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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件2.1.1对顶角、补角和余角第二章相交线与平行线授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册2.1.1对顶角、补角和余角练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础计算题（每题5分，共30分）1.直接运用对顶角、补角和余角的性质计算（重点巩固：对顶角相等；同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；余角和为90°，补角和为180°）（1）若∠α与∠β是对顶角，且∠α=35°，求∠β的度数（2）若∠1与∠2互余，∠1=28°，求∠2的度数（3）若∠3与∠4互补，∠3=115°，求∠4的度数（4）若∠A与∠B互余，∠A=∠C，求∠C与∠B的关系（5）直线AB与CD相交于点O，∠AOC=60°，求∠BOD和∠BOC的度数（6）若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1=70°，求∠3的度数二、基础填空题（每题4分，共20分）1.对顶角的性质是：________；2.若∠α与∠β互余，则∠α + ∠β = ________°；若∠α与∠β互补，则∠α + ∠β = ________°；3.若∠1=50°，则∠1的余角是________°，补角是________°；4.直线AB与CD相交于点O，∠AOD=130°，则∠BOC=________°，∠AOC=________°；5.若∠α的补角是它的余角的4倍，则∠α = ________°（列方程求解）。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列说法或计算是否正确，错误的请改正（重点规避对顶角、补角、余角的概念混淆，性质误用）。1.有公共顶点的两个角是对顶角（）改正：________2.若∠α + ∠β = 90°，则∠α与∠β互为补角（）改正：________3.若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，则∠2=∠4（）改正：________四、提升计算题（每题7分，共21分）1.综合运用性质计算（重点突破对顶角、补角、余角的综合应用，结合方程思想）（1）直线AB、CD相交于点O，∠AOC比∠BOC小30°，求∠AOD和∠BOD的度数（2）若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互补，且∠γ=125°，求∠α的度数2.推理证明（重点强化性质的推理应用，规范表达）（1）已知：直线AB与CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD（利用补角性质证明对顶角相等）（2）已知：∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，求证：∠2=∠3五、拓展应用题（14分）1.一个角的余角比它的补角的$\frac{1}{3}$还少20°，求这个角的度数（列方程求解，重点突破方程与角度性质的结合）。2.直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOC=40°，∠BOE=30°，求∠DOF的度数（提示：结合对顶角和邻补角性质）。六、易错点专项练习（附加10分）运用对顶角、补角和余角的性质解决下列问题，注意概念区分、性质应用和推理规范，避免常见错误：1.若∠α=35°20′，求∠α的余角和补角的度数2.直线AB与CD相交于点O，∠AOB=180°，∠AOC=2∠BOC，求∠BOD的度数3.已知∠1与∠2互补，∠2=∠3+10°，∠1=100°，求∠3的度数参考答案一、基础计算题（1）∠β=35°（对顶角相等）（2）∠2=90°-28°=62°（3）∠4=180°-115°=65°（4）∠C与∠B互余（等角的余角相等）（5）∠BOD=60°（对顶角相等），∠BOC=180°-60°=120°（邻补角互补）（6）∠3=70°（同角的补角相等）二、基础填空题1.对顶角相等2. 90，180 3. 40，130 4. 130，50 5. 60三、判断改错题1.错误，改正：有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角2.错误，改正：若∠α + ∠β = 90°，则∠α与∠β互为余角3.正确四、提升计算题1.（1）设∠AOC=x，则∠BOC=x+30°，由邻补角互补得x+(x+30°)=180°，解得x=75°，故∠AOC=75°，∠BOC=105°；∠AOD=∠BOC=105°（对顶角相等），∠BOD=∠AOC=75°（对顶角相等）（2）∵∠β与∠γ互补，∴∠β=180°-125°=55°；又∵∠α与∠β互余，∴∠α=90°-55°=35°2.（1）证明：∵直线AB与CD相交于点O，∴∠AOC与∠BOC互补，∠BOD与∠BOC互补（邻补角定义）；∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）（2）证明：∵∠1与∠2互余，∠1与∠3互余（已知），∴∠2=∠3（同角的余角相等）五、拓展应用题1.设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，补角为(180-x)°，由题意得：90-x = $\frac{1}{3}$(180-x) - 20，解得x=75，答：这个角的度数是75°。2. ∵∠AOC=40°，∴∠BOD=40°（对顶角相等）；又∵∠AOB=180°，∠BOE=30°，∴∠AOE=150°，则∠DOF=∠AOE - ∠AOC - ∠BOD=150°-40°-40°=70°（对顶角相等，邻补角互补），答：∠DOF的度数是70°。六、易错点专项练习1.余角：90°-35°20′=54°40′；补角：180°-35°20′=144°40′ 2.设∠BOC=x，则∠AOC=2x，x+2x=180°，解得x=60°，∠BOD=∠AOC=120°（对顶角相等）3. ∵∠1与∠2互补，∠1=100°，∴∠2=80°；又∵∠2=∠3+10°，∴∠3=70°说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册2.1.1对顶角、补角和余角核心知识点设计，重点突出对顶角、补角、余角的概念辨析和性质应用，涵盖基础计算、方程求解、推理证明、实际应用等，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握三个角的核心性质，规避概念混淆、性质误用、角度计算失误、推理不规范等常见易错点，深化对几何角度关系的理解。
学习目标
1.了解两条直线的位置关系：相交和平行.
