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冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试基础卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BC=6，且△ABO的周长比△BCO少2，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
2． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
3．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ，AB=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
5．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
7．如图，将直角梯形沿方向平移到梯形，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
8． 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C' ，则点B' 的坐标为（　　)
A．（ - 6， - 3) B．（3， 6)
C．（-6， 3) D．（6， 3)
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有(　　)
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，四边形是平行四边形，当　 　时，是矩形．（只能添加一个条件）
14．如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则　 　
15．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
16．如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为　 　°．
三、（共8题，共72分）解答题
17．如图，在四边形中，，，，，求的长.
18．已知：如图，AC是的一条对角线．延长AC至，反向延长AC至，使．求证：四边形EBFD是平行四边形.
19．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
20．如图，点E为□ABCD边BC上的一点，连接AE并延长与DC的延长线交于F，若点 C是DF边的中点，AF=AD.
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）若AB=3，AE=4，求AC 的长.
21．如图，四边形是菱形，，，于．
求
菱形的周长；
求的长．
22．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由．
23．如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，．
（1）求证四边形是平行四边形；
（2）当时，求证四边形是矩形．
24．已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵，①　 　
∴四边形ACBD是平行四边形．（②　 　）（填推理的依据）
∵，
∴四边形ACBD是矩形．（③　 　）（填推理的依据）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABO的周长=AB+AO+BO，△BCO的周长=BO+CO+BC，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AO=CO，
又△ABO的周长比△BCO少2，
即（BO+CO+BC）-（AB+AO+BO）=BC-AB=2，
且BC=6，
所以AB=4．
故选：C．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于利用平行四边形对角线互相平分的性质，得；结合三角形周长公式，推出与的周长差为；根据题意“周长差为2，BC=6”，求得AB=4.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
是的中点，
故选： A．
【分析】根据三角形中位线定理可得再根据三角形中线性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC ∠OBC＝90° 30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长．
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②拥有矩形所有的性质；③拥有菱形所有的性质）和矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：∵直角梯形沿方向平移到梯形EFGH，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积等于梯形的面积，
∵，
∴直角梯形的面积，
故答案为：B．
【分析】先根据平移的性质得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再根据直角梯形的公式进行求解即可．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为：4BC=4×6=24．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得BO=DO，AB=BC=CD=DA，根据三角形中位线定理可得BC，再根据菱形周长即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3)
∴OA=6，OC=3
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=OC=3，∠ABC=90°
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C'
∴OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°
∴A'B'⊥y轴
∴点B'的坐标为（3， 6)
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OA=6，OC=3，再根据矩形性质可得AB=OC=3，∠ABC=90°，根据旋转性质可得OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°，则A'B'⊥y轴，再根据点的坐标即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
12．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据程序框图，结合矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题主要考查了矩形的定义和判定定理，题中已知明确 四边形是平行四边形， 根据定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以只需要让其一个内角为90度即可．
14．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是斜边上的中线，
∴CM=AM=BM=，
∵、分别为、的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵，
∴CM=2EF=4，
∴CM==4，
∴AB=8，
故答案为：8．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理直接找出AB的长度即可．
15．【答案】10
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
【分析】先证出四边形是菱形，再利用等积法可得，最后求出OC的长即可.
16．【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形DFMH是正方形，
∴HM∥DF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：37．
【分析】由正方形对边平行得HM∥DF，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠CEG=67°，根据三角形外角性质得出∠AGE=∠CEG-∠A=37°，最后根据对顶角相等可得∠2的度数.
17．【答案】解：在中，，，，
根据勾股定理，得
，
.
，，
，
又，
四边形为平行四边形.
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理得AD的和长，即可得BC的长.
18．【答案】证明：∵ABCD为平行四边形
∴AD=BF，AD||BC
∴∠DAC=∠ACB
∵∠DAE=180°-∠DAC，∠BCF=180°-∠ACB
∴∠DAE=∠BCF
在△DAE和△BCF中，
AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF
∴△DAE≌△BCF(SAS)，
∴DE=BF，∠DEA=∠BFC
∴DE||BF
∴EBFD为平行四边形
【知识点】全等三角形的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD||BC，得∠DAE=∠BCF即可证明△DAE≌△BCF，可得DE和Bf平行且相等.
