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北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件4.1.3三角形的高、中线与角平分线第四章三角形授课教师：.班级：七年级（）班.时间：.北师大版数学七年级下册4.1.3三角形的高、中线与角平分线练习题班级：________姓名：________得分：________时间：45分钟一、基础选择题（每题5分，共30分）1.理解三角形的高、中线与角平分线的定义，掌握三种线段的性质，能准确识别、画出三种线段并运用其性质解决简单问题（重点巩固：三种线段的定义、性质，不同三角形中高的位置特点）（1）三角形的高是（）A.一条射线B.一条线段C.一条直线D.以上都有可能（2）下列说法正确的是（）A.三角形的中线平分三角形的内角B.三角形的角平分线平分三角形的边C.三角形的高垂直于三角形的边D.三角形的中线、高、角平分线都是线段（3）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若BC=6cm，则BD的长为（）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm（4）在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分线，则∠BAD的度数为（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 60°（5）下列关于三角形高的说法，错误的是（）A.锐角三角形的三条高都在三角形内部B.直角三角形的两条直角边互为高C.钝角三角形的三条高都在三角形外部D.三角形的三条高交于一点（6）在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线，若AD=6cm，BE=5cm，则下列说法正确的是（）A. AE=EC B. BD=DC C. AD=BE D. ∠ADB=60°二、基础填空题（每题4分，共20分）1.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边________的线段，三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的________；2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的________，三角形的三条角平分线交于一点；3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，________和________之间的线段，三角形的三条高交于一点；4.在△ABC中，CE是AB边上的中线，若AE=3cm，则AB的长为________cm；5.直角三角形的一条直角边长为5cm，斜边上的高为4cm，这条斜边的长为________cm（提示：利用三角形面积公式）。三、判断改错题（每题5分，共15分）判断下列说法或表述是否正确，错误的请改正（重点规避三种线段的定义混淆、性质误用、不同三角形高的位置判断错误）。1.三角形的角平分线就是三角形内角的平分线（）改正：________2.钝角三角形的三条高都在三角形外部（）改正：________3.三角形的中线把三角形分成两个面积不相等的三角形（）改正：________四、提升解答题（每题7分，共21分）1.三角形高、中线、角平分线的基础识别与计算（重点突破：掌握三种线段的定义，能根据定义进行简单计算，规范表述）（1）在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求AB边上的高CD的长度；（2）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠ADC的度数。2.三角形中线与面积的综合应用（重点强化：利用三角形中线平分面积的性质，解决面积相关问题）（1）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的面积为12cm ，求△ABC的面积，并说明理由；（2）在△ABC中，CE是AB边上的中线，DF是△CDE的中线，若△CDE的面积为4cm ，求△ABC的面积。五、拓展应用题（14分）1.结合三角形高、中线、角平分线的性质，解决简单图形问题（重点：能综合运用三种线段的性质，分析图形关系，规范表达解题过程）（1）在△ABC中，AD是BC边上的高，也是BC边上的中线，求证：△ABC是等腰三角形（提示：利用全等三角形的判定）；（2）在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数。六、易错点专项练习（附加10分）规避三角形高、中线、角平分线的常见错误（重点：区分三种线段的定义与性质、判断不同三角形高的位置、利用中线平分面积的性质，避免定义混淆、计算失误）1.辨析下列说法是否正确，若错误，说明理由并改正：（1）三角形的高一定在三角形内部；（2）三角形的一条中线把三角形分成两个周长相等的三角形；2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是∠BAC的角平分线，若BC=10cm，∠BAC=80°，求BD的长和∠BAE的度数，并说明理由。参考答案一、基础选择题1. B（解析：三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是射线或直线）2. D（解析：A.中线平分对边，不平分内角；B.角平分线平分内角，不平分对边；C.高垂直于对边所在直线，不一定垂直于对边本身；D正确）3. B（解析：中线平分对边，BD=BC÷2=6÷2=3cm）4. B（解析：角平分线平分内角，∠BAD=∠BAC÷2=60°÷2=30°）5. C（解析：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在内部）6. A（解析：BE是中线，中线平分对边，故AE=EC；B.AD是高不是中线，BD≠DC；C.AD=6cm≠BE=5cm；D.高垂直对边，∠ADB=90°）二、基础填空题1.中点；重心2.线段3.顶点；垂足4. 6 5. 6.25（解析：面积=5×5÷2=12.5cm ，斜边=12.5×2÷4=6.25cm）三、判断改错题1.错误，改正：三角形的角平分线是一条线段，是三角形一个内角的平分线与它对边的交点和这个角顶点之间的线段（内角平分线是射线，三角形的角平分线是线段）2.错误，改正：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部3.错误，改正：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形（中线平分对边，两个三角形等底等高，面积相等）四、提升解答题1.（1）先求AB的长：由勾股定理得AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10cm；△ABC的面积=AC×BC÷2=6×8÷2=24cm ；又因为面积=AB×CD÷2，所以CD=24×2÷10=4.8cm。答：AB边上的高CD的长度为4.8cm。（2）先求∠BAC的度数：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°；AD是角平分线，∠BAD=80°÷2=40°；∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80°。答：∠BAD=40°，∠ADC=80°。2.（1）△ABC的面积为24cm ；理由：AD是BC边上的中线，中线平分对边，△ABD和△ACD等底等高，面积相等，故△ABC的面积=2×△ABD的面积=2×12=24cm 。答：△ABC的面积为24cm ，理由见解析。