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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件2.1.2垂线第二章相交线与平行线授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册2.1.2垂线练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础计算题（每题5分，共30分）1.直接运用垂线的性质计算（重点巩固：垂线的定义；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短；两条直线垂直，夹角为90°）（1）若直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠BOD的度数（2）直线AB与CD垂直，∠1=35°，求与∠1互余的角的度数（3）过点P作直线l的垂线，能作几条？请说明理由（4）直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOD=90°，求∠BOC的度数（5）如图，OA⊥OB，∠AOC=25°，求∠BOC的度数（6）直线l外一点P到直线l的垂线段长为5cm，求点P到直线l的距离二、基础填空题（每题4分，共20分）1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相________，其中一条直线叫做另一条直线的________，它们的交点叫做________；2.平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直；3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短，简称：________；4.直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOB=________°，∠COD=________°；5.点到直线的距离是指：直线外一点到这条直线的________的长度。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列说法或计算是否正确，错误的请改正（重点规避垂线的概念混淆、性质误用，区分垂线段与点到直线的距离）。1.两条直线相交，若有一个角是锐角，则这两条直线互相垂直（）改正：________2.过直线l上一点P，有两条直线与直线l垂直（）改正：________3.垂线段就是点到直线的距离（）改正：________四、提升计算题（每题7分，共21分）1.综合运用垂线性质计算（重点突破垂线与对顶角、补角、余角的综合应用）（1）直线AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠AOC，求∠BOE的度数（2）直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOD=30°，求∠AOC的度数2.推理证明与作图（重点强化垂线的性质推理，规范作图步骤）（1）已知：直线l和直线l外一点P，求证：过点P有且只有一条直线与直线l垂直（简要证明）（2）作图：过点P作直线AB的垂线，垂足为O；过点Q作直线CD的垂线，交CD于点M（保留作图痕迹）五、拓展应用题（14分）1.如图，直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOD=90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOC，求证：OE⊥OF（利用垂线定义和角平分线性质证明）。2.某工厂要在直线形公路l旁建一个仓库，仓库到公路l的距离为50米，且到公路两端A、B的距离相等，请确定仓库的位置（简要说明作图方法和理由）。六、易错点专项练习（附加10分）运用垂线的定义和性质解决下列问题，注意概念区分、性质应用和作图规范，避免常见错误：1.直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，∠BOE=60°，求∠DOE的度数2.过点P作直线l的垂线，垂足为O，PO=4cm，点Q在直线l上，求PQ的最小值3.已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC=30°，求∠BOD的度数（分两种情况讨论）参考答案一、基础计算题（1）∠BOD=90°（垂直的定义，对顶角相等）（2）与∠1互余的角的度数为90°-35°=55°（3）1条，理由：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（4）∠BOC=90°（垂直的定义，对顶角相等）（5）∠BOC=∠AOB - ∠AOC=90°-25°=65°（垂直的定义）（6）点P到直线l的距离为5cm（垂线段的长度就是点到直线的距离）二、基础填空题1.垂直，垂线，垂足2.一3.垂线段，垂线段最短4. 90，90 5.垂线段三、判断改错题1.错误，改正：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直2.错误，改正：过直线l上一点P，有且只有一条直线与直线l垂直3.错误，改正：垂线段的长度就是点到直线的距离四、提升计算题1.（1）∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC=90°（垂直的定义）；∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=45°；又∵∠AOB=180°，∴∠BOE=180°-45°=135°（2）∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°（垂直的定义）；又∵∠AOD=180°，∠EOD=30°，∴∠AOC=∠EOD=30°（对顶角相等）2.（1）证明：假设过点P有两条直线PA、PB都与直线l垂直，垂足分别为A、B，则∠PAB=∠PBA=90°，在△PAB中，内角和为180°，则∠APB=0°，即PA与PB重合，故过点P有且只有一条直线与直线l垂直（2）作图略（提示：用直尺和圆规作图，保留垂足和作图痕迹，标注字母）五、拓展应用题1.证明：∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC=∠BOD=90°（垂直的定义）；∵OE平分∠BOD，OF平分∠AOC，∴∠BOE=45°，∠AOF=45°；又∵∠AOB=180°，∴∠EOF=180°-∠AOF-∠BOE=90°，∴OE⊥OF（垂直的定义）2.作图方法：1.作线段AB的垂直平分线MN；2.作直线l的垂线，在垂线上截取线段长度为50米，得到两个点；3.两个点中在MN上的点即为仓库位置。理由：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，垂线段的长度为点到直线的距离。六、易错点专项练习1.分两种情况：①OE在∠BOC内，∠DOE=90°-60°=30°；②OE在∠BOD内，∠DOE=90°+60°=150°2. PQ的最小值为4cm（垂线段最短，PQ的最小值即为PO的长度）3.分两种情况：①OC、OD在OA、OB同侧，∠BOD=90°-30°=60°；②OC、OD在OA、OB异侧，∠BOD=90°+30°=120°说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册2.1.2垂线核心知识点设计，重点突出垂线的定义、性质、作图和综合应用，涵盖基础计算、概念辨析、推理证明、作图操作、实际应用等，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握垂线的核心知识，规避概念混淆、性质误用、作图不规范、忽略分类讨论等常见易错点，深化对垂线与几何角度关系、线段关系的理解。
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念.
