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广西壮族自治区河池市2026届高三毕业班3月教学质量联合测试数学试题
1．（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则．
故答案为：C.
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再求即可.
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知，集合，
则.
故答案为：A.
【分析】解不等式求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可.
3．已知向量满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，
可得，解得，
则，
因为，所以，
则与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先利用向量的数量积运算求，再利用向量的夹角公式求解即可.
4．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由题意得，侧面展开图为扇形，对应的弧长为，
则.
故答案为：D.
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据等腰三角形的性质，求得的关系，再根据扇形的性质求的关系即可.
5．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（　　）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种．
故答案为：B.
【分析】利用“捆绑法”，结合排列、组合知识求解即可.
6．如图，函数的图象与轴交于点，若的最小正周期为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，所以，所以，
则，
又因为函数的图象与轴交于点，所以，即，
所以或，
当时，函数，
令，解不等式得，
所以函数在区间上单调递增，
当时，，又，所以函数在附近单调递增，
与图象不符，所以，
当时，，
令，解不等式得，
则函数在区间上单调递减，
当时，，又，所以函数在附近单调递减，
与图象相符，所以，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据的最小正周期为，利用最小正周期公式求的值，再根据函数图象过点，求得或，最后根据函数图象的单调性，求得，确定函数的解析式，再求即可.
7．已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：椭圆的焦点在轴上，且，
由，得，则椭圆标准方程为 ，
联立，整理得 ，
因为椭圆与直线相切，所以 ，
整理得，解得，即，
则椭圆的离心率 .
【分析】由题意可得：椭圆的焦点在轴上，且，根据椭圆中的关系，写出含 的椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆相切，判别式求出，最后根据椭圆的离心率公式求解即可.
8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，
即，即，
设，则，
因为0，所以在上单调递增，所以，即，
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，所以．
故答案为：D.
【分析】原式变形可得，构造函数，则，利用导数判断函数的单调性，求得，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得实数的取值范围.
9．下列结论正确的是（　　）
A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，且，则
【答案】B,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，故A错误；
B、方差，因为，
所以样本均值，样本总和，故B正确；
C、若，则，根据期望性质，得，故正确；
D、正态分布的对称轴为，由对称性得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据百分位数的定义求解即可判断A；由题意，根据方差的计算公式求解即可判断B；根据二项分布期望公式，结合期望的性质求解即可判断C；根据正态分布的曲线特点求解即可判断D.
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（　　）
A．是递增数列 B．当时，
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、易知，由，得，则，即数列是递增数列，故A正确；
B、由对A的分析可知，则（仅当时取等号），
由，得，
当时，，
当时，，
因此当时，，故B正确；
C、由，得，
由对B的分析知，当时，，，
则当时，，
即，故C错误；
D、由，得，即，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用作差法判断数列的单调性即可判断A；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法求解即可判断BC；由，整理可得，利用裂项求和即可判断D.
11．如图，平面平面为线段的中点，，直线与平面所成角的大小为为平面内的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．球心为、半径为的球面被平面截得的圆周长为
B．若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是抛物线
C．若点到直线的距离为，则的最大值为
D．满足的点的轨迹是椭圆
【答案】A,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：A、因为直线与平面所成角的大小为，
所以点到平面的距离，
球心为、半径的球面被平面截得的图形为圆，圆的半径，
则圆的周长为，故A正确；
B、由于平面平面，所以以所在直线为轴，在平面内过作轴，
平面内作轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，即化简得，
故到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线，故B错误；
C、，
所以到直线的距离为，
化简可得，
所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，
如图2，当在短轴的端点时，最大，
由于，故是正三角形，因此，故C正确；
D、，
若，
则，
化简得且，
故满足的点的轨迹是双曲线的一部分，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由题意可得：点到平面的距离，利用求截面圆的半径，再求圆周长，即可判断A；由平面平面，以所在直线为轴，在平面内过作轴，
平面内作轴，建立空间直角坐标系，设，根据，利用两点间距离公式列式化简求得点的轨迹即可判断B；利用空间向量法，根据点到直线的距离，列式求得点P的轨迹，得出椭圆，再转化为椭圆内焦点三角形的顶角最大问题求解即可判断C；由图（1）的坐标系，利用空间向量的夹角公式列式求得点轨迹即可判断D.
12．的展开式中的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，则的展开式中的系数为：.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，令，利用通项求解即可.
