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江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期4月阶段性检测试卷高一数学
一、单选题
1．已知平面向量，，则存在，使得“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．设的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为（ ）
A．12 B．6
C． D．
8．已知，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列代数式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若满足条件的有2个，则的取值范围为
C．面积的最大值为
D．的最大值为
11．在中，点在上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则（ ）
A． B．的最小值为9
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知的面积为S，且，则角C的大小为__________．
13．已知是夹角为的单位向量，非零向量，则的最大值为______．
14．在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________．
四、解答题
15．已知两个单位向量与的夹角为，设向量．
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为，求的值．
16．在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
17．已知向量，．
(1)求函数的对称中心；
(2)设，讨论函数在上的零点的个数．
18．如图，在梯形中，，，E为上一点，且．
(1)若，求的值；
(2)已知．
①求的长；
②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值．
19．已知函数．
(1)当时，若，求的值；
(2)当时，若，求的值；
(3)当时，若，求的取值范围．
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．D
5．C
6．D
7．A
8．B
9．AC
10．BCD
11．ACD
12．
13．1
14．
15．（1）因为，则基底为与，
若，则由对应基底系数成比例可得，，解得．
（2）因为单位向量与的夹角为，则.
而，
，
则，
所以，
即，且，
化简得，且，解得．
16．（1）由正弦定理得，所以，．
又，所以，
所以．
（2）由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以或．
由（1）知，．
①当时，，
所以．
因为，所以，所以，
所以．
②当时，，
因为，所以，所以，则，
所以．
综上所述，或
17．（1）依题意，
，
令，解得，
所以函数的对称中心为．
（2）由（1）知，，
由得，，令，
则在上零点的个数，即方程在上的解的个数，
由，得，
当时，函数单调递增，此时，
当时，函数单调递减，此时．
①当或，即m≤0或时，在上无解；
②当或，即或时，在上只有一解；
③当，即时，在上有两解．
所以当或时，在上零点的个数为0；
当或时，在上零点的个数为1；
当时，在上零点的个数为2．
18．（1）因为，，所以，
所以
，
又，与不共线，所以，，
则．
（2）①由（1）知，，
，
所以
．
又，所以，解得．
②设，
则，
．
又因为∠BAD＝，，，
所以
．
因为，函数的对称轴为，
所以时，的最大值为．
19．（1）当时，
．
因为，所以，
所以或，
即或，
即或．
又，所以或或，
所以或或．
（2）当时，
，其中， ．
因为，所以．
又，
所以．
由，
化简得，解得．
（3）当时，．
由，得，即，
即，即．
因为，所以，所以，
所以在上有解．
又
，
令，则．
因为在上单调递减，
所以当时，，所以．
即的取值范围是.

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