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数学答案
一、选择题 DCADD ABDBC
二、填空题
11. 1 = 0, 2 = 1 12. 4 13. 2026 14. 20
15. 8.4 16. 1 17. 2 + 1 18. 2 3， 2 3
3 3
三、解答题
19.解：原式= 1 2 × 3 + 3 1 + 3 = 1 3 + 3 1 + 3 = 1
2
20.(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠C=∠E，
∴△ABC∽△ADE．
(2)补充的条件为：AB=AD 或 AC=AE 或 BC=DE（答案不唯一）；
m
21.（1）把 A 4,2 代入 y ，得m 2 4 8，
x
8
所以反比例函数解析式为 y ，
x
把 B n, 4 y 8代入 ，得 4n 8，
x
解得 n 2，
4k b 2
把 A 4,2 和 B 2, 4 代入 y kx b，得
2k
，
b 4
k 1
解得 b ， 2
所以一次函数的解析式为y x 2；
m
（2）由图象可得，不等式 kx b 0的解集为： x< 4或0 x 2 .
x
（3）设直线y x 2与 x轴交于点C，
y x 2中，令 y 0，则 x 2，
即直线y x 2与 x轴交于点C 2,0 ，
1
∴ S AOB S AOC S BOC 2 2
1
2 4 6；
2 2
∴ △ = 2 △ = 12
1
即： =
1 × 4 = 12
2 2
∴OP=6
∴P(6,0)或（-6,0）
22.（1）50
（2）∵喜欢运动的人数占 25%，
∴50×28%=14（人）
∴美食人数=50-14-16-7-5=8（人）
如图所示：
（3）∵“K”歌人数是 7 人，
7
∴ × 360° = 50.4°
50
答：“K”歌所对应的圆心角是 50.4°.
（4）1000 × 8 = 160（人）
50
答：该校 1000 名教师采用“美食”减压的人数是 160 人.
23.（1）解：设月平均增长率为 x，
由题意得，5(1 x)2 7.2，
解得： x1 0.2 20%, x2 2.2（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为 20%；
（2）解：设售价应降低 y元，
由题意得， (100 y 60)(20 2 y) 1200 ，
整理得： y2 30 y 200 0，
解得： y1 10, y2 20，
尽量减少库存，
y 20，
答：售价应降低 20 元．
24.（1）解：如图，由题意可得∠ = 60°, ∠ = 30°, ∠ = 45°, ⊥ ， ∥ ∥ ．
∴ ∠ = ∠ = 60°, ∠ = ∠ = 30°．
∴ ∠ = ∠ ∠ = 60° 30° = 30°．
（2）解：∵ ∠ = 60°，
∴ ∠ = 90° ∠ = 90° 60° = 30°．
由（1）得∠ = 30°．
∴ ∠ = ∠ = 30°．
又∵ = 800，
∴ = = 800．
Rt △ sin∠ = cos∠ = 在 中， ， ，

∴ = sin∠ = 800 × sin30° = 800 × 1 = 400，
2
= cos∠ = 800 × cos30° = 800 × 3 = 400 3．
2
∴ = + = 800 + 400 = 1200．
∵ ∠ = 45°, ⊥ ，
∴ = = 1200．
∴ = = 1200 400 3 m ．
∴景点 C与景点 D之间的距离为 1200 400 3 m．
25.（1）解：把点 A的坐标代入 y 2x 6，
得 4 2a 6，解得 a=1，
故点 A的坐标为(1,4)，
k
把点 A的坐标代入 y ，
x
得 k=4，
4
故反比例函数的表达式为 y ，
x
y 2x 6

y 4
，
x
得 x2 3x 2=0，
解得 x1 1， x2 2，
故点 A的坐标为(1,4)，点 B的坐标为 2, 2 ；
（2）将直线 AB 向下平移，设平移后的直线为 = 2 + ，
当直线 = 2 + 与双曲线在第一象限内只有一个交点时，此时△ 的面积最大
= 2 +
= 4

