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山西大同市第一中学校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试卷
一、单选题
1．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．设x，，向量，，且，，则（ ）
A．5 B． C． D．10
3．已知复数，则的虚部为（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知是两个不共线的向量，设=，，，则共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
7．已知的三边长分别是，若，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
8．半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是
A．2 B．0 C． D．
二、多选题
9．已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（ ）
A． B． C． D．
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则面积的最大值为
11．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是的重心
B．若，则点M在线段的延长线上
C．若，且，则的面积是面积的
D．已知平面向量，满足，则为等腰三角形
三、填空题
12．如果1-2i是关于的实系数方程的一个根，其中i是虚数单位，则______．
13．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______.
14．已知函数，若，则的取值范围是__________．
四、解答题
15．已知，复数．
(1)若对应的点在第一象限，求的取值范围；
(2)若的共轭复数与复数相等，求的值．
16．已知.
(1)求的值
(2)求的值.
17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
18．已知向量，且，求：
（1）及；
（2）若的最小值为，求实数的值．
19．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3． 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用分别表示;
(2)如果=，=，求λ+3μ的最小值．
参考答案
1．C
2．C
3．C
4．A
5．B
6．A
7．A
8．D
9．BC
10．ABD
11．ACD
12．-10
13．
14．
15．（1）由题意得，解得，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以，
因为与复数相等，
所以，解得．
16．（1）∵.
∴，即
，
（2）由（1）知＜0，又
∴
∴
17．（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
18．（1）由题意，向量，
可得，
又由
所以.
（2）由（1）可得，
即，
令，所以，
对称轴为，
若，则，不符合题意；
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得，
综上可得：.
19．（1）由=，所以，
可得；
（2）因为，，所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4．

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