资源简介

广东省湛江市2026届高三普通高考测试(一)数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（　　）
A． B． C． D．
3．设为单位向量，且，则（　　）
A．1 B． C． D．2
4．若是函数的两个相邻的零点，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（　　）
A．120 B．96 C．48 D．24
6．在数列中，，令，则数列的前15项的和为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
7．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
9．一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（　　）
A．极差变大 B．平均数变大
C．中位数变小 D．分位数变大
10．已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（　　）
A． B． C． D．
11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．存在点P，使得为等腰直角三角形
C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点
D．的最大值为
12．已知，则　 　．
13．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为　 　．
14．某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是　 　．
15．在中，是的中点，．
（1）当时，求的值；
（2）求的面积S．
16．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
17．如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求的值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：三点共线；
（3）试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19．已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
（1）求的最大值；
（2）证明：；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
则.
故答案为：D．
【分析】先解对数不等式求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，在复平面内的点关于实轴对称，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的对称性求得，再根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.
3．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：为单位向量，，
两边平方得，即，
则，即.
故答案为：B．
【分析】将两变平方求得，再根据向量的数量积结合向量模公式求即可.
4．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：由题意得，则，因为，所以.
故答案为：A．
【分析】根据函数的两个相邻零点求得周期，再根据周期计算公式求的值即可.
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法，
最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种，
由分步计数原理，可得取法种数为.
故答案为：C．
【分析】直接利用分步乘法计数原理求解即可.
6．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解： 在数列中， ，则，即，
数列为首项是，公差为的等差数列，，，
，则数列的前项的和，
即.
故答案为：B．
【分析】化简递推公式可得，判断数列是首项是，公差为的等差数列，利用等差数列的概念求得，将裂项得，再利用裂项相消求和即可.
7．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，可得，，
则点C到平面的距离.
故答案为：C．
【分析】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式等价于，
若，则曲线必然有一部分位于直线的上方，
与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除），
所以上述不等式等价于，
设函数，直线，
经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，
要想恒成立，
需满足在函数上方或在上且与相切于此点，
可得，由此即可得，
显然等号成立时，在上，即直线l与相切于点，
又的斜率为，，故，解得，此时，则的最大值为.
故答案为：D．
【分析】分析可得，原不等式等价于，设函数，直线，易知单调递增且上凸，直线l经过点，要想恒成立，，，对函数求导，利用导数的几何意义列式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、由题意，去掉后，极差为，极差变小，故A错误；
B、平均数，所以平均数变大，故B正确；
C、原数据和新数据的中位数分别为，且，故中位数变大，故C错误；
D、原数据的分位数：，取第5个数，新数据的分位数：，
取第4、5个数的平均，因为，所以，故分位数变大，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】分别计算原始的极差、平均数、中位数和分位数，以及去掉后的数据的极差，平均数，中位数及分位数，再比较判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
令，则，解得，
又因为是偶函数，所以，故A正确；
因为，且，
所以，故的周期，
所以，但的值不确定，故B不一定正确；
因为是偶函数，所以，所以，即，
所以为奇函数，则，故C正确；
令，则，
，为奇函数，满足题设条件；
，，故D不一定正确.
故答案为：AC．
【分析】利用函数的奇偶性结合赋值法求解即可判断A；根据函数为偶函数，且，求得函数的周期，利用周期性求解即可判断B；利用函数的奇偶性求解即可判断C；令，结合导数的性质及赋值法求解即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线互相垂直，
则，解得，即，两条直线的斜率分别为1和，
双曲线C的离心率为，故A正确；
因为点P是双曲线C右支上任意一点，所以，
若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾；
所以直角顶点为，，且，因为，
所以，解得，故或，
，，，
无法构成等腰直角三角形，故B错误；
联立直线与双曲线，整理得，
当时，，，
则直线与双曲线有2个交点，故C正确；
根据双曲线的定义可知，，
因为的最小值为，所以，
则的最大值为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据双曲线的渐近线垂直，斜率之积为-1，列式求得，再根据双曲线的离心率公式求解即可判断A；根据双曲线的定义和性质，结合已知条件求出的关系，结合等腰直角三角形的性质求解即可判断B；联立直线与双曲线方程，利用判别式求解即可判断C；根据双曲线的定义，结合双曲线的性质求解即可判断D．
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，解得，
则．
故答案为：.
【分析】利用诱导公式结合两角和的正切公式化简求得，再根据正切的二倍角公式求值即可.
13．【答案】
【知识点】三点共线；平面内点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，焦点坐标，准线方程，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离，
过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则，
过点作直线的垂线，垂足为，
故点到直线的距离之和为，
当且仅当三点共线时等号成立，
即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即.