整理得：2 2 + 4 = 0
得： = 2 4 × 2 × 4 = 0
解得： = 4 2或 = 4 2（舍）
∴2 2 4 2 + 4 = 0
∴ 1 = 2 = 2
∴ ( 2, 2 2)
∴当△ 的面积最大时， ( 2, 2 2)。
4
（3）解：如图，过点 B作 PB AB，交 y 的另一支于点 P，过点 P作 x轴的平行线，过点 B作 x轴的垂线，交
x
于点C，作 AD BC交于点D，设 BQ, AP交于点M ，如图
∵ A 1,4 ,B 2,2
D 2,4
设 P
m, 4 4 ，m 0，则 PC 2 m,BC 2 ,DB 2, AD 1
m m
ABP 90
ABD 90 PBC BPC
又 D C
ADB∽ BCP
AD DB

BC PC
1
4 =
2
即 2 2 m
m
解得m 4或m 2（舍去）
则点 P 4, 1
设直线 PA的解析式为 y sx t，将点 A 1,4 ，P 4, 1
4s t 1

s t 4
s 1
解得
t 3
直线 PA的解析式为 y= x+ 3
设Q a,b a 2 b 2 ，根据题意， BQ的中点M 在直线 PB上，则M ，2 2
∵QA AB AD2 DB2 22 12 5
a 2
3=
b 2
则 2 2

a 1
2 b 4 2 5
a 1 a 0
解得 b 5 或 b （在直线 AB上，舍去） 6
Q 1,5 ．
综上所述， P 4, 1 ,Q 1,5 ．
26.（1）证明：∵将VABC绕点C旋转得到 DEC，点 A的对应点D落在边 AB上，
∴ AC CD,CB CE, ACD BCE，
AC CD
∴ ，
CB CE
∴△BCE∽△ACD．
（2）法一： 法二：
解：∵ BC 2, AC 1， ACB 90 ，
∴ AC CD 1, AB AC2 BC2 22 12 5，
tan A BC∴ 2，
AC
过D作DH AC，
∴ tan A
DH
2 ，
AH
∴DH 2AH ，
在△CDH 中CH 2 DH 2 CD2，
即 1 AH 2 2AH 2 12，
2
解得： AH ， AH 0（舍去），
5
∴DH
4
，
5
在 ADH中 AH 2 DH 2 AD2 ，
∴ AD AH 2 2AH 2 5AH 2 5 ，
5
∵△BCE∽△ACD，
BE BC
∴ ，
AD AC
BE 2

即 2 5 1，
5
BE 4 5∴ ．
5
（3）①证明：设旋转角为 ，
则 ACD BCE , AC CD,CB CE，
CDA A 180 90 1 CEB CBE 180 1∴ ， 90 ，
2 2 2 2
∵ ACB 90 ，
∴ BCF 90 , DCB 90 ，
∴ ECF 90 ，
∴ DCB ECF，
∵GF∥AB，
∴ F A 180 ，
∴ CDA CDB 180 , CDA A，
∴ CDB F，
∵ DCB ECF , CDB F ,CB CE，
∴ BCD≌ ECF AAS ， ② 法一：
∴CD CF，
∵CD AC，
∴ AC CF；
②法二：
GF 5
解：∵ ，
GB 6
∴设GF 5k ,GB 6k ，
∵GF∥ AB,BG∥ AF，
∴四边形 ABGF 是平行四边形，
∴ AB GF 5k , AF BG 6k , G A，
由①得CD AC CF 3k，
在 Rt ABC中， AB2 BC 2 AC 2，
∴ BC AB2 AC2 5k 2 3k 2 4k，
∴ sin A
BC 4k 4
，
AB 5k 5
∴ sin G sin A
4
，
5
∵ CBD≌ CEF，
∴ CBD CEF，
∵GF∥AB，
∴ FEB ABE 180 ，
即 CEF CEB CBE CBD 180 ，
即 2 CEF CEB 2 FEB 180 ，
∴ FEB 90 ，
∴ BEG 90 ，
∴ sin G
BE 4
，
BG 5
BE 4
即 ，
6k 5
∴ BE
24
= k ，
5
由①可得 ADC CEB 90
1
, ADC CDB 180 ，
2
∴ CEB CDB 180 ，
∴点C,D,B,E四点共圆，
∴ BED BCD，
∵ BEK KCD, BKE DKC，
∴VBEK∽VDCK，
DK CK CD 3k 5

