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天津市武清区杨村第三中学2025-2026学年高二第二学期第1次阶段性评价数学试题
一、单选题
1．已知函数在处可导， 若，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．或 C． D．
4．已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A．180 B．216 C．162 D．150
6．某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ）
A．18种 B．36种
C．68种 D．84种
7．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．已知函数满足，则______.
11．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为_________．
12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
13．若函数在上有极值，则实数的取值范围是________．
14．“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法
15．据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答)
三、解答题
16．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的最小值．
17．某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队.
(1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？
(2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？
(3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？
(4)若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？
18．已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
19．已知，．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．B
5．A
6．B
7．A
8．D
9．C
10．
11．
12．
13．
14．180
15．
16．（1）由题意得在上，故，
而，由题意得，
又，解得，故；
此时，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上为减函数，
且的极大值为，极小值为.
（2）由（1）得当时，单调递增，当时，单调递减，
而，
故当时，函数的最小值为.
17．（1）根据题意，若甲、乙必须参加，
在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；
（2）甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；
（3）在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，
则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；
（4）①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，
由分类计数原理，可得种不同的选法.
18．（1）因为
则，即，所以，经检验符合题意
（2），则.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）当时，由可得，令，其中，
则直线与函数在上的图像有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
19．（1）,
,
因为在上单调递减，
所以在恒成立，
即在恒成立，
因为函数在单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2），
若，则在恒成立，
则函数在区间单调递减，
所以，解得，不符合题意；
若，由解得，
由解得，
（i）若，即，
则函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
（ii）若，即，
则函数在单调递减，
所以，解得，不满足题意；
综上，.
20．（1），
则，
由题意可得，解得；
（2）由（1）可得：，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则在定义域内恒成立，
故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得.
且在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，，则，
令，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
即当时恒成立，
则在上单调递减，则，
故.

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