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《德庆县香山中学 2025-2026 学年第二学期高二年级第一次教学质量检测数学试卷》参考
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D B B B ACD ACD
题号 11
答案 AD
8．B 根据题意可知需要 5步才能涂完，第一步，涂区域 ，共有 4种颜色可选；第二步，
涂区域 ，共有 3种颜色可选；第三步，涂区域 ，共有 2种颜色可选；第四步，涂区域 ，
若 和 同色时，则第五步区域 有 2种颜色可选，若 和 不同色时，区域 只有一种
颜色可选，则第五步区域 有 1种颜色可选，利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有
种.
11．AD
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 或 .对于选项 A：若 ，解得 ，故 A正确；
对于选项 B：若 ，则 ，当 时， ；当
时， ；可知 在 内单调递增，在 内单调递减，所以 为
的极小值点，故 B错误；对于选项 C：若 ，则 ，当
时， ；当 时， ；可知 在 内单调递增，在
内单调递减，则 的极大值为 ，极小值为 ，当 趋近
于 时， 趋近于 ，所以 有且仅有 1个零点，故 C错误；对于选项 D：若
，令 ，构造 ，则 ，可知
在 内单调递增，则 ，即 ，可得 ，
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整理可得 ，故 D正确.
二、解答题：
12． 13．
14． 由 ，得 ,当 时，左边 ，等式不成立，
故 不是根，；当 时，分离参数得 ，令 ，则问题等
价于 与 的图象有两个不同的交点,
,因此 在
上恒成立,所以 在 和 上分别单调递减，
由于当 ， 时， ， 时， ，此时 的值域为
，
当 ， 时， ， 时， ，此时 的值域为 ，
则 的大致图像如下：
所以要使 与 的图象有两个不同的交点，则
15．
（1）男生甲不站在队伍的两头，有 种排法；…………3分
（2）全部男生相邻，有 种排法；…………6分
（3）女生不能相邻，有 种排法；…………9分
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（4）队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有 种排法；…………13 分
16．
（1）因为 ，则 ，解得 ，故 ，………2分
所以 ，所以 ，…………4 分
此时，曲线 在 处的切线方程为 ，即 .…………6 分
（2）因为 ，则 ，…………7 分
当 时，则 ，即函数 的单调递减区间为 ，没有单调
递增区间；…………10 分
当 时，由 可得 ，由 可得 .此时，函数 的
单调递减区间为 ，单调递增区间为 .…14 分
综上所述，当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；当 时，
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .…………15 分
17．
（1）函数 的定义域是 .…………1 分
又 ，令 ，得 ，令 ，得 ，…………5 分
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以函数 的极大值为 ，无极小值.…………7 分
（2）由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，…………9 分
所以 在 上的最小值为 .因为 ，所以
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，…………13 分
所以函数 在 上的最小值为 1.…………15 分
18．
（1）依题意可得 ，则 ,…………1分
∵ ，∴ ，…………5分
∴曲线 在点（1，5）处的切线方程为 ，即 ；………9分
（2）设过原点的切线方程为 ，则切点为 ，…………11 分
则 ,消去 k，整理得 ，…………14 分
解得 或 ，所以曲线 存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为 或
．…………17 分
19．
（1）有题意可知，当 时， ，即 ，…………3分
解得 ，所以 .…………6分
（2）设该商场每日销售 系列所获得的利润为 ，则
，…………10 分
，…………11 分
令 ，得 或 （舍去），
所以当 时， 为增函数；
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当 时， 为减函数，
故当 时，函数 在区间 内有极大值点，也是最大值点，…………15 分
即 时函数 取得最大值 .
所以当销售价格为 5元/千克时， 系列每日所获得的利润最大.…………17 分
答案第 1页，共 2页德庆县香山中学 2025-2026 学年第二学期高二年级第一次教学
质量检测数学试卷
一、单选题
1． （ ）
A．0 B．1 C． D．
2．用 1，2，3，4能写成没有重复数字的 3位数的个数是（ ）
A．24 B．12 C．36 D．6
3．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知曲线 在 处的切线方程是 ，则 与 分别为（ ）
A．3， B． ，3 C．2， D． ，2
5．春节某人计划去福建莆田旅游，打算从梅寺晨钟，石室藏烟，紫霄怪石，白塘秋月，湄
屿潮音这 5个景点中选 3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ）
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A．60 B．20 C．12 D．10
6．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．若 是函数 的极小值点，则实数 （ ）
A．6 B．3 C．2 D．4
8．如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择 要求每一
个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．64 B．72 C．84 D．96
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．盒子内有 20个大小相同的球，其中有 15个蓝球，5个红球，现从中取出 3个球，则（ ）
A．取出的 3个球中恰好有 1个蓝球的取法有 种
B．取出的 3个球中恰好有 1个蓝球的取法有 种
C．取出的 3个球中至少有 2个蓝球的取法有 种
D．取出的 3个球中至少有 1个红球的取法有 种
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11．函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 的极大值点为
C．当 时， 有 3个零点 D．若 ，则
三、填空题
12．从 这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.
13．已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为___________．
14．函数 有两个不同的零点,则实数 a的取值范围是__________.
四、解答题
15．4名男生和 3名女生共 7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示）
(1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法；
(2)如果全部男生相邻，有多少种不同的排法；
(3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法；
(4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法.
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16．设函数 ， ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间．
17．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间以及极值；
(2)求函数 在 上的最小值.
18．已知函数 的图象经过点 ．
(1)求曲线 在点 A处的切线方程．
(2)曲线 是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明
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理由．
19．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列进行
市场销售量调研，通过对该品牌的 系列一个阶段的调研得知，发现 系列每日的销售量
（单位：千克）与销售价格 （元/千克）近似满足关系式 ，其
中 ， 为常数.已知销售价格为 6元/千克时，每日可售出 系列 15千克.
（1）求函数 的解析式；
（2）若 系列的成本为 4元/千克，试确定销售价格 的值，使该商场每日销售 系列所获
得的利润最大.
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答案第 1页，共 2页

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