∴ BK EK BE 24 k 8，
5
设DK 5x,BK 8x,CK 5y,EK 8y，
则 BC BK CK 8x 5y 4k①，
根据旋转可得DE AB 5k，
∴DE DK EK 5x 8y 5k②，
7 20
联立①②可得 x k , y k ，
39 39
7
KD 5x 5 k 7
∴ 39 ．
KE 8 y 8 20 k 32
392025年下学期岳阳市第十中学九年级第二次月考
数学学科试卷
时 间：120分钟 满 分：120分
选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，如图，若，，，则线段的长为（ ）
A 6 B. 8 C. 9 D. 10
4.关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象经过点 B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象分别位于第二、四象限 D. 当时，随的增大而减小
5.下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A.． B． C． D．
6.岳阳市农科所在相同条件下经试验发现水稻种子的发芽率为97.1%，该市某种粮大户准备了1000kg玉米种子用来育种，可能发芽约（ ）kg．
A.971 B.129 C.97.1 D.29
7.锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A 30°＜α＜45° B. 45°＜α＜60° C. 60°＜α＜90° D. 30°＜α＜60°
8.如图，锐角△ABC中，BE⊥AC，∠ADE＝∠C，记△ADE的面积S1，△ABC的面积S2，则＝（　　）
A．sin2A B． C．tan2A D．cos2A
9.如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则的值为( 　　)
A. B. C. 1 D.
10.关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一元二次方程的根是　 　．
12.若，则　 　．
13.若是方程的根，则　 　．
14.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高，则坡面AB的长度是　 ．
15.小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡的正下方点处，沿着平直的道路走到达点处，测得影子长是，则路灯灯泡离地面的高度为________m．
16.已知是方程的两根，则　 　．
17.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值为 .
18.如图，反比例函数的图象经过点，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点A的运动过程中，当平分时，点的坐标是 ．
解答题：（共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：
20.（6分）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．（4分）
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：　 　 .（2分）
21.（8分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（3分）
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．（2分）
（3）已知点P在x轴上，且△OPB的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标；（3分）
22.（8分）现在人们学习、工作、生活压力较大，身体常常处于亚健康状态，为了缓解压力，人们往往会通过不同的方式减压，岳阳市第十中学学生社团对本校部分老师的减压方式进行了调查（教师可根据自己的情况必选且只选其中一项），并将调查结果分析整理后制成了统计图：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了 名教师。（2分）
（2）请补全条形统计图．（2分）
（3）请计算，扇形统计图中，“K歌”所对应的圆心角是多少度？（2分）
（4）请根据调查结果估计该市1000名教师采用“美食”减压的人数是多少？（2分）
23.（9分）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；（4分）
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？（5分）
24.（9分）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．
(1)求的度数；（4分）
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）（5分）
25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；（3分）
(2)在第一象限线段AB下方的反比例函数图象上取一点N，当△ABN的面积最大时，求点N的坐标；（3分）
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．（4分）
26.（10分）在△ABC中，，将△ABC绕点旋转得到△DEC，点的对应点落在边上，连接．
(1)如图1，求证：；（3分）
(2)如图2，当时，求的长；（3分）
(3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；（2分）
②当时，直接写出的值.（2分）

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