13．　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
，
则，
即．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线的斜率为，过点且斜率存在的直线与的右支交于两点．若分别为和的内心，且四边形的面积为，则直线的斜率的绝对值为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线渐近线的斜率为 ，可得，则，即，
设点在上的投影分别为，如图所示：
则，
，解得，即点横坐标为，
所以点横坐标为，同理可得点横坐标为，则，
四边形的面积为，得，
设直线的倾斜角为，则，，
，，
则，解得，则，，即直线的斜率的绝对值为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线渐近线的斜率为，得，设点在上的投影分别为，利用双曲线定义求出点的横坐标，设出的倾斜角，表示长度，从而解出倾斜角，得到的斜率.
15．如图，在中，为的中点，且．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）解：因为为的中点，所以，
则，即，
又因为，所以，
所以，即；
（2）解：不妨令，则，设，则，
在中，由余弦定理得，即①，
在中，由余弦定理得，即②，
联立①②，解得，则．
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由为的中点，可得以，利用三角形的面积公式求即可；
（2）不妨令，则，设，则，在和中，分别利用余弦定理，联立求的，进而可得.
（1）因为为的中点，所以，
则，
即，
因为，所以，
所以，即．
（2）不妨令，则，设，则．
在中，由余弦定理得，
即．①
在中，由余弦定理得，即．②
①②联立，解得，
所以．
16．如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：因为为的中点，，所以，
过点作交于点，由平面平面，可得，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，易知，利用面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式求解即可.
（1）如图，取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，所以．
过点作交于点，由平面平面，可得，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，得．设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得 ，
当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时取得极大值，无极小值，
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值；
（2）证明：因为，
所以原不等式等价于，因，两边除以得：只需证，
当时，不等式显然成立；
当时，，只需证，因为，故只需证，
令，求导得 ，
令，在上单调递减，且，，
故存在唯一，使得，即，
当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，
故当时，取得极大值也是最大值，
代入得：，令，
则恒成立，则在上单调递减，
故，即成立，
综上，原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性，并求的极值即可；
（2）原不等式等价于，因，两边除以得：只需证，当时，不等式显然成立；当时，只需证，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，结合给定的的范围完成证明.
（1）函数的定义域为，求导得： ，
当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时取得极大值，无极小值.
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值.
（2）因为，
所以原不等式等价于，因，两边除以得：只需证.
当时，不等式显然成立；
当时，，只需证，因为，故只需证.
令，求导得： ，
令，在上单调递减，且，，
故存在唯一，使得，即.
当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.
故当时，取得极大值也是最大值.
代入得：，令，
则恒成立，则在上单调递减，
故，即成立.
综上，原不等式得证.
18．已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，．
（1）求．
（2）当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点．
（i）证明：；
（ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．
【答案】（1）解：当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为，
联立，得，解得或，即，
由，解得；
（2）解：由（1）知，设，直线，
联立与，得，
所以且，
（i）设，如图所示：
直线过点和，设直线的方程为，
联立，得，则，
整理可得①，
同理，对于直线，可得②，
因为，所以③，
由①②作商，结合③，得，即，
所以，
所以；
（ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线，
又因为，所以与的交点即直线与的交点，
由②③，得，所以，
直线的斜率，
直线的方程为，
在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点，
故直线与交于定点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）当点与原点重合时，直线方程为，联立直线与抛物线方程求出点，再由计算值即可；
（2）（i）由（1）知，设，直线，将直线与抛物线联立，可知，再将直线的方程与抛物线联立，同理联立直线，整理可得，即；
（ii）利用点斜式求出直线的方程为，令，可得，即可得直线与交于定点.
（1）当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为，
联立得，解得或，所以．
所以，解得．
（2）由（1）知，设，直线．
联立与，得，
所以且．
（i）设，如下图：
直线过点和，设直线的方程为，
联立，得，则，
整理可得．①
同理，对于直线，可得．②
因为，所以，③
由①②作商，结合③，得，即．
所以，
所以．
（ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线，
又因为，所以与的交点即直线与的交点．
由②③，得，所以．
直线的斜率，
直线的方程为．
在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点，
故直线与交于定点．
19．每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．
（1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，
则；
（2）解：
；
（3）解：当时，
，
，
，
由，得
，
即有，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即可；
（2）利用助全概率公式求解即可；
（3）当时，利用全概率公式计算可得，又因为，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的定义及其性质求出的通项公式，再得到随机变量所有可能取值，求对应概率，列分布列，再利用数学期望公式求解即可．
（1）设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，
有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，得
，
即有，又，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
1 / 1广西壮族自治区河池市2026届高三毕业班3月教学质量联合测试数学试题
1．（　　）
A．1 B． C． D．
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（　　）
A． B．
C． D．
5．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（　　）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
6．如图，函数的图象与轴交于点，若的最小正周期为，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．下列结论正确的是（　　）
A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，且，则
10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（　　）
A．是递增数列 B．当时，
C． D．
11．如图，平面平面为线段的中点，，直线与平面所成角的大小为为平面内的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．球心为、半径为的球面被平面截得的圆周长为
B．若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是抛物线
C．若点到直线的距离为，则的最大值为
D．满足的点的轨迹是椭圆
12．的展开式中的系数为　 　．
13．　 　．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线的斜率为，过点且斜率存在的直线与的右支交于两点．若分别为和的内心，且四边形的面积为，则直线的斜率的绝对值为　 　．
15．如图，在中，为的中点，且．
（1）求；
（2）若，求．
16．如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）当时，证明：．
18．已知抛物线，过上一动点作斜率为2的直线与交于另一点，当点与原点重合时，．
（1）求．
（2）当不经过点时，直线与交于另一点，直线与交于另一点．
（i）证明：；
（ii）试判断直线与是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．
19．每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．
（1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；
（3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则．
故答案为：C.