19．【答案】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、角度计算. 解题关键在于利用三角形中位线定理，得出，；结合AD=BC的条件，推出PF=PE，证明为等腰三角形；最后根据等腰三角形“等边对等角”，结合，求出.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∵C是DF中点，
∴CD=CF，
∴AB=CF，
∵AB∥CD，即AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AF=AD，AD=BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABFC为矩形，
∴∠BAC=90°，AE=BE=CE，
∵AE=4，
∴BC=8，
∵AB=3，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、中点的定义得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，CD=CF，从而得AB=CF，进而证明四边形ABFC是平行四边形，然后进行等量代换求出AF=BC，根据矩形的判定即可得证结论；
（2）根据矩形的性质得∠BAC=90°，AE=BE=CE，从而得BC=8，然后利用勾股定理求出AC的值.
21．【答案】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在中，由勾股定理可知．
∴菱形的周长．
（2）∵，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质求得AO、OB的长，然后依据勾股定理求得AB的长，最后依据菱形ABCD的周长=4AB即可求出答案.（2）根据菱形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：且，
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形 ；
（2）由四边形是平行四边形，满足对角线 ，得到∠BOC=90°，且 ，得邻边相等BO=CO，根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形判定.
（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：且，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形是正方形．
23．【答案】（1）证明：在梯形中，，
，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
（2）证明：，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；等腰梯形的性质
【解析】【分析】（1）先利用等边对等角和等量代换可得，证出，即，再结合AE=GF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再结合四边形是平行四边形，即可证出四边形是矩形．
（1）证明：在梯形中，，
，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
（2）证明：，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
24．【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点】平行线的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题主要考察矩形的作图，通过作线段垂直平分线、射线以及画弧完成矩形；
（2）考察平行四边形和矩形的判定定理。
1 / 1冀教版数学八（下）第二十一章 四边形 单元测试基础卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O．若BC=6，且△ABO的周长比△BCO少2，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：△ABO的周长=AB+AO+BO，△BCO的周长=BO+CO+BC，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AO=CO，
又△ABO的周长比△BCO少2，
即（BO+CO+BC）-（AB+AO+BO）=BC-AB=2，
且BC=6，
所以AB=4．
故选：C．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于利用平行四边形对角线互相平分的性质，得；结合三角形周长公式，推出与的周长差为；根据题意“周长差为2，BC=6”，求得AB=4.
2． 如图， 在四边形ABCD中， AD∥BC， 对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件是（　　)
A．AB=CD B．AO=CO C．∠ADB=∠CBD D．AC=BD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
B、∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴AD=BC，
∴四边形为平行四边形．故B正确．
C、由无法判定为平行四边形，故C错误；
D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误；
故答案为：B.
【分析】
本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质， 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
3．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：由题意可得：
是的中点，
故选： A．
【分析】根据三角形中位线定理可得再根据三角形中线性质即可求出答案.
4．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ，AB=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC ∠OBC＝90° 30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长．
5．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②拥有矩形所有的性质；③拥有菱形所有的性质）和矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．如图，将直角梯形沿方向平移到梯形，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：∵直角梯形沿方向平移到梯形EFGH，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积等于梯形的面积，
∵，
∴直角梯形的面积，
故答案为：B．
【分析】先根据平移的性质得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再根据直角梯形的公式进行求解即可．
8． 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为：4BC=4×6=24．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得BO=DO，AB=BC=CD=DA，根据三角形中位线定理可得BC，再根据菱形周长即可求出答案.
10．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3).以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C' ，则点B' 的坐标为（　　)
A．（ - 6， - 3) B．（3， 6)
C．（-6， 3) D．（6， 3)
【答案】B
【知识点】点的坐标；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（-6，0)，点C的坐标为（0，3)
∴OA=6，OC=3
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=OC=3，∠ABC=90°
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B' C'
∴OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°
∴A'B'⊥y轴
∴点B'的坐标为（3， 6)
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OA=6，OC=3，再根据矩形性质可得AB=OC=3，∠ABC=90°，根据旋转性质可得OA'=OA=6，A'B'=AB=3，∠OA'B'=90°，则A'B'⊥y轴，再根据点的坐标即可求出答案.