2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.
问题 在我们的身边随处可见“直线”的形象，其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系，观察下面三幅图片，你能找出其中相交的直线吗 它们有什么特殊的位置关系
问题引入，自主探究
探究点1：垂直、垂线、垂足的概念
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α 。
a
b
α
转动木条的同时观察其夹角的变化。
α
α
α
α
b
b
b
b
垂线教学课件幻灯片（教学过程部分）
幻灯片1：复习导入（核心：唤醒旧知，激发探究）
1. 回顾概念：提问“什么样的两条直线互相垂直？”引导学生回答“相交成直角的两条直线互相垂直”，出示水平、斜向两组垂直图示，强调“直角”是核心，打破“竖直才垂直”的误区。
2. 情境设问：在黑板直线上标一点A、直线外标一点B，提问“如何从A或B出发画一条直线与已知直线垂直？”引出课题——画垂线。
幻灯片2：探究新知一（核心：过直线上一点画垂线）
1. 尝试操作：学生用三角尺、直尺自主尝试，教师巡视观察学情。
2. 示范讲解：分步演示“放（三角尺一条直角边与直线重合）→移（直角顶点与点A重合）→画（沿另一条直角边画直线）→标（标注垂直符号⊥）”，板书关键步骤。
3. 模仿练习：学生同步操作，教师针对性指导。
幻灯片3：探究新知二（核心：过直线外一点画垂线）
1. 迁移类推：提问“与过直线上一点画图有何异同？”引导学生自主尝试。
2. 重点突破：演示“移”的关键——使三角尺另一条直角边经过点B，强调与上一方法的差异。
3. 规律总结：引导学生发现“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，齐读强化记忆。
幻灯片4：巩固深化（核心：强化应用）
1. 基础练习：给出两组图形，分别过直线上、外一点画垂线。
2. 拓展判断：展示若干相交直线，判断是否垂直并说明理由。
3. 生活联结：找一找教室中的垂线，感受数学与生活的联系。
幻灯片5：课堂小结（核心：梳理回顾）
1. 回顾重点：画垂线的规范步骤、关键要领。
2. 总结收获：强调“重合”的重要性及垂线的性质，梳理知识脉络。
a 与 b 垂直
(1)当 ∠α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少？
a
b
α
(2)当 ∠α 为 90° 的位置关系有几个？
此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
a
α
b
唯一一个
35°
145°
145°
35°
90°
90°
90°
90°
表示方法：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。
概念引入
它们的交点叫作垂足(如图O点)
C
D
A
B
O
①
如图① 记作：AB⊥CD
如图② 记作：l ⊥ m
O
②
l
m
生活中我们还在哪些地方见过这样的垂线呢？
窗户
黑板
墙角
栏杆
探究点2：垂直的判定与性质
如图，O为直线AB上一点。
(1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？
A
B
C
O
由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°，
可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。
(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。
所以 OC⊥ AB
可得∠AOC =∠BOC=90°
且∠AOC+∠BOC=180°
由∠AOC =∠BOC，
(已知条件)
(补角的性质)
(角的数量关系)
(垂直的定义)
(3)因为 OC⊥AB (已知)
所以 ∠AOC=∠BOC=90°
垂直的性质：
因为 AB⊥OC(已知) ，
所以∠AOC = 90°(垂直的定义)
垂直的判定：
因为∠AOC ＝ 90°(已知)，
所以 AB⊥OC (垂直的定义)
A
B
C
O
问题1：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
探究点3：垂线的画法及性质
问题2：如果只用直尺，你能画出方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
问题3：根据下图要求你能用量角器作已知直线的垂线吗？
点 A 在直线 l 上
A
点 A 在直线 l 外
A
l
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
A
B
m
O
无数条
l
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
问题4：根据题中要求作直线的垂线。
(1)如图，你能用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？
A
B
m
O
无数条
l1
一条
一条
l
(3)如图，如果点B在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流
(4)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
P
A
B
C
O
l
线段PO 的长度最短
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
P
A
B
O
l
C
线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。
垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
垂线 垂线段 点到直线的距离
图示
区别
联系 垂线是一条直线
垂线段是一条线段
垂线段的长度，是一个数量
它们都与垂直有关
l
P
O
l
P
O
l
P
O
知识点1 垂直的定义
（第1题）
1.如图所示，直线与相交于点 。
（1）当 时，___ ；
（2）若，则 _____。
（第2题）
2.如图，已知，若 ，则 的度数为
( )
B
A. B.
C. D.
3.[北京中考] 如图，直线和相交于点 ，
。若 ，则 的大小为
( )
B
A. B.
C. D.
4.（8分）如图，已知， ，
。
（1）求 的度数；
解：因为，所以 ，即
（2）与 垂直吗？请说明理由。
解： 。理由如下：
因为 ， ，
所以 ，即 ，所以 。
，所以。
知识点2 垂线的画法
5.利用三角尺，过直线外的点作直线 的垂线，下列各图中，三角尺操
作正确的是( )
C
A. B. C. D.
6.（12分）如图所示。
（1）在图①中过点画 的垂线；
解：如图①所示。
（2）在图②中过点画 的垂线；
解：如图②所示。
（3）在图③中过点画 的垂线。
解：如图③所示。
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
课堂小结
概念
性质
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离

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