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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行第二章相交线与平行线授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础计算题（每题5分，共30分）1.直接运用内错角、同旁内角判定两直线平行（重点巩固：内错角、同旁内角的定义；平行判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行）（1）如图，直线a、b被直线c所截，∠1=50°，∠2=50°（∠1与∠2是内错角），判断a与b是否平行，并说明理由（2）直线l、m被直线n所截，∠3=130°，∠4=50°（∠3与∠4是同旁内角），求证：l∥m（3）如图，∠1=∠2=75°（∠1与∠2是内错角），判断直线AB与CD是否平行，并说明理由（4）直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF=110°，∠DFE=70°（∠AEF与∠DFE是同旁内角），判断AB与CD的位置关系（5）如图，∠A=∠CDE（∠A与∠CDE是内错角），判断AC与DE是否平行，并说明理由（6）直线a、b被直线c所截，∠1+∠2=180°（∠1与∠2是同旁内角），判断a与b是否平行，并说明理由二、基础填空题（每题4分，共20分）1.两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，被截两直线之间的角，叫做________；在截线同旁，被截两直线之间的角，叫做________；2.平行判定方法2（内错角判定）：________，两直线平行；判定方法3（同旁内角判定）：________，两直线平行；3.如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1与∠2是内错角，若∠1=∠2，则________∥________；4.若直线a、b被直线c所截，∠1=60°，当∠2=________°时，a∥b（∠1与∠2是同旁内角）；5.同一平面内，若两条直线被第三条直线所截，一组内错角相等，则这两条直线________，依据是：________。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列说法或推理是否正确，错误的请改正（重点规避内错角、同旁内角概念混淆、判定方法误用，区分三种平行判定方法）。1.任意两个相等的角都是内错角，且能判定两直线平行（）改正：________2.直线a、b被直线c所截，若∠1与∠2是同旁内角，且∠1+∠2≠180°，则a与b不平行（）改正：________3.如图，∠1与∠3是同旁内角，若∠1+∠3=180°，则直线AB∥CD（）改正：________四、提升计算题（每题7分，共21分）1.综合运用内错角、同旁内角判定平行（重点突破：结合对顶角、补角、垂线性质求内错角、同旁内角，判定两直线平行）（1）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF=120°，∠DFG=60°（∠AEF与∠DFG是内错角），判断AB与CD是否平行，并说明理由（2）直线l、m被直线n所截，∠1=∠2，∠2与∠3互为邻补角，求证：l∥m（用同旁内角判定）2.作图与推理（重点强化：内错角、同旁内角的识别、平行判定的规范表达，掌握作图方法）（1）已知：直线l和直线l外一点P，利用内错角相等，作一条直线m经过点P，且m∥l（保留作图痕迹，简要说明作图理由）（2）如图，∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，分别用内错角、同旁内角判定直线a、b、c的位置关系，并说明理由五、拓展应用题（14分）1.如图，已知∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：AB∥CD∥EF（分别用内错角、同旁内角判定，逐步推理）。2.某小区要修建一条平行于主干道AB的小路CD，施工时测得∠1=75°（∠1是小路CD与施工线EF的同旁内角，∠2是主干道AB与施工线EF的同旁内角），求∠2的度数，并说明理由。六、易错点专项练习（附加10分）运用内错角、同旁内角的定义和判定方法解决下列问题，注意角的识别、判定规范、推理严谨，避免常见错误：1.如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF=135°，∠DFE的内错角比∠AEF小90°，判断AB与CD是否平行2.已知直线a∥b，直线b∥c，用内错角判定说明直线a∥c的理由3.