6）$$a^2 - 2ab + b^2$$二、基础填空题1. 10404 2. 4 3. $$a + 3$$ 4. 13 5. $$8xy$$三、判断改错题1.错误，改正：$$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 9604$$ 2.错误，改正：$$(x+1)^2 - (x-1)^2 = x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 4x$$ 3.错误，改正：$$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$$四、提升应用题1.（1）化简：$$x^2 - 6x + 9 - (x^2 - 4) = -6x + 13$$，代入$$x = \frac{1}{2}$$，得$$-6 \times \frac{1}{2} + 13 = 10$$（2）化简：$$4a^2 + 4ab + b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) = 8ab$$，代入$$a = 2$$，$$b = -1$$，得$$8 \times 2 \times (-1) = -16$$ 2.（1）$$(a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$（2）$$[(x-2y) - (x+y)]^2 = (-3y)^2 = 9y^2$$五、拓展应用题1.面积和$$S = (2x-1)^2 + (2x+1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 = 8x^2 + 2$$（$$cm^2$$）；当x=3时，$$S = 8 \times 3^2 + 2 = 72 + 2 = 74$$（$$cm^2$$），答：两个正方形的面积和是$$8x^2 + 2$$$$cm^2$$，x=3时面积和是74 $$cm^2$$。2.由$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 18$$，$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 6$$，两式相加得$$2(a^2 + b^2) = 24$$，解得$$a^2 + b^2 = 12$$；两式相减得$$4ab = 12$$，解得$$ab = 3$$，答：$$a^2 + b^2 = 12$$，$$ab = 3$$。六、易错点专项练习1. $$(100+3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$$ 2. $$4x^2 - 12xy + 9y^2 - (4x^2 + 12xy + 9y^2) = -24xy$$ 3. $$[(a-1) + (a+1)]^2 = (2a)^2 = 4a^2$$说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.4完全平方公式的应用核心知识点设计，重点突出完全平方公式在简化计算、代数式求值、实际问题、公式逆用和混合运算中的应用，涵盖基础应用、综合应用和拓展应用，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握完全平方公式的应用技巧，规避漏乘中间项、符号错误、公式误用、逆用不灵活等常见易错点，深化对公式的理解与运用。
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
前面我们学习了完全平方公式：
复习导入
口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。
(1) 1022=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
新课探究
怎样计算1022，1972更简单呢
(2)1972=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
你是怎样做的 与同伴进行交流。
1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件
第1页：复习回顾
1. 完全平方公式：(a+b) =a +2ab+b ；(a-b) =a -2ab+b
2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定
3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式）
第2页：基础应用·直接套用
例1：计算下列各式
（1）(2x+3y) （2）(m-5) （3）(-a+2b)
教学步骤：
1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b) 形式计算，如(-a+2b) =(2b-a)
第3页：进阶应用·简便计算
例2：用完全平方公式简便计算
（1）102 （2）99
教学步骤：
1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算
第4页：易错辨析·避坑指南
常见错误展示与纠正：
1. 错误：(x+2) =x +4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x +4x+4
2. 错误：(3a-2b) =9a -6ab+4b 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a -12ab+4b
3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满）
第5页：拓展应用·整体代入
例3：已知a+b=5，ab=3，求a +b 的值
教学步骤：
1. 引导变形：a +b =(a+b) -2ab；2. 代入数值计算：5 -2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想
第6页：课堂小结
1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入
2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用
3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义）
例6 计算：
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
解：
（1）(x+3)2-x2
=x2+6x+9-x2
=6x+9；
（2）(a+b+3) (a+b-3)
= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
= a2+2ab+b2-9
例6 计算：
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
（4） [(a+b)(a-b)]2
= (a2- b2)2
= a4-2a2b2+b4。
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)
= x2+10x+25-(x2-5x+6)
= x2+10x+25-x2+5x-6
= 15x+19
利用整式乘法公式计算：
(1) 962
(2) (a-b-3) (a-b+3)
解：962
=(100-4)2
=1002-2×100×4+42
=10000-800+16
=9216
解：(a-b-3) (a-b+3)
=(a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9
随堂练习
观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗 请用所学的公式解释自己的结论。
观察·思考
…
1×1
2×2
3×3
解:m×m 点阵中的点数:m2；
n×n 点阵中的点数:n2；
m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2；
(m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。
(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。
所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。
…
1×1
2×2
3×3
返回
1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(　　)
A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C．9.52＝92＋0.52
D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52
A
2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色
长方形的面积为________．
8
3．利用简便方法计算：
(1)499.92；
【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01.
(3)2 0262－4 050×2 026＋2 0252；
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【解】2 0262－4 050×2 026＋2 0252＝2 0262－2×
2 025×2 026＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝12＝1.
返回
5．计算：
(1)(3x－1)2－(2x＋5)2；
(2)(m＋n)2(m－n)2；
【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋
25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24.
(m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)2＝
m4－2m2n2＋n4.
(3)2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2.
返回
【解】2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2＝2(a2＋6a＋
9)－4(a2－9)＋3(a2－4a＋4)＝2a2＋12a＋18－4a2＋36＋3a2－12a＋12＝a2＋66.
课堂小结
简便运算
混合运算
平方差公式的应用
实际应用:运用完全平方公式进行推理

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