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四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三下学期4月期中数学试卷
一、单选题
1．已知全集，集合，，（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数，是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
8．已知是R上的奇函数，当时，，函数，若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差 1 0 3 3
下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（ ）
A．这组数据的众数是3
B．这组数据的60%分位数是0.5
C．这组数据的方差大于5
D．若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
10．已知函数，则（ ）
A．当时，有3个零点
B．当时，有两个极值
C．当时，在上单调递减
D．图象对称中心的横坐标不变
11．已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ）
A．C关于轴对称
B．关于轴对称
C．的取值范围分别为
D．的最大值为2
三、填空题
12．在数列中，，其前n项和为，则＝______
13．直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________．
14．在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
四、解答题
15．已知数列的首项，前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
17．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
(1)证明：平面；
(2)若在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知函数，其中.
(1)若，求的单调区间；
(2)若，
（i）证明：在区间内有且仅有1个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：.
19．已知双曲线左右焦点分别为，且，在上，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设直线与右支交于两点，且直线倾斜角互补，记中点为．
（i）判断直线斜率是否为定值，请说明理由；
（ii）若不在上，记，，求的最大值．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．A
5．C
6．A
7．C
8．D
9．ACD
10．ABD
11．ABC
12．
13．
14．
15．（1）由，①
当时，，由，解得，
当时，，②
①-②得：，即，
从而，
又因为，且也满足上式，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，则，
从而，
所以，
，
令，①
则，②
①-②得：，
所以，
又，
所以．
16（1）名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
所以选派的人中恰有人会法语的概率．
（2）由题意可知，所有可能的取值为，
，，
，，
所以的分布列为
数学期望为．
17．（1）二面角为直二面角，即平面平面，
又因为平面，平面平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
由题意平面，
所以平面．
（2）取中点中点，连接，
则，
因为平面，平面，所以，所以，
在中，为中点，所以.
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则．
设该球的球心坐标为，则
解得.
所以该球的半径为.
（3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接，
平面平面平面，
平面平面，所以平面．
而平面，故，
又因为，平面，故平面，
而平面，所以，
则为平面与平面的所成角.
直角三角形中，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
法二：平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则即
取，得平面的一个法向量为.
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．（1）求导得：，
因为，对任意 ，都有，
所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
（2）（i）由（1）知，当时，令 ，
当 时，，
故 在上单调递减，
因为，所以，
又因为，所以在区间内存在零点，
即结合在 上单调递减，
可得在区间内有且仅有1个零点，且；
则当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
又因为，所以根据单调性可知：，
又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减，
可知：在区间内有且仅有1个零点，
又因为时，结合在单调递增，所以，
即在区间函数没有零点，
所以在区间内有且仅有1个零点，
（ii）由题意可知：，即，
消可得：，
当时，构造函数，
求导得，则在时单调递增，
即，所以，
即可知，
则，
两边取对数得：，即.
19．（1）方法①：由题意，则，解得，
故双曲线方程为．
方法②：由题意，则，
利用定义：，
，故双曲线方程为．
（2）（i）结论：直线斜率为定值，理由如下
讨论：若直线斜率不存在，记，
则，记直线斜率分别为，
，不符合题意，舍去．
故直线斜率存在，设，
代入，整理得，
，则，
记直线斜率分别为，
由
，
化简得，（不符合题意舍去）
此时，．设直线斜率为，，
故直线斜率为定值．
（ii）方法①：由（i）可知，，
直线，记到的距离为，
，又，
同理，
令
（当取等号）
（当且仅当取等号）
故最大值为．
方法②：如图，中，利用正弦定理
记分别到直线的距离为，
利用双曲线第二定义，，
由（为倾斜角），
．
（当且仅当时取等号）
故最大值为．

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