如图，∠1与∠2是内错角，∠1=80°，∠2的补角是100°，判断两直线是否平行，并说明理由参考答案一、基础计算题（1）a∥b，理由：内错角相等，两直线平行（∠1与∠2是内错角，且∠1=∠2=50°）（2）证明：∵∠3=130°，∠4=50°（已知），∴∠3+∠4=180°，且∠3与∠4是同旁内角，∴l∥m（同旁内角互补，两直线平行）（3）AB∥CD，理由：∠1与∠2是内错角，且∠1=∠2=75°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（4）AB∥CD，理由：∠AEF+∠DFE=110°+70°=180°，且∠AEF与∠DFE是同旁内角，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）（5）AC∥DE，理由：∠A与∠CDE是内错角，且∠A=∠CDE，∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）（6）a∥b，理由：∠1+∠2=180°（已知），且∠1与∠2是同旁内角，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）二、基础填空题1.内错角，同旁内角2.内错角相等；同旁内角互补3. AB，CD 4. 120 5.平行；内错角相等，两直线平行三、判断改错题1.错误，改正：两条直线被第三条直线所截，相等的内错角才能判定两直线平行2.正确3.错误，改正：∠1与∠3不是同旁内角，不能判定AB∥CD（或改为：∠1与∠2是同旁内角，若∠1+∠2=180°，则AB∥CD）四、提升计算题1.（1）AB∥CD，理由：∠AEF=120°，∴∠BEF=180°-120°=60°（邻补角互补）；∠BEF与∠DFG是内错角，且∠BEF=∠DFG=60°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（2）证明：∵∠2与∠3互为邻补角（已知），∴∠2+∠3=180°（邻补角定义）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠3=180°（等量代换）；∠1与∠3是同旁内角，∴l∥m（同旁内角互补，两直线平行）2.（1）作图略（提示：用直尺和圆规作∠1=∠2，使∠1与∠2为内错角，直线m即为所求）；理由：内错角相等，两直线平行（2）a∥b∥c，理由：①内错角判定：∠1=∠3=70°（已知），∠1与∠3是内错角，∴a∥c；∠2=110°，∴∠2的邻补角=70°=∠1，该邻补角与∠1是内错角，∴a∥b，故a∥b∥c；②同旁内角判定：∠1+∠2=70°+110°=180°，∠1与∠2是同旁内角，∴a∥b；∠3+∠2=70°+110°=180°，∠3与∠2是同旁内角，∴b∥c，故a∥b∥c五、拓展应用题1.证明：∵∠1=∠2（已知），∠1与∠2是AB与CD被截形成的内错角，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；∵∠2+∠3=180°（已知），∠2与∠3是CD与EF被截形成的同旁内角，∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）；∴AB∥CD∥EF2. ∠2=105°，理由：小路CD∥主干道AB，∠1与∠2是同旁内角（已知），根据“同旁内角互补，两直线平行”的逆用，可得∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-75°=105°。六、易错点专项练习1.平行，理由：∠DFE的内错角=135°-90°=45°，∠AEF的邻补角=180°-135°=45°，该邻补角与∠DFE的内错角相等，且为内错角，∴AB∥CD 2.设直线l截a、b、c于点A、B、C，∵a∥b，∴∠1=∠2（内错角相等）；∵b∥c，∴∠2=∠3（内错角相等），∴∠1=∠3，∠1与∠3是a、c被l截得的内错角，∴a∥c3.平行，理由：∠2的补角是100°，∴∠2=180°-100°=80°；∠1=80°，∴∠1=∠2，且∠1与∠2是内错角，∴两直线平行说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册2.2.2利用内错角、同旁内角判定两直线平行核心知识点设计，重点突出内错角、同旁内角的定义、识别，以及两种平行判定方法的应用，兼顾与同位角判定方法的关联，涵盖基础计算、概念辨析、推理证明、作图操作、实际应用等，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握内错角、同旁内角的识别技巧和平行判定方法，规避角的识别错误、判定方法误用、推理不规范等常见易错点，深化对两直线平行判定的全面理解。
学习目标
1.理解并掌握内错角和同旁内角的概念.
2.能够识别内错角和同旁内角.
3.能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行.
