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河南开封市五县2026届高三下学期3月联考
数学试卷
一、单选题
1．与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
2．复数的虚部为 （ ）
A．1 B． C． D．
3．已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ）
A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55
6．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．的图象与的图象在内有4个交点
8．在长方体中，，点分别为棱和的中点，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合满足 ，若是偶函数，则可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是圆上一动点，点，点，则（ ）
A．点到直线的距离的最大值为
B．满足的点有2个
C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
D．的最小值是
11．函数（且），则（ ）
A．当时，无极值点
B．当时，无极值点
C．若分别是的极大值点和极小值点，且，则
D．若分别是的极小值点和极大值点，且，则
三、填空题
12．若，则______.
13．已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为___________
14．已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，点为正方形的中心，若点为直线上一动点，则的最小值为__________．
四、解答题
15．在中，角的对边分别是，已知．
(1)求角的大小；
(2)求的周长．
16．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求证：对任意，不等式恒成立．
17．一辆可自动运行的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或者向后运动．记未连续出现2次向后运动的概率为．
(1)求的值，以及之间的递推关系式；
(2)若满足关系式，求的值．
18．等轴双曲线经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在轴的圆经过原点，且与双曲线相交于四点（按照顺时针方向），求证：直线与圆相切．
19．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上．
(1)若，求球的表面积；
(2)若是边长为的等边三角形，，球的半径为，求三棱锥的体积；
(3)若是直角三角形，斜边，点到底面的距离为7，球的半径为5，求的最小值．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．C
5．B
6．A
7．D
8．A
9．ABC
10．BCD
11．ABD
12．0
13．20
14．
15．（1）已知，
结合，
可得，
，
又，则，
得．
因为，所以．
（2）由（1）知，根据正弦定理，
则，
结合，
得．
，
由余弦定理，可得，
即，
则，
代入和，得，
则，故，
因此，的周长为．
16．（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减．
因此，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）要证，两边取自然对数（因单调递增，不等号方向不变），即证，
由对数运算法则，化简得．
方法一
，
即证．
由，可知，结合在区间上单调递增，
所以得证，原不等式成立．
方法二 令，因为，所以，即．
由三角恒等式，代入，
得，
令，需证，
求导得，化简得，
因为，所以，即在上单调递增．
接下来只需证明不等式．
因在上单调递增，故，
因此，当时，，即恒成立．
综上，对任意，不等式恒成立．
17．（1）已知运行次，未连续出现2次向后运动的概率为，
则运行1次时，未连续出现2次向后运动的概率为1，即；
运行2次时，总情况为，出现2次向后运动的情况为1，
则未出现的情况为，即；
运行3次时，总情况为，出现2次向后运动的情况为3，
则未出现的情况为，即；
当第次运行是向前时，只需前次运行未连续出现2次向后运动，此时概率为；
当第次运行是向后时，需保证第次运行是向前的，且前次运行未连续出现2次向后运动，
此时概率为，
．
（2）若，则，
又，
或．
18．（1）等轴双曲线满足，因此双曲线的方程可写为，
因为双曲线经过点，所以，
即，化简得解得，
因此，双曲线的方程为．
（2）由于双曲线和圆均关于轴对称，不妨设，则，如图：
设圆心在轴上的圆的方程为（，因圆经过原点，代入满足方程），
化简得，
将双曲线方程代入圆的方程，消去，得，
整理得，则，故．
直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为．
因为双曲线方程为，所以，
所以，
，
分别代入式中，得，所以直线与圆相切，得证．
19．（1）如图，将三棱锥补成长方体，设长方体的长、宽、高分别为．
根据题意有，
将这三个式子相加可得，即，
而长方体的体对角线就是外接球的直径，设长为，
所以，则．
根据球的表面积公式，可得．
（2）如图，三棱锥的外接球球心为，的中心为，连接，则平面，
延长交于点，则是的中点，且，连接，
又，平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面，且平面平面．
过点作的垂线，垂足为点，则平面．
在中，，
设，过点作的垂线，垂足为点，
若在的同侧，则在中有，
在中有（在异侧时，有），
联立解得或，
因为，所以，
所以三棱锥的体积为或．
（3）因为是直角三角形，斜边为，
所以的外接圆的圆心为的中点，如图：
设球的半径为R，点所在截面圆的圆心为点，半径为r，此截面与平面平行，
则球心在上，且，
因为点到底面的距离为7，所以，
则．
设点在平面上的射影为点，则点在以点为圆心，3为半径的圆上，
∵平面，
∴与平面内所有直线垂直，，
∴
而
，
当反向时，取得最小值，为，
∴的最小值为．

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