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2026年江苏扬州市宝应县中考一模数学试题
一、单选题
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ）
A．-2026 B．2026 C． D．
2．如图是一个工艺品摆件，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的平均数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计票房已突破3170000000元，其中数据3170000000用科学记数法表示为___________．
10．分解因式：x2－25=_________________.
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12．如果，则___________．
13．已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°．
14．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____．
15．如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________．
16．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，则可列方程组为_______．
17．在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________．
18．设、、、为正整数，且，，，则___________．
三、解答题
19．按要求完成下列各题：
(1)计算：．
(2)化简：．
20．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
21．某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下：
组别
成绩（）
(1)图中___________；
(2)扇形统计图中组所在的扇形的圆心角是___________．
(3)已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数．
22．如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上）
(1)甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________；
(2)若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率．
23．如图，已知，延长到E，使，连接，若．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
24．某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？
25．如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
26．如图，的边上有一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长．
27．如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点．
(1)若，求的长；
(2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由；
(3)线段的最小值是___________．
28．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值．
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．A
5．B
6．D
7．B
8．B
9．
10．
11．
12．
13．40或70
14．/120度
15．
16．
17．/
18．
19．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．解：解不等式得，，
解不等式得，，
这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6，
这个不等式组的所有整数解的和．
21．（1）解：样本总数为：，
；
（2）解： 扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为；
（3）解：（人），
即根据样本数据估计获得“优秀”等级的参赛人数为人．
22．（1）解：由题意，甲同学第一次就抽到模型A的概率是；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2件模型中包含A的有6种结果，
∴P（抽到的2件模型中包含A）．
23．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，

∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
24．升级后每小时组装45辆汽车．
解：设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：升级后每小时组装45辆汽车．
25．（1）证明：如图1，以为直径的交于点，连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图2，，，过点作，垂足为点，
，
，
∴，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
26．（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求；
（2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求；
点在的角平分线上，，，
，
为半径，
是的切线，切点为；
（3）解：中，，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
即的半径长为．
27．（1）解：如图，连接，
四边形是矩形，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
（2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形，
，即，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
设，则，，，
，
即的比值不变，为；
（3）解：由（2）可知，，即，
当线段取最小值时，线段取最小值，
根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示，
在中，，
，
，
即线段的最小值是．
28．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴
解得：，，
∴抛物线的解析式为．
当时，．
解得，，
∴C点坐标为；
（2）∵直线与坐标轴交于，两点，
∴令，得，令，则，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点，
∴，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵C点坐标为，
∴，
∴，
∴；
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得
，
解得，
∴，
设M点坐标为，则，
，
∵，，
∴当时，的最大值为2．

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