4.会尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
探究点1：内错角和同旁内角的识别
问题引入，自主探究
C
D
A
B
l
1
3
2
问题1：观察右图中的∠1和∠2， ∠1和∠3，它们是同位角吗？
问题2：观察右图中的∠1和∠2，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的_____________。
2.都在截线 l 的__________。
之间(之内)
两侧(交错)
不是
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内错角。
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题3：尝试找出下图中内错角，并观察内错角的图形有什么特征。
∠4和∠6，∠3和∠5
α
β
α
β
4
6
3
5
总结
图形特征：在形如字母“ Z ”的图形中有内错角。
C
D
A
B
l
1
3
2
问题4：观察右图中的∠1和∠3，你能发现它们有什么样的位置关系吗？
1.都在被截直线AB，CD的___________。
2.都在截线 l 的______________。
之间(之内)
同一旁(同侧)
具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角。
∠4和∠5，∠3和∠6
A
B
F
1
2
3
4
5
7
6
8
C
D
E
问题5：尝试找出下图中同旁内角并观察同旁内角的图形有什么特征。
α
β
α
β
4
5
3
6
总结
图形特征：在形如字母“ U ”的图形中有同旁内角。
回顾同位角﹑内错角和同旁内角的位置与结构特征，完成下列表格。
角的名称 位置特征 基本图形 形象记法 共同特征
同位角 截线：_________ 被截线：_______ “_________”
内错角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同旁内角 截线：_________ 被截线：_______ “_________” 同侧
同侧
F
Z
U
两侧
之间
同侧
之间
①必有三条直线
②这三类角都没有公共顶点
③都表示角之间的位置关系
问题1：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
探究点2：平行线的判定
a
b
l
3
2
1
解：当内错角相等时，两直线平行，
即当∠1=∠2时，a∥b。
因为∠1=∠3（对顶角相等），
当∠1=∠2时，
∠2 = ∠3 (等量代换)，
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
总结
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
几何语言：
因为∠1=∠2 (已知)，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行)。
a
b
l
3
2
1
解：当同旁内角互补时，两直线平行，
即当∠1+∠2=180°时，a∥b。
因为∠1+∠2=180°(已知)，
∠1+∠3=180°(平角的定义)，
所以∠2 = ∠3 (同角的补角相等)，
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
问题2：同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。
a
b
l
3
2
1
总结
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
几何语言：
因为∠1＋∠2＝180°(已知)，
所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行)。
a
b
l
3
2
1
观察·交流
(1)如图，三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
B
C
A
E
D
B
C
A
E
D
(2)以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？
BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠EAC 是内错角，而且相等。
依据内错角相等，判断两直线平行。
B
C
A
E
D
(3)在图中再找出一组平行线，说说你的理由，并与同伴进行交流
AB∥EC。
理由:
因为∠BAC=∠ECA=90°，
所以 AB∥EC。(内错角相等，两直线平行)
思考·交流
如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢？与同伴进行交流。
b
a
截线
利用截线与两条直线构造出同位角、内错角或同旁内角，再依据平行线的判定说明两条直线平行。
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且MN与AB 平行。
问题1：过点P的直线有多少条？
A
B
C
D
O
P
探究点3：用尺规过一点作已知直线的平行线
问题2：满足什么条件的直线才能与AB平行？
无数条
E
需要满足∠DPE=∠POB，可根据同位角相等判断所画直线与AB平行。
1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。
2.以点 P 为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。
A
B
P
O
C
D
M
N
因为∠DPN=∠DOB 且为同位角，利用同位角相等，得出两直线平行
问题3：你能在图中画出直道 MN 吗？
问题4：你能说说这样作的道理吗？
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1．如图所示，下列说法中正确的有(　　)
①∠A与∠B是同旁内角；
②∠2与∠1是内错角；
③∠A与∠C是内错角；
④∠A与∠1是同位角．
A．1个　 B．2个　 C．3个 D．4个
C
2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　　)
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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【点拨】①利用同旁内角互补判定两直线平行，正确；②利用内错角相等判定两直线平行．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故错误；③利用内错角相等判定两直线平行，正确；④利用同位角相等判定两直线平行，正确．故选C.
【答案】 C
3. [观察·交流]如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有(　　)
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
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【点拨】∠B＝∠DCE，则AB∥EC(同位角相等，两直线平行)；∠BCA＝∠CAE，则AE∥DB(内错角相等，两直线平行)；∠ACE＝∠DEC，则AC∥ED(内错角相等，两直线平行)．互相平行的线段有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥ED，共3组．故选B.
【答案】 B
4. 如图，________是∠1和∠6的同位角，________是∠1和∠6的内错角，________是∠6的同旁内角．
∠3
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∠5
∠4
5. 如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为_____________________________．
(写出一个即可)
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∠ADC＋∠A＝180°(答案不唯一)
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6．如图是一个由4条射线构成的“鱼”形图案，∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°.找出图中所有的平行线，并说明理由．
【解】BF∥CE，BC∥EF.理由
如下：因为∠1＝50°，∠2＝50°，所以∠1＝∠2，所以BF∥CE.因为∠2＝50°，∠3＝130°，所以
∠2＋∠3＝180°，所以BC∥EF.
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
性质
概念
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
课堂小结
性质
概念
性质
性质
概念
同位角
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
形如 ∠1与∠2 的位置关系
同位角相等，两直线平行。
概念
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行。
内错角相等，两直线平行。
内错角
同旁内角
形如 ∠2与∠3 的位置关系
形如 ∠2与∠4 的位置关系
同旁内角互补，两直线平行。

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