故答案为：.
【分析】化抛物线方程为标准方程，求焦点和准线方程，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，作出图象，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可.
14．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，
设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，
由题意可得，，
计算可得，
则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为．
故答案为：.
【分析】先分别设、表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率和先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，由题意列出关于和表达式，解方程即可.
15．【答案】（1）解：设，则，
因为，，所以在中，由余弦定理得，
即，解得，则，
在中，由正弦定理，可得，
解得，则；
（2）解：设，
在和中，由余弦定理得，
即，由得，则，
即，
故．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，则，在中，利用余弦定理求得，再根据正弦定理求解即可；
（2）设，在和中，分别利用余弦定理得，再根据三角形面积公式求得，再根据求解即可．
（1）解：如图，设，则，
因为，
所以，在中，由余弦定理得，
即，故，
所以．
在中，由正弦定理得，即，解得．
所以.
（2）解：如图，设，
在和中，由余弦定理得，
即，，得，
所以，所以
所以．
16．【答案】（1）解：记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，
由题意得，
因为，
所以，
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得；
（2）解：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
，
令，设函数，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，育苗成功的种子数量为服从二项分布，利用二项分布求期望即可；
(2) 一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，计算其概率，令，设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
17．【答案】（1）证明：设的中点为M，连接，如图所示：
在中，因为点G为中点，M为中点，所以，且；
根据条件可得，且，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
（3）解：以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
易得平面的一个法向量为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设的中点为M，连接，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理证明即可；（2）由题意先证明， 再根据平行线分线段成比例求解即可；
（3）以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：如图，设的中点为M，连接．
在中，点G为中点，M为中点，
，且．
根据条件可得，且，
且，
四边形为平行四边形，
．
又平面平面平面．
（2）解：平面，平面，平面平面，
．
又，
，
．
又，
．
（3）解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
可得．
设平面的法向量为，则
即令，可得．
易得平面的一个法向量为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：设点P是上任意一点，是其左、右焦点，由椭圆的定义可得，
又，即，
结合以上两式可得，
当且仅当三点共线时取等号，
则点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故，
，解得，，
故椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，
代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根，
设，则，
故直线的方程为，令，可得，
又因为，
所以，
所以，故三点共线；
（3）解：是．
由（2）易得，直线的方程为，令，可得，
设为以为直径的圆上一点，则有，即，
由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上，
令，得，解得，
则以为直径的圆恒过两定点．
【知识点】圆方程的综合应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，椭圆的基本性质及椭圆上点到焦点的最小距离为，以及离心率，求出，即可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合两点式的直线方程求得直线与的交点的坐标，再通过证明向量与共线，即可证得共线；
（3）先求出的坐标，得到以为直径的圆的方程；再将韦达定理代入圆的方程，整理后分析方程恒成立的条件，从而确定是否存在定点.
（1）设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有．
又，即，
结合以上两式可得，
当且仅当三点共线时取等号，
点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故．
又，
解得，故，
∴椭圆的方程为．
（2）依题意可设直线的方程为，
代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根．
设，则
故直线的方程为，令，可得．
又，
．
，故三点共线．
（3）是．
由（2）易得，直线的方程为，令可得．
设为以为直径的圆上一点，则有，
即，
由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上
令，
得，
，
∴以为直径的圆恒过两定点．
19．【答案】（1）解：函数的定义域为R，，当，当，
则在上单调递增，在上单调递减，且是函数的极大值也是最大值，
故的最大值为；
（2）证明：设，则，
又因为，
所以在上单调递减，且，
所以，
设，则，
设，则，
在上单调递增，故，
在上单调递增，故，
，即，
所以，
即，
所以，且在上单调递减，
所以，
综上所述，故；
（3）证明：由（2）知，所以，
故，
在处的切线方程为，即，
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得，
因为，所以在上单调递增，所以，
即，，
由，得，
解得，故不等式成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值即可；
（2）构造函数且，求导，利用导数判断函数的单调性，再分别判断及，其中要通过放缩证明结论即可；
（3）由（2）知，利用点斜式求函数在处的切线方程，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并结合证明不等式即可.
（1）由，函数的定义域为R，，所以，.
在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值.
故的最大值为．
（2）设，则.
又因为，所以在上单调递减．且，所以.
设，则，设，则，
在上单调递增，故，在上单调递增，故，
，即，所以，即.
所以，且在上单调递减，所以.
综上所述，故．
（3）由（2）知，所以，故．
在处的切线方程为，即．
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得在上单调递增，
，即，．
由，得，
解得，故不等式成立．
1 / 1广东省湛江市2026届高三普通高考测试(一)数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
则.
