资源简介

青海西宁市2026届高三年级复习检测（一）数学试卷
一、单选题
1．已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，若，则中各元素之和为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．若且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
6．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93
7．已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21
D．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限．若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点T到两条渐近线的距离之积为定值
C．过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为
D．若，则的面积为
11．若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则______．
13．已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________．
14．三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________.
四、解答题
15．已知在处取得极小值．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，讨论零点的个数．
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期，以及在内的单调递增区间；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若，，，求a的长．
17．如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且．
（ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）；
（ⅱ）求四边形面积的最大值．
18．已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD.
(1)若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：；
(2)若平面平面PDC.
（i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；
（ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由.
19．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少 （结果保留位小数）
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．A
5．C
6．D
7．B
8．B
9．AD
10．ABD
11．AC
12．
13．/
14．
15．（1）由题意得．因为在处取得极小值，
则，解得，，
所以，，
故，，
则切线方程为，即；
（2）令，所以．
令，解得或．则，，的关系如下表：
2
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
作出函数的图象如下：
所以，①当或时，有两个零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有三个零点．
16．（1）由题意得
，即，
所以最小正周期为，令，
解得，令，可得，
令，可得，又因为，所以，
当时，为，
当，为，
当，为，
综上，在内的单调递增区间为，，．
（2）因为，所以，
即，，解得，
又，故，因为，所以，
解得，又，
由余弦定理得
，故．
17．（1）连接，由题意知，，
则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
即，则，
所以的方程为.
（2）（ⅰ）由题意，，且，，
结合椭圆的对称性，易知，
则四边形为平行四边形.
（ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心，
则四边形面积为，
由题意，设直线的方程为，，
联立，得，
则，
，，
则
，
则四边形面积为，
令，，则，
因为函数在上单调递增，则，
则，即四边形面积的最大值为6.
18．（1）因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD，
又因为平面PBC，平面平面，所以.
（2）在平面PAD内过点作于点，
因为平面平面PDC，所以平面PDC，故，
又因为，又因为，
所以平面PAD，有.所以平行四边形ABCD为长方形.
如图所示，以点A为坐标原点，所在的方向为轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系.
则有，.取平面PAD的法向量为，
设平面PBC的法向量为，
则有，代入得，取，
设平面PAD与平面PBC所成角为，则.
（3）易知，
假设四棱锥存在内切球，内切球的半径为，
则有，解得，
设内切球球心为，根据图形特征，必有，，
则球心到平面PBC的距离，与内切球与平面PBC相切矛盾.
故四棱锥不存在内切球.
19．（1）实际支付金额的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
的分布列为：
.
（2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算：
支付金额期望：，
商品成本，
优惠券成本期望：基础券成本，
进阶券成本，
总成本期望，
购买概率，
代入公式：
.
(ii)对求导得：
令，整理得，解得根为，（舍去，不在内），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点，
计算最大期望利润：.

展开更多......

收起↑