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2026年高考数学模拟卷（新高考·新课标Ⅰ卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A={x|2≤x≤3}，B={x|x<5}，则 A等于（ ）
A. {x|22. 复数z=6+3i，则|z |等于（ ）
A. 3√5 B. √5 C. 5 D. 3
3. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-3)，则b在a上的投影为（ ）
A. -√5/5 B. √5/5 C. -1 D. 1
4. 函数f(x)=cosx·ln|x|在(-π,0)∪(0,π)上的大致图象的对称性为（ ）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 无对称性
5. 已知椭圆C：x /a + y /b =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F 、F ，以F F 为直径的圆与C在第一象限交于点P，OP（O为坐标原点）的中点为M，则△MF F 的面积为（ ）
A. b /2 B. b C. ab/2 D. ab
6. 记S 为数列{a }的前n项和，若a =1，S =2S +1，则a 等于（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
7. 已知直线l ：ax+2y+1=0，l ：x+(a-1)y-1=0，若l ⊥l ，则实数a的值为（ ）
A. 2/3 B. -2 C. 1 D. -1
8. 已知a=2 · ，b=log 0.3，c=0.3 ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. b>a>c
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 关于两组数据A：x ,x ,…,x 和B：2x +1,2x +1,…,2x +1，下列说法正确的是（ ）
A. 两组数据的平均数满足x =2x +1
B. 两组数据的极差不变
C. 两组数据的众数满足众数 =2众数 +1
D. 两组数据的方差满足s =4s
10. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点，F为AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. EF∥平面PBC
B. 平面PAE⊥平面PCD
C. EF⊥PA
D. 直线EF与平面ABCD所成角的正切值为PA/(2AB)
11. 已知抛物线C：y =4x，焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若|AB|=8，则直线l的斜率为±1
B. 线段AB的中点到y轴的距离最小值为2
C. 若OA⊥OB（O为原点），则|AB|=8
D. 过点A作抛物线C的切线，切线方程为y y=2(x+x )（A(x ,y )）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12. (x+2) 的展开式中x 的系数是___________（用数字作答）。
13. 已知函数f(x)=e + x ，则f(x)在x=0处的切线方程为___________。
14. 三棱锥P-ABC中，CA=CB=2，∠ACB=60°，PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为___________。
15. 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ )，若P(X<4)=0.8，则P(0四、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（18分）设S 为数列{a }的前n项和，且a =2，S =2S - 1（n∈N*），数列{b }是等差数列，且b =a ，b =a 。
（1）求数列{a }的通项公式；
（2）求数列{b }的前n项和T ；
（3）若c =a ·b ，求数列{c }的前n项和。
17.（18分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足bcosA + acosB = 2ccosC。
（1）求角C的大小；
（2）若c=2√3，△ABC的面积为2√3，求a + b的值；
（3）若sinA + sinB = √3 sinC，求△ABC的形状。
18.（20分）如图，在三棱柱ABC-A B C 中，侧棱AA ⊥底面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，AA =3，D、E分别为BC、A C的中点。
（1）求证：DE∥平面ABB A ；
（2）求直线DE与平面A BC所成角的正弦值；