【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再求即可.
2．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知，集合，
则.
故答案为：A.
【分析】解不等式求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，
可得，解得，
则，
因为，所以，
则与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先利用向量的数量积运算求，再利用向量的夹角公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由题意得，侧面展开图为扇形，对应的弧长为，
则.
故答案为：D.
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据等腰三角形的性质，求得的关系，再根据扇形的性质求的关系即可.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种．
故答案为：B.
【分析】利用“捆绑法”，结合排列、组合知识求解即可.
6．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，所以，所以，
则，
又因为函数的图象与轴交于点，所以，即，
所以或，
当时，函数，
令，解不等式得，
所以函数在区间上单调递增，
当时，，又，所以函数在附近单调递增，
与图象不符，所以，
当时，，
令，解不等式得，
则函数在区间上单调递减，
当时，，又，所以函数在附近单调递减，
与图象相符，所以，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据的最小正周期为，利用最小正周期公式求的值，再根据函数图象过点，求得或，最后根据函数图象的单调性，求得，确定函数的解析式，再求即可.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：椭圆的焦点在轴上，且，
由，得，则椭圆标准方程为 ，
联立，整理得 ，
因为椭圆与直线相切，所以 ，
整理得，解得，即，
则椭圆的离心率 .
【分析】由题意可得：椭圆的焦点在轴上，且，根据椭圆中的关系，写出含 的椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆相切，判别式求出，最后根据椭圆的离心率公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，
即，即，
设，则，
因为0，所以在上单调递增，所以，即，
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，所以．
故答案为：D.
【分析】原式变形可得，构造函数，则，利用导数判断函数的单调性，求得，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得实数的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，故A错误；
B、方差，因为，
所以样本均值，样本总和，故B正确；
C、若，则，根据期望性质，得，故正确；
D、正态分布的对称轴为，由对称性得，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据百分位数的定义求解即可判断A；由题意，根据方差的计算公式求解即可判断B；根据二项分布期望公式，结合期望的性质求解即可判断C；根据正态分布的曲线特点求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：A、易知，由，得，则，即数列是递增数列，故A正确；
B、由对A的分析可知，则（仅当时取等号），
由，得，
当时，，
当时，，
因此当时，，故B正确；
C、由，得，
由对B的分析知，当时，，，
则当时，，
即，故C错误；
D、由，得，即，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用作差法判断数列的单调性即可判断A；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法求解即可判断BC；由，整理可得，利用裂项求和即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：A、因为直线与平面所成角的大小为，
所以点到平面的距离，
球心为、半径的球面被平面截得的图形为圆，圆的半径，
则圆的周长为，故A正确；
B、由于平面平面，所以以所在直线为轴，在平面内过作轴，
平面内作轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，即化简得，
故到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线，故B错误；
C、，
所以到直线的距离为，
化简可得，
所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，
如图2，当在短轴的端点时，最大，
由于，故是正三角形，因此，故C正确；
D、，
若，
则，
化简得且，
故满足的点的轨迹是双曲线的一部分，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由题意可得：点到平面的距离，利用求截面圆的半径，再求圆周长，即可判断A；由平面平面，以所在直线为轴，在平面内过作轴，
平面内作轴，建立空间直角坐标系，设，根据，利用两点间距离公式列式化简求得点的轨迹即可判断B；利用空间向量法，根据点到直线的距离，列式求得点P的轨迹，得出椭圆，再转化为椭圆内焦点三角形的顶角最大问题求解即可判断C；由图（1）的坐标系，利用空间向量的夹角公式列式求得点轨迹即可判断D.