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有(　　)
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
12．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据程序框图，结合矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，四边形是平行四边形，当　 　时，是矩形．（只能添加一个条件）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题主要考查了矩形的定义和判定定理，题中已知明确 四边形是平行四边形， 根据定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以只需要让其一个内角为90度即可．
14．如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则　 　
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是斜边上的中线，
∴CM=AM=BM=，
∵、分别为、的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵，
∴CM=2EF=4，
∴CM==4，
∴AB=8，
故答案为：8．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形中位线定理直接找出AB的长度即可．
15．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
【分析】先证出四边形是菱形，再利用等积法可得，最后求出OC的长即可.
16．如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为　 　°．
【答案】37
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形DFMH是正方形，
∴HM∥DF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：37．
【分析】由正方形对边平行得HM∥DF，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠CEG=67°，根据三角形外角性质得出∠AGE=∠CEG-∠A=37°，最后根据对顶角相等可得∠2的度数.
三、（共8题，共72分）解答题
17．如图，在四边形中，，，，，求的长.
【答案】解：在中，，，，
根据勾股定理，得
，
.
，，
，
又，
四边形为平行四边形.
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理得AD的和长，即可得BC的长.
18．已知：如图，AC是的一条对角线．延长AC至，反向延长AC至，使．求证：四边形EBFD是平行四边形.
【答案】证明：∵ABCD为平行四边形
∴AD=BF，AD||BC
∴∠DAC=∠ACB
∵∠DAE=180°-∠DAC，∠BCF=180°-∠ACB
∴∠DAE=∠BCF
在△DAE和△BCF中，
AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF
∴△DAE≌△BCF(SAS)，
∴DE=BF，∠DEA=∠BFC
∴DE||BF
∴EBFD为平行四边形
【知识点】全等三角形的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD||BC，得∠DAE=∠BCF即可证明△DAE≌△BCF，可得DE和Bf平行且相等.
19．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
【答案】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、角度计算. 解题关键在于利用三角形中位线定理，得出，；结合AD=BC的条件，推出PF=PE，证明为等腰三角形；最后根据等腰三角形“等边对等角”，结合，求出.
20．如图，点E为□ABCD边BC上的一点，连接AE并延长与DC的延长线交于F，若点 C是DF边的中点，AF=AD.
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）若AB=3，AE=4，求AC 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∵C是DF中点，
∴CD=CF，
∴AB=CF，
∵AB∥CD，即AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AF=AD，AD=BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABFC为矩形，
∴∠BAC=90°，AE=BE=CE，
∵AE=4，
∴BC=8，
∵AB=3，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、中点的定义得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，CD=CF，从而得AB=CF，进而证明四边形ABFC是平行四边形，然后进行等量代换求出AF=BC，根据矩形的判定即可得证结论；
（2）根据矩形的性质得∠BAC=90°，AE=BE=CE，从而得BC=8，然后利用勾股定理求出AC的值.
21．如图，四边形是菱形，，，于．
求
菱形的周长；
求的长．
【答案】解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在中，由勾股定理可知．
∴菱形的周长．
（2）∵，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质求得AO、OB的长，然后依据勾股定理求得AB的长，最后依据菱形ABCD的周长=4AB即可求出答案.（2）根据菱形面积即可求出答案.
22．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由．
【答案】（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：且，
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形 ；
（2）由四边形是平行四边形，满足对角线 ，得到∠BOC=90°，且 ，得邻边相等BO=CO，根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形判定.
（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：且，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴平行四边形是正方形．
23．如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，．
（1）求证四边形是平行四边形；
（2）当时，求证四边形是矩形．
【答案】（1）证明：在梯形中，，
，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
（2）证明：，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；等腰梯形的性质
【解析】【分析】（1）先利用等边对等角和等量代换可得，证出，即，再结合AE=GF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再结合四边形是平行四边形，即可证出四边形是矩形．
（1）证明：在梯形中，，
，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形．
（2）证明：，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
24．已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵，①　 　
∴四边形ACBD是平行四边形．（②　 　）（填推理的依据）
∵，
∴四边形ACBD是矩形．（③　 　）（填推理的依据）
【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点】平行线的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题主要考察矩形的作图，通过作线段垂直平分线、射线以及画弧完成矩形；
（2）考察平行四边形和矩形的判定定理。
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