（3）求二面角A -BC-A的余弦值。
19.（19分）已知函数f(x)=lnx - ax + (2 - a)x（a∈R）。
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=1，证明：f(x)≤2x - 3x + 1。
参考答案与解析
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 【答案】B
【解析】由题意得，集合A={x|2≤x≤3}，B={x|x<5}。根据补集的定义， A表示在集合B中去掉集合A的所有元素，因此 A={x|32. 【答案】A
【解析】第一步，求复数z=6+3i的共轭复数：共轭复数z 的实部与z相同，虚部互为相反数，故z =6-3i。
第二步，计算共轭复数的模：复数模的计算公式为|a+bi|=√(a +b )，代入得|z |=√(6 + (-3) )=√(36+9)=√45=3√5，故选A。
3. 【答案】A
【解析】第一步，明确向量投影公式：向量b在向量a上的投影为(a·b)/|a|，其中a·b为两向量的数量积，|a|为向量a的模。
第二步，计算数量积a·b：a=(2,1)，b=(1,-3)，故a·b=2×1 + 1×(-3)=2-3=-1。
第三步，计算向量a的模|a|：|a|=√(2 +1 )=√5。
第四步，计算投影：将上述结果代入公式，得投影为-1/√5=-√5/5，故选A。
4. 【答案】B
【解析】第一步，判断函数定义域的对称性：函数f(x)=cosx·ln|x|的定义域为(-π,0)∪(0,π)，关于原点对称，满足奇偶性判断的前提。
第二步，判断函数的奇偶性：计算f(-x)，f(-x)=cos(-x)·ln|-x|=cosx·ln|x|=f(x)，故函数为偶函数。
第三步，结合奇偶性判断图象对称性：偶函数的图象关于y轴对称，故选B。
5. 【答案】A
【解析】第一步，确定以F F 为直径的圆的方程：椭圆半焦距c=√(a -b )，以F F 为直径的圆的圆心为原点O，半径为c，方程为x +y =c 。
第二步，求圆与椭圆在第一象限交点P的纵坐标：联立圆与椭圆方程x /a + y /b =1和x +y =c ，消去x 得y =b /c ，故第一象限内点P的纵坐标为b /c。
第三步，求中点M的纵坐标：M为OP中点，根据中点坐标公式，M点纵坐标为P点纵坐标的1/2，即b /(2c)。
第四步，计算△MF F 的面积：底为|F F |=2c，高为M点纵坐标b /(2c)，面积=1/2×底×高=1/2×2c×(b /(2c))=b /2，故选A。
6. 【答案】B
【解析】第一步，推导数列的递推关系：由S =2S +1，当n≥2时，可得S =2S +1，两式相减得a =2a （n≥2）。
第二步，验证首项及第二项的关系：a =1，S =2S +1=3，故a =S - a =2，满足a =2a ，因此数列{a }是首项为1、公比为2的等比数列。
第三步，计算a ：等比数列通项公式为a =a q ，代入得a =1×2 =16，故选B。
7. 【答案】A
【解析】第一步，明确两直线垂直的条件：若直线l ：A x+B y+C =0与l ：A x+B y+C =0垂直，则A A +B B =0。
第二步，代入直线方程系数计算：直线l ：ax+2y+1=0，l ：x+(a-1)y-1=0，故a×1 + 2×(a-1)=0。
第三步，解方程求a：化简方程得a + 2a - 2=0，即3a=2，解得a=2/3，故选A。
8. 【答案】A
【解析】第一步，判断a的取值范围：由指数函数单调性，2 单调递增，故a=2 · >2 =1。
第二步，判断b的取值范围：由对数函数单调性，log x单调递增，故b=log 0.3第三步，判断c的取值范围：c=0.3 =0.09，显然0第四步，比较大小：综上，a>c>b，故选A。
二、多项选择题（每小题5分，共15分）
9. 【答案】ACD
【解析】分别分析各选项：
A选项（平均数）：x =(1/n)[(2x +1)+(2x +1)+…+(2x +1)]=2×(1/n)(x +x +…+x ) + (1/n)×n=2x +1，正确。
B选项（极差）：极差 =(2x +1)-(2x +1)=2(x - x )=2极差 ，极差变为原来的2倍，错误。
C选项（众数）：若x 是A组众数，则x 出现次数最多，对应的2x +1在B组中出现次数也最多，故众数 =2众数 +1，正确。
D选项（方差）：s =(1/n)[(2x +1 - (2x +1)) +…+(2x +1 - (2x +1)) ]=(1/n)[4(x - x ) +…+4(x - x ) ]=4s ，正确。
综上，选ACD。
10. 【答案】ACD
【解析】分别分析各选项：
A选项（EF∥平面PBC）：取PC中点G，连接EG、FG。由三角形中位线定理，EG∥CD，FG∥BC。因EG∩FG=G，CD∩BC=C，故平面EFG∥平面PBC。又EF 平面EFG，故EF∥平面PBC，正确。