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，则的展开式中的系数为：.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，令，利用通项求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
，
则，
即．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线渐近线的斜率为 ，可得，则，即，
设点在上的投影分别为，如图所示：
则，
，解得，即点横坐标为，
所以点横坐标为，同理可得点横坐标为，则，
四边形的面积为，得，
设直线的倾斜角为，则，，
，，
则，解得，则，，即直线的斜率的绝对值为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线渐近线的斜率为，得，设点在上的投影分别为，利用双曲线定义求出点的横坐标，设出的倾斜角，表示长度，从而解出倾斜角，得到的斜率.
15．【答案】（1）解：因为为的中点，所以，
则，即，
又因为，所以，
所以，即；
（2）解：不妨令，则，设，则，
在中，由余弦定理得，即①，
在中，由余弦定理得，即②，
联立①②，解得，则．
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由为的中点，可得以，利用三角形的面积公式求即可；
（2）不妨令，则，设，则，在和中，分别利用余弦定理，联立求的，进而可得.
（1）因为为的中点，所以，
则，
即，
因为，所以，
所以，即．
（2）不妨令，则，设，则．
在中，由余弦定理得，
即．①
在中，由余弦定理得，即．②
①②联立，解得，
所以．
16．【答案】（1）证明：取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：因为为的中点，，所以，
过点作交于点，由平面平面，可得，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，易知，利用面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式求解即可.
（1）如图，取的中点，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，所以．
过点作交于点，由平面平面，可得，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，得．设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得 ，
当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时取得极大值，无极小值，
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值；
（2）证明：因为，
所以原不等式等价于，因，两边除以得：只需证，
当时，不等式显然成立；
当时，，只需证，因为，故只需证，
令，求导得 ，
令，在上单调递减，且，，
故存在唯一，使得，即，
当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，
故当时，取得极大值也是最大值，
代入得：，令，
则恒成立，则在上单调递减，
故，即成立，
综上，原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性，并求的极值即可；
（2）原不等式等价于，因，两边除以得：只需证，当时，不等式显然成立；当时，只需证，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，结合给定的的范围完成证明.
（1）函数的定义域为，求导得： ，
当时，对任意恒成立，故，在上单调递减，无极值；
当时，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时取得极大值，无极小值.
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值.
（2）因为，
所以原不等式等价于，因，两边除以得：只需证.
当时，不等式显然成立；
当时，，只需证，因为，故只需证.
令，求导得： ，
令，在上单调递减，且，，
故存在唯一，使得，即.
当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.
故当时，取得极大值也是最大值.
代入得：，令，
则恒成立，则在上单调递减，
故，即成立.
综上，原不等式得证.
18．【答案】（1）解：当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为，
联立，得，解得或，即，
由，解得；
（2）解：由（1）知，设，直线，
联立与，得，
所以且，
（i）设，如图所示：
直线过点和，设直线的方程为，
联立，得，则，
整理可得①，
同理，对于直线，可得②，
因为，所以③，
由①②作商，结合③，得，即，
所以，
所以；
（ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线，
又因为，所以与的交点即直线与的交点，
由②③，得，所以，
直线的斜率，
直线的方程为，
在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点，
故直线与交于定点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）当点与原点重合时，直线方程为，联立直线与抛物线方程求出点，再由计算值即可；
（2）（i）由（1）知，设，直线，将直线与抛物线联立，可知，再将直线的方程与抛物线联立，同理联立直线，整理可得，即；
（ii）利用点斜式求出直线的方程为，令，可得，即可得直线与交于定点.
（1）当点与原点重合时，直线过原点且斜率为2，其方程为，
联立得，解得或，所以．
所以，解得．
（2）由（1）知，设，直线．
联立与，得，
所以且．
（i）设，如下图：
直线过点和，设直线的方程为，
联立，得，则，
整理可得．①
同理，对于直线，可得．②
因为，所以，③
由①②作商，结合③，得，即．
所以，
所以．
（ii）设的中点为的中点为，因为，所以直线，
又因为，所以与的交点即直线与的交点．
由②③，得，所以．
直线的斜率，
直线的方程为．
在该方程中，令，可得，所以直线与交于定点，
故直线与交于定点．
19．【答案】（1）解：设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件，
则；
（2）解：
；
（3）解：当时，
，
，
，
由，得
，
即有，
又因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
【知识点】等比数列概念与表示；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即可；
（2）利用助全概率公式求解即可；
（3）当时，利用全概率公式计算可得，又因为，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的定义及其性质求出的通项公式，再得到随机变量所有可能取值，求对应概率，列分布列，再利用数学期望公式求解即可．
（1）设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件，
有2名男生为事件，有3名男生为事件，则；
（2）；
（3）当时，
，
，
，
由，得
，
即有，又，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同，
故，又，
所以，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3，
，
，
故其分布列为：
1 2 3
则.
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