2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念.
3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能解决一些实际问题.
观察下列图片，你认为两条直线有哪些位置关系？
平行
相交
平行
两直线相交 所成的角 顶点 边
问题1：观察图形，填写下表并说说你有什么发现
问题引入，自主探究
A
C
B
D
O
1
4
3
2
探究点1：对顶角、补角的概念
∠1
O
OB和OD
∠2
O
OA和OC
∠3
O
OB和OC
∠4
O
OA和OD
1.有公共顶点
2.两边互为反向延长线。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。
概念引入
∠1 的对顶角是______；
∠2
∠3 的对顶角是______。
∠4
问题2：用量角器测量每个角的度数，说说你有什么发现
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。简称这两个角互补。
概念引入
图中AB⊥CD，AB，CD，EF相交于点O，则∠1与∠2 有什么关系？
∠1 ＋∠2＝90°
E
A
2
B
C
D
F
1
O
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。简称这两个角互余。
探究点2：对顶角、补角、余角的性质
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
问题3：改变角度的大小，对顶角之间的数量关系仍然存在吗？如何证明？
方法一：改变角度，测量各个角的度数：
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
方法二：几何推导证明：
∵ ∠1 +∠3 =180°，∠3 +∠2 =180°，
∴ ∠1 =∠2 。
归纳总结
两直线相交，对顶角相等。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
问题4： 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。
(1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。
(2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。
(1)在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
互为补角:
互为余角:
根据补角和余角的定义知：
∠1和∠3，∠2和∠4
∠DOA和∠ COA ， ∠DON和∠ CON ， ∠DOB和∠ COB 。
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？
你能说明理由吗？与同伴进行交流。
因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90°
又因为 ∠1=∠2
所以 ∠3=∠4
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC
又因为∠BOC =∠AOD
所以 ∠AOC = ∠BOD
∠BOD=∠AOB+∠AOD
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。
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1．下列说法正确的是(　　)
A．不相交的两条直线是平行线
B．在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C．在同一平面内，两条直线不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D
2．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)
D
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3．如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是(　　)
A．a　
B．b　
C．c　
D．d
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C
4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　)
A．100° B．110°
C．120° D．130°
C
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5．若∠A的补角是102°，则∠A的余角为(　　)
A．40°　 B．51°　 C．30°　 D．12°
返回
D
6．将一副三角尺按下列位置摆放，使∠1与∠2互为余角的摆放方式是(　　)
返回
【点拨】A.因为同角的余角相等，所以∠1＝∠2，但∠1与∠2不一定互余，故此选项不符合题意；B.因为∠1＋45°＝∠2＋45°＝180°，所以∠1＝∠2＝135°，即∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；C.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；D.因为∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，所以∠1与∠2互为余角，故此选项符合题意．故选D.
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角（或等角）的
余角相等
同角（或等角）的
补角相等
对顶角的性质：
两个角的和是90°
两个角的和是180°
对顶角相等.

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