故答案为：D．
【分析】先解对数不等式求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，在复平面内的点关于实轴对称，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的对称性求得，再根据复数代数形式的乘除运算化简求解即可.
3．设为单位向量，且，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：为单位向量，，
两边平方得，即，
则，即.
故答案为：B．
【分析】将两变平方求得，再根据向量的数量积结合向量模公式求即可.
4．若是函数的两个相邻的零点，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：由题意得，则，因为，所以.
故答案为：A．
【分析】根据函数的两个相邻零点求得周期，再根据周期计算公式求的值即可.
5．某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（　　）
A．120 B．96 C．48 D．24
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法，
最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种，
由分步计数原理，可得取法种数为.
故答案为：C．
【分析】直接利用分步乘法计数原理求解即可.
6．在数列中，，令，则数列的前15项的和为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解： 在数列中， ，则，即，
数列为首项是，公差为的等差数列，，，
，则数列的前项的和，
即.
故答案为：B．
【分析】化简递推公式可得，判断数列是首项是，公差为的等差数列，利用等差数列的概念求得，将裂项得，再利用裂项相消求和即可.
7．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，可得，，
则点C到平面的距离.
故答案为：C．
【分析】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.
8．已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式等价于，
若，则曲线必然有一部分位于直线的上方，
与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除），
所以上述不等式等价于，
设函数，直线，
经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点，
要想恒成立，
需满足在函数上方或在上且与相切于此点，
可得，由此即可得，
显然等号成立时，在上，即直线l与相切于点，
又的斜率为，，故，解得，此时，则的最大值为.
故答案为：D．
【分析】分析可得，原不等式等价于，设函数，直线，易知单调递增且上凸，直线l经过点，要想恒成立，，，对函数求导，利用导数的几何意义列式求解即可.
9．一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（　　）
A．极差变大 B．平均数变大
C．中位数变小 D．分位数变大
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、由题意，去掉后，极差为，极差变小，故A错误；
B、平均数，所以平均数变大，故B正确；
C、原数据和新数据的中位数分别为，且，故中位数变大，故C错误；
D、原数据的分位数：，取第5个数，新数据的分位数：，
取第4、5个数的平均，因为，所以，故分位数变大，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】分别计算原始的极差、平均数、中位数和分位数，以及去掉后的数据的极差，平均数，中位数及分位数，再比较判断即可.
10．已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
令，则，解得，
又因为是偶函数，所以，故A正确；
因为，且，
所以，故的周期，
所以，但的值不确定，故B不一定正确；
因为是偶函数，所以，所以，即，
所以为奇函数，则，故C正确；
令，则，
，为奇函数，满足题设条件；
，，故D不一定正确.
故答案为：AC．
【分析】利用函数的奇偶性结合赋值法求解即可判断A；根据函数为偶函数，且，求得函数的周期，利用周期性求解即可判断B；利用函数的奇偶性求解即可判断C；令，结合导数的性质及赋值法求解即可判断D．
11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线C的离心率为
B．存在点P，使得为等腰直角三角形
C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点
D．的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线互相垂直，
则，解得，即，两条直线的斜率分别为1和，
双曲线C的离心率为，故A正确；
因为点P是双曲线C右支上任意一点，所以，
若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾；
所以直角顶点为，，且，因为，
所以，解得，故或，
，，，
无法构成等腰直角三角形，故B错误；
联立直线与双曲线，整理得，
当时，，，
则直线与双曲线有2个交点，故C正确；
根据双曲线的定义可知，，
因为的最小值为，所以，
则的最大值为，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据双曲线的渐近线垂直，斜率之积为-1，列式求得，再根据双曲线的离心率公式求解即可判断A；根据双曲线的定义和性质，结合已知条件求出的关系，结合等腰直角三角形的性质求解即可判断B；联立直线与双曲线方程，利用判别式求解即可判断C；根据双曲线的定义，结合双曲线的性质求解即可判断D．
12．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，解得，
则．
故答案为：.
【分析】利用诱导公式结合两角和的正切公式化简求得，再根据正切的二倍角公式求值即可.
13．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三点共线；平面内点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，焦点坐标，准线方程，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离，
过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则，
过点作直线的垂线，垂足为，
故点到直线的距离之和为，
当且仅当三点共线时等号成立，
即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即.
故答案为：.
【分析】化抛物线方程为标准方程，求焦点和准线方程，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，作出图象，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可.
14．某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是　 　．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，
设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，
由题意可得，，
计算可得，
则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为．
故答案为：.
【分析】先分别设、表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率和先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，由题意列出关于和表达式，解方程即可.
