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福建省泉州五中2025-2026学年高一（下）月考
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足为虚数单位，则的共轭复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.下列关于几何体特征的判断正确的是( )
A. 一个斜棱柱的侧面不可能是矩形
B. 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥
C. 有一个面是边形的棱锥一定是棱锥
D. 平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形
3.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移单位：千米：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数( )
A. B. C. D.
4.下列命题正确的是( )
A. 若，且，则
B. 若，则不共线
C. 若是平面内不共线的向量，且存在实数使得，则，，三点共线
D. 若，则在上的投影向量为
5.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足，函数与图象的交点为设为坐标原点，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，为边上的高，垂足在边上，，，设及的面积分别为、，当时，的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设、为复数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，则在复平面对应的点在一条直线上
10.在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是( )
A.
B. 若，则的最小值为
C. 若，设，则的最大值为
D. 若在内部不含边界，且，则的取值范围是
11.点是半径为的圆内一定点，且，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 为定值 D. 四边形面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则与的夹角为 ．
13.在中，内角，，的对边分别是，，，且，则的最大值是 ．
14.如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，．
试用向量，表示，；
求，的值；
设为的内心，若，求的值．
17.本小题分
如图，某城市有一条公路正西方通过市中心后转向北偏东角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离，且，现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，．
求大学在站的距离；
求铁路段的长．
18.本小题分
在平面四边形中，，．
若．
若，，，四点共圆，求；
求四边形面积的最大值．
若，，与交于点记，求当为何值时，．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．
在斜坐标系中，，求；
在斜坐标系中，，，且与的夹角．
求；
，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【解：根据题意可知，，结合正弦定理，
得，
即，即，
，，即；
，
利用正弦定理得，
而，
故的面积．
16.解：由题意，，分别是线段，的中点，
则；
．
由知：，，
则，，
又，，，
所以，
则，
；
为的内心，
，
则．
17.解：在中，，，且，，
由余弦定理可得：．
所以可得：，大学在站的距离为分
，且为锐角，
，
在中，由正弦定理可得：，即，
，
，
，
，
，，
，
又，
．
在中，，由正弦定理可得：，即，
解得，即铁路段的长为分
18.解：设，，其中，，
在中，由余弦定理可得；
在中，由余弦定理可得；
因此，可得，
若，，，四点共圆，因此，
可得，，
由可得，因此，
因此，因此；
因为四边形面积，
因此，且，
又因为，
当且仅当时，等号成立
因此，解得，
综上所述，四边形面积的最大值为；
在中，由余弦定理可得，
因此，
因此，因此，
因为，可知，，，四点共圆，且圆的半径，
因此，
且，可知，
若，因此，
因此，可得，
又因为，因此，解得，
因此当时，．
19.解：因为设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，
若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，
因为，所以，
所以，
所以．
因为，，
所以，，
，
则，
化简并整理得，
解得或舍去，因为，
则．
依题意设，，，
因为为中点，则，
同理，
则
，
在中，，，，，
所以，
所以，
所以，
在中，，，
由正弦定理，
设，则，，
，
因为，所以，则，
所以当时，取得最小值，即取最小值，
此时取最小值．
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