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2025-2026年广东省中山市南峰中学初三上1月数学月考
一、单选题
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．平行四边形 D．正方形
3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知抛物线的顶点在第四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ）
A．y=2(x+1)2+1 B．y=2(x+1)2+3
C．y=2(x-3)2+1 D．y=-2(x-3)2+3
6.边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（ ）cm．
A． B．2
C．3 D．6
7.已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）
A．48 B．24
C．24或 D．48或
8.若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A． B．
C． D．
9.某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．5000元 B．8000元
C．9000元 D．10000元
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为，其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
11.点关于原点的对称点的坐标是________．
12.若，是一元二次方程的两个根，则的值是________．
13.抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围________．
14.如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为________度．
15.如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置．设，，则顶点运动到点的位置时，点经过的路线与直线所围成的面积是________．
三、解答题一
16.已知关于x的方程．若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．
17.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？
18.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，解答下列问题：
(1)画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
四、解答题二
19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
(1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
20.已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
(1)求证：△BAP≌△CAQ．
(2)若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
21.如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
五、解答题三
22.取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板，将三角板绕点顺时针方向旋转，旋转角度为，得到．
(1)当为多少度时，？
(2)当旋转到图③示位置时，为多少度？
(3)连接，当时，探求值的大小变化情况，并给出你的证明．
23.如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于、两点（点在左，点在右），交轴于点，且，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2，点为抛物线的顶点，连接，点是抛物线上－一动点，且在、两点之间运动，过点作轴交线段于点，设点的横坐标为，线段长为，写出与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上有一动点，且，连接，当时，求此时点的坐标．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.C
10.B
11.
12.
13.x＜-4或x＞2
14.
15.
16.将代入方程得，，
解得，
将代入方程得，
即
解得，，
方程的另一个根为
故答案为：，
17.把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记 为、、、，画树状图如下：
共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有种，即、，所以抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．
18.(1)如图，即为所求；
点的坐标为
(2)如图，即为所求；
点的坐标为．
19.(1)关于的方程总有两个实数根，
解得:
(2)为方程的两个根
整理得:
即
解得:，
m的值为1
20.(1)∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
(2)∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，
∴QC＝4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝＝＝5．
21.(1)连接，如图，
∵为直径，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
(2)∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴是的切线，
∵是的切线；
∴，
∵，
∴，
解得．
22.(1）如图②，
∵，
∴
∴
所以当时，；
(2)当旋转到图③示位置时，
根据三角板的度数可得，
23.(1)当时，则，
，即，
，
，
，
抛物线经过点，
抛物线的解析式为：；
(2)如图1，延长交轴于点，
，
，
设直线的解析式为，
将点、代入，
，
，，
；
(3)如图，作于点，作轴交于点，延长、交于、交于，作于点，记与的交点为，
，，，
，，
垂直平分，
，
，
，，
，即，
，即，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
解得：，
∵
∴把代入中，得
．

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