B选项（平面PAE⊥平面PCD）：PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD；底面ABCD为菱形，CD⊥AD，PA∩AD=A，故CD⊥平面PAD，进而CD⊥AE。但AE与PD不一定垂直，故平面PAE与平面PCD不一定垂直，错误。
C选项（EF⊥PA）：PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB；由FG∥BC∥AD，EG∥CD，可得FG⊥PA，EG⊥PA。又FG∩EG=G，故PA⊥平面EFG，因EF 平面EFG，故EF⊥PA，正确。
D选项（线面角正切值）：直线EF与平面ABCD所成角等于EG与平面ABCD所成角；EG=1/2CD=1/2AB，PA⊥平面ABCD，故该角的正切值=PA/EG=PA/(2AB)，正确。
综上，选ACD。
11. 【答案】ACD
【解析】第一步，确定抛物线基本量：抛物线C：y =4x的焦点F(1,0)，设直线l的方程为x=my+1，与抛物线联立得y -4my-4=0。设A(x ,y )，B(x ,y )，则y +y =4m，y y =-4，弦长|AB|=x +x +2=m(y +y )+4=4m +4。
分别分析各选项：
A选项：若|AB|=8，则4m +4=8，解得m =1，m=±1，直线l的斜率为1/m=±1，正确。
B选项：AB中点到y轴的距离=(x +x )/2=2m +1，当m=0时，距离取得最小值1，错误。
C选项：若OA⊥OB，则x x +y y =0；x x =(y /4)(y /4)=1，代入得1-4=-3≠0，需满足m=±1，此时|AB|=4×1+4=8，正确。
D选项：对抛物线y =4x求导得y’=2/y，过点A(x ,y )的切线方程为y - y =(2/y )(x - x )，化简得y y=2(x+x )，正确。
综上，选ACD。
三、填空题（每小题5分，共20分）
12. 【答案】80
【解析】第一步，写出二项式展开式通项：(x+2) 的展开式通项为T =C x ·2 （r=0,1,2,3,4,5）。
第二步，确定x 对应的r值：令5 - r=3，解得r=2。
第三步，计算系数：将r=2代入通项，得x 的系数为C ·2 =10×4=80。
13. 【答案】y = x + 1
【解析】第一步，求切点坐标：f(0)=e + 0 =1，故切点为(0,1)。
第二步，求切线斜率：求导得f’(x)=e + 2x，故切线斜率k=f’(0)=e + 2×0=1。
第三步，写切线方程：由点斜式y - f(0)=k(x - 0)，得y - 1=1×x，即y=x+1。
14. 【答案】12π
【解析】第一步，判断△ABC的形状：CA=CB=2，∠ACB=60°，故△ABC为等边三角形，其外接圆半径r=2/√3。
第二步，确定点P的投影：PA=PB=PC=2，故点P在平面ABC的投影为△ABC的中心O ，计算O P=√(PA - r )=√(4 - 4/3)=√(8/3)。
第三步，求外接球半径R：设外接球球心为O（在O P上），设O O=d，则R =r + d =(O P - d) ，联立解得d=√3/3，R=√3。
第四步，计算表面积：外接球表面积=4πR =4π×3=12π。
15. 【答案】0.3
【解析】第一步，利用正态分布对称性：随机变量X~N(2,σ )，正态曲线关于x=2对称。
第二步，计算P(X≥4)：由P(X<4)=0.8，得P(X≥4)=1 - 0.8=0.2。
第三步，求P(X≤0)：由对称性，P(X≤0)=P(X≥4)=0.2。
第四步，计算P(0四、解答题（共75分）
16.（18分）
【解析】（1）求数列{a }的通项公式
① 推导递推关系：由S =2S - 1，当n≥2时，可得S =2S - 1，两式相减得a =2a （n≥2）。
② 验证首项与第二项：a =2，S =2S - 1=2×2 - 1=3，故a =S - a =3 - 2=1，不满足a =2a 。
③ 写通项公式：数列{a }从第二项起为等比数列，公比为2。当n=1时，a =2；当n≥2时，a =a ·2 =2 。
综上，a =｛2, n=1；2 , n≥2｝。
（2）求数列{b }的前n项和T
① 确定b 和b ：由（1）得b =a =2，a =2 =4，故b =4。
② 求等差数列公差d：因{b }是等差数列，b =b + 2d，即4=2 + 2d，解得d=1。
③ 写通项公式与前n项和：b =2 + (n - 1)×1=n + 1，前n项和T =n(b + b )/2=n(2 + n + 1)/2=n(n + 3)/2。
（3）求数列{c }的前n项和
① 确定c 的表达式：c =a ·b ，当n=1时，c =2×2=4；当n≥2时，c =2 ·(n + 1)。
② 分组求前n项和Q ：Q =4；当n≥2时，Q =4 + 3×2 + 4×2 + … + (n + 1)×2 。
③ 错位相减法计算：两边同乘2得2Q =8 + 3×2 + 4×2 + … + (n + 1)×2 ，两式相减得：
-Q =4 + 2 + 2 + … + 2 - (n + 1)×2 =4 + (2 - 2) - (n + 1)×2 =2 - n×2 ，故Q =n×2 - 2（n≥2）。