（2）DF是△CDE的中线，故△CDF和△EDF面积相等，△CDE的面积=2×△CDF的面积（或△EDF），但题目直接给出△CDE面积为4cm ；CE是AB的中线，△CDE和△ADE等底等高（以DE为底，高相同），故△CDE面积=△ADE面积=4cm ，△ACD面积=8cm ；又因为CE是中线，△ACD和△BCD面积相等，故△ABC面积=2×8=16cm 。答：△ABC的面积为16cm 。五、拓展应用题1.（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°；∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC；又∵AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SAS）；∴AB=AC，故△ABC是等腰三角形。（2）先求∠BAC的度数：∠BAC=180°-50°-70°=60°；AD是角平分线，∠BAD=60°÷2=30°；AE是高，∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°；∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°。答：∠DAE的度数为10°。六、易错点专项练习1.（1）错误；理由：锐角三角形的三条高在内部，直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形的两条高在外部，一条在内部；错误原因是忽略了不同三角形高的位置差异。（2）错误；理由：三角形的中线平分对边，但不一定平分周长（另外两边长度不一定相等）；改正：三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。2. BD=BC÷2=10÷2=5cm；理由：AD是BC边上的中线，中线平分对边；∠BAE=∠BAC÷2=80°÷2=40°；理由：AE是∠BAC的角平分线，角平分线平分内角。答：BD的长为5cm，∠BAE的度数为40°，理由见解析。说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册4.1.3三角形的高、中线与角平分线核心知识点设计，重点突出三种线段的定义、性质、识别及应用，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升。涵盖选择题、填空题、判断题、解答题等多种题型，结合锐角、直角、钝角三角形的特点，帮助学生熟练掌握三种线段的区别与联系，规避定义混淆、高的位置判断错误、中线平分面积性质误用等常见易错点，培养学生的图形识别能力、逻辑推理能力和计算能力，体会三种线段在三角形中的重要作用。 新课导入
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置。说说你的想法，并于同伴进行交流。
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观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊的？
探究点一：三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
所以AD是△ABC的BC边上的高。
因为 AD⊥BC（∠BDA =90°)，
符号语言：
新课探究
探究点1：认识三角形的高、中线、角平分线
一个三角形能画几条高线？
A
B
C
D
一个三角形有三个顶点，应该有三条高。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。
所以 AD是△ABC的BC边上的中线。
符号语言：
若点D是BC的中点，△ABD与△ACD的面积相等吗
S△ABD=S△ACD
因为 BD=DC= BC ，
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
所以 AD是△ABC的一条角平分线。
符号语言：
因为 ∠1=∠2= ∠BAC ，
三角形的角平分线与角的平分线有什么关系
区别：三角形的角平分线是线段，
而角的平分线是一条射线；
联系：它们都平分角，
（1）在纸上画一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
A
B
C
E
F
G
H
相交于一点
探究点2：三角形三条中线、角平分线和高所在直线分别交于一点
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？画一画，折一折，并于同伴进行交流。
A
C
B
A
B
C
H
H
（3）如图，用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置吗
不经过尝试，你能直接确定这个点的位置吗
三角形的三条中线交于一点。 这个点称为三角形的重心。
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点。你是怎样做的
准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
你能分别画出这三个三角形的三条角平分线
分别画出这三个三角形的三条角平分线。
在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
三角形的三条角平分线交于一点。
这个点称为三角形的内心。
1.准备一个锐角三角形纸片.
（1）你能画出这个三角形的三条高吗 你能用折纸的办法得到它们吗
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高在
三角形的内部交于一点.
思考·交流
2.在纸上画出一个直角三角形.
（1）画出直角三角形的三条高。
（2）它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点处.
（1）画出钝角三角形的三条高。
（2）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
3.在纸上画出一个钝角三角形。
O
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。
钝角三角形的三条高不相交。
三角形的高线 锐角 三角形 直角 三角形 钝角
三角形
图形
在三角形内部的数量
是否相交
所在直线是否相交
所在的直线的交点位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在的直线交于一点。
这个点称为三角形的垂心。
知识点1 三角形的高
1.如图， 。
（第1题）
（1）在中，边 上的高是____；
（2）在中，边 上的高是____；
（3）在中，边 上的高是____。
2.如图，已知，为边上的高，若 ，则 的度
数为_____。
（第2题）
3.（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点， ，
均在小正方形的顶点上。
（1）画出的边上的高 ；
解：如图， 即为所求。
（2） 的面积为____。
12
知识点2 三角形的中线
（第4题）
4.如图，已知是的中线，，则 的
长为( )
B
A.4 B.5
C.6 D.8
5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，， ，
，均在小正方形的顶点上，则 的重心是_____。
点
（第5题）
6.如图，在中，是边上的中线，的面积是 ，
则的面积是____ 。
12
（第6题）
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E
F
O
D
B
C
A
E
F
三角形的重要线段
高
角平分线
重心
课堂小结
中线
平分线段
平分面积
垂心
内心

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