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海南定安县2025-2026学年第二学期高三联考
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B．4 C． D．3
3．已知向量，，且，则（ ）
A．10 B．8 C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
5．从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点M是抛物线上的一点，点F是C的焦点，点为线段的中点，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．的值域为
10．已知数列满足，，则（ ）
A． B．数列为等比数列
C．数列的前项和 D．数列的通项公式为
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为A，B，与y轴的交点为D，若，则下列说法正确的有（ ）
A． B．双曲线C的离心率为
C．直线的斜率为 D．点D到双曲线C上的点的距离的最小值为
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为_____.
13．已知函数为奇函数，当时，，则_____.
14．如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____.
四、解答题
15．如图，在中，，，，点D在边上，且．
(1)求；
(2)求的面积．
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点M，N分别是棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，平面平面，求直线与平面夹角的正弦值.
17．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围.
18．已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长；
(3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值.
19．小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为.
(1)求，，的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求.
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．A
5．B
6．D
7．B
8．D
9．AC
10．ABC
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）由余弦定理得，，
又，所以．
（2）因为，，所以，，
在中，由正弦定理得，，即，
所以．
16．（1）取中点，连接.
因为为中点，
所以为的中位线，
所以且.
在正方形中，为中点，
所以且，
所以且，
所以四边形是平行四边形.
所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）由于平面平面，平面平面，平面平面.
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则有.
设平面的法向量，
，所以，不妨令，得，
得；
又，
设直线与平面夹角为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为.
17．（1）当时，，
则，
令，，
，或，单调递增，
，，单调递减，
当时，取得极大值，，
当时，取得极小值，，
因此的极大值为，的极小值为.
（2）函数，
令，即，
因为，所以，即
令，
则函数有两个零点转化为直线与曲线有两个交点.
又，
因为恒成立，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，.
当，，，，
当，，，，
要使直线与曲线有两个交点，则，
的取值范围为.
18．（1）由题意可得，即，
由离心率，所以.
故椭圆方程为：.
（2）由（1）左顶点 ，直线 倾斜角为，斜率，
故直线方程为 ，
联立椭圆方程消去得： ，
又，由韦达定理，得 ，
由弦长公式得：
（3）如图，作出符合题意的图形，
由题意可知直线：与椭圆交于,，
设，，，，
与椭圆联立方程，消去可得.
则，，
根据，可得，即，
整理得：，
即，
可得：，
因为，为常数，则不恒成立，
则，解得.
19．（1）已知第1天一定晨跑，故，
第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故，
第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为，
②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故.
（2）由题意得，时，第天晨跑的事件可分为两种互斥情况：其一是第天晨跑且第天晨跑，其概率为；其二是第天不晨跑且第天晨跑（这意味着第天必须晨跑），其概率为，
所以，即，则，
所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，则，，，，
所以．
（3）记小明前天中，第天晨跑的次数为．
由题意得，服从两点分布，且，因为，且对于离散型随机变量，都有，
所以
.

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