④ 验证n=1：n=1时，n×2 - 2=0≠4，故Q =｛4, n=1；n×2 - 2, n≥2｝。
17.（18分）
【解析】（1）求角C的大小
① 正弦定理转化：由正弦定理，将bcosA + acosB = 2ccosC化为sinBcosA + sinAcosB = 2sinCcosC。
② 两角和公式化简：sin(A + B)=2sinCcosC，又A + B + C=π，故sin(A + B)=sinC。
③ 求解角C：因C∈(0,π)，sinC≠0，故cosC=1/2，所以C=π/3。
（2）求a + b的值
① 由面积求ab：△ABC的面积S=1/2absinC=2√3，代入C=π/3，sinC=√3/2，得1/2ab×√3/2=2√3，解得ab=8。
② 余弦定理求a + b ：由余弦定理，c =a + b - 2abcosC，代入c=2√3，得(2√3) =a + b - 2×8×1/2，即a + b =20。
③ 计算a + b：(a + b) =a + 2ab + b =20 + 2×8=36，因a,b>0，故a + b=6。
（3）判断△ABC的形状
① 正弦定理转化：由sinA + sinB = √3 sinC，得a + b = √3 c。
② 平方结合余弦定理：将a + b = √3 c平方得a + 2ab + b =3c ；由余弦定理，c =a + b - ab，代入得a + 2ab + b =3(a + b - ab)。
③ 化简求解：整理得2a - 5ab + 2b =0，即(2a - b)(a - 2b)=0，故a=2b或b=2a。
④ 判断形状：当a=2b时，c=√3 b，满足a =b + c ，△ABC为直角三角形；同理b=2a时，也为直角三角形。
18.（20分）
【解析】（1）求证：DE∥平面ABB A
连接A B，因D、E分别为BC、A C的中点，由三角形中位线定理，得DE∥A B。
又DE 平面ABB A ，A B 平面ABB A ，根据线面平行的判定定理，故DE∥平面ABB A 。
（2）求直线DE与平面A BC所成角的正弦值
① 建立空间直角坐标系：以A为原点，过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AA 为z轴，得A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(-1,√3,0)，A (0,0,3)。
② 求中点坐标与向量DE：D、E分别为BC、A C中点，得D(-0.5, (2 + √3)/2, 0)，E(-0.5, √3/2, 1.5)，故DE=(0,-1,1.5)。
③ 求平面A BC的法向量n：向量A B=(0,2,-3)，A C=(-1,√3,-3)，由n·A B=0、n·A C=0，令z=2，得n=(3√3 - 6, 3, 2)。
④ 计算线面角正弦值：sinθ=|DE·n|/(|DE|·|n|)，代入得DE·n=0，故sinθ=0。
（3）求二面角A -BC-A的余弦值
① 确定两个平面的法向量：平面ABC的法向量m=(0,0,1)，平面A BC的法向量n=(3√3 - 6, 3, 2)。
② 计算余弦值：二面角为锐角，故余弦值=|m·n|/(|m|·|n|)=|2|/√[(3√3 - 6) + 3 + 2 ]=√(76 - 36√3)/38。
19.（19分）
【解析】（1）讨论f(x)的单调性
① 确定定义域与导数：f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f’(x)=1/x - 2ax + (2 - a)=-(2ax + 1)(x - 1)/x。
② 分情况讨论：
当a≤0时，2ax + 1<0，故-(2ax + 1)>0。令f’(x)>0得x>1，令f’(x)<0得0当a>0时，令f’(x)=0，得x=1（x=-1/(2a)舍去）。令f’(x)>0得01，故f(x)在(0,1)递增，(1,+∞)递减。
（2）求实数a的取值范围（f(x)≤0恒成立）
① 分情况分析：
当a≤0时，f(x)在(1,+∞)递增，且f(2)=ln2 + 4 - 6a>0，不满足恒成立。
当a>0时，f(x)在x=1处取得最大值，f(1)=2 - 2a。令f(1)≤0，解得a≥1。故a的取值范围为[1,+∞)。
（3）证明：当a=1时，f(x)≤2x - 3x + 1
① 转化不等式：当a=1时，f(x)=lnx - x + x，需证lnx - 3x + 4x - 1 ≤ 0。
② 构造函数g(x)=lnx - 3x + 4x - 1（x>0），求导得g’(x)=(-6x + 4x + 1)/x。
③ 分析g(x)单调性：令g’(x)=0，得x=(2 + √10)/6（舍去负根）。当0(2 + √10)/6时，g(x)递减。
④ 验证最大值：g(x)的最大值为g((2 + √10)/6)≈-0.04<0，故g(x)≤0恒成立，即f(x)≤2x - 3x + 1。

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