15．在中，是的中点，．
（1）当时，求的值；
（2）求的面积S．
【答案】（1）解：设，则，
因为，，所以在中，由余弦定理得，
即，解得，则，
在中，由正弦定理，可得，
解得，则；
（2）解：设，
在和中，由余弦定理得，
即，由得，则，
即，
故．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，则，在中，利用余弦定理求得，再根据正弦定理求解即可；
（2）设，在和中，分别利用余弦定理得，再根据三角形面积公式求得，再根据求解即可．
（1）解：如图，设，则，
因为，
所以，在中，由余弦定理得，
即，故，
所以．
在中，由正弦定理得，即，解得．
所以.
（2）解：如图，设，
在和中，由余弦定理得，
即，，得，
所以，所以
所以．
16．某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．
（1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值．
【答案】（1）解：记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，
由题意得，
因为，
所以，
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得；
（2）解：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
，
令，设函数，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B，育苗成功的种子数量为服从二项分布，利用二项分布求期望即可；
(2) 一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，计算其概率，令，设函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可.
（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B．
由题意得，
因为，
所以．
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为，
根据题意可得，由此可得．
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值．
解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．
设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D，
则可得，
则有，
从而可得．
令，设函数，
．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
综上，的概率，其最大值为．
17．如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求的值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：设的中点为M，连接，如图所示：
在中，因为点G为中点，M为中点，所以，且；
根据条件可得，且，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
（3）解：以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
易得平面的一个法向量为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设的中点为M，连接，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理证明即可；（2）由题意先证明， 再根据平行线分线段成比例求解即可；
（3）以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：如图，设的中点为M，连接．
在中，点G为中点，M为中点，
，且．
根据条件可得，且，
且，
四边形为平行四边形，
．
又平面平面平面．
（2）解：平面，平面，平面平面，
．
又，
，
．
又，
．
（3）解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
可得．
设平面的法向量为，则
即令，可得．
易得平面的一个法向量为，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：三点共线；
（3）试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：设点P是上任意一点，是其左、右焦点，由椭圆的定义可得，
又，即，
结合以上两式可得，
当且仅当三点共线时取等号，
则点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故，
，解得，，
故椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，
代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根，
设，则，
故直线的方程为，令，可得，
又因为，
所以，
所以，故三点共线；
（3）解：是．
由（2）易得，直线的方程为，令，可得，
设为以为直径的圆上一点，则有，即，
由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上，
令，得，解得，
则以为直径的圆恒过两定点．
【知识点】圆方程的综合应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，椭圆的基本性质及椭圆上点到焦点的最小距离为，以及离心率，求出，即可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合两点式的直线方程求得直线与的交点的坐标，再通过证明向量与共线，即可证得共线；
（3）先求出的坐标，得到以为直径的圆的方程；再将韦达定理代入圆的方程，整理后分析方程恒成立的条件，从而确定是否存在定点.
（1）设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有．
又，即，
结合以上两式可得，
当且仅当三点共线时取等号，
点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故．
又，
解得，故，
∴椭圆的方程为．
（2）依题意可设直线的方程为，
代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根．
设，则
故直线的方程为，令，可得．
又，
．
，故三点共线．
（3）是．
由（2）易得，直线的方程为，令可得．
设为以为直径的圆上一点，则有，
即，
由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上
令，
得，
，
∴以为直径的圆恒过两定点．
19．已知，设与的图象位于第一象限的交点为．
（1）求的最大值；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）解：函数的定义域为R，，当，当，
则在上单调递增，在上单调递减，且是函数的极大值也是最大值，
故的最大值为；
（2）证明：设，则，
又因为，
所以在上单调递减，且，
所以，
设，则，
设，则，
在上单调递增，故，
在上单调递增，故，
，即，
所以，
即，
所以，且在上单调递减，
所以，
综上所述，故；
（3）证明：由（2）知，所以，
故，
在处的切线方程为，即，
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得，
因为，所以在上单调递增，所以，
即，，
由，得，
解得，故不等式成立．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求最值即可；
（2）构造函数且，求导，利用导数判断函数的单调性，再分别判断及，其中要通过放缩证明结论即可；
（3）由（2）知，利用点斜式求函数在处的切线方程，再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，并结合证明不等式即可.
（1）由，函数的定义域为R，，所以，.
在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值.
故的最大值为．
（2）设，则.
又因为，所以在上单调递减．且，所以.
设，则，设，则，
在上单调递增，故，在上单调递增，故，
，即，所以，即.
所以，且在上单调递减，所以.
综上所述，故．
（3）由（2）知，所以，故．
在处的切线方程为，即．
令，
则，
由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得在上单调递增，
，即，．
由，得，
解得，故不等式成立．
1 / 1

展开更多......

收起↑