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泉州一中 2026 届高三数学适应性训练 2026..3.27
本试卷共 19 题，满分 150 分，共4 页．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数 的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，已知 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5．已知 ，则 （ ）
A．5 B． C．-5 D．
6．已知直线 与焦点为 的抛物线 相交于 ， 两点，且 ，线段
的中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．设复数 满足 ，则以下错误的是（ ）
A． B．存在复数 ，使得 为纯虚数
C．存在 ，关于 的方程 有解 D．若复数 满足 ，则 的最小值为
8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的 1个黑球和 2个红球.现从两个盒子中各任取一个
球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行 次操作后，甲盒子中恰有 0个黑球，1个黑球，2个
黑球分别记为事件 ， ， ，则以下错误的是（ ）
1
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分．
9．已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 5，方差为 2，则该组数据的（ ）
A．极差可能为 1 B．众数可能为 5
C．中位数可能为 5 D．第 百分位数可能为 3
10．在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， 面积的最大值为 1 D．当 为锐角三角形时， 的取值范围是
11．如图，已知正方体 的棱长为 是侧面 内的一个动点（含边界）， 分别是
的中点，设 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若点 在平面 内，则
B．当 取得最小值时，
C．若 ，则 的取值范围是
D．若点 在三棱锥 的外接球面上，则 的取值范围是
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12． 的展开式中 的系数为___________.
13．函数 在区间 上的极值点构成的集合为 ．
14．已知盒子中共有 8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为 2，2，
4，随机变量 X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则 X的数学期望为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
已知函数 .
（1）直线 过点 且与曲线 相切，求直线 方程；
试卷第 1页，共 3页
（2）已知 在导函数 的图象上，以点 为圆心的 与 轴都相切，且 与
彼此外切.若 ，且 ，求数列 的前 项之和 .
16．（本小题满分 15分）
如图，直三棱柱 中， ， ．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
3
17．（本小题满分 15分）
已知 .
(1)当 时，求函数的 的极值；
(2)设 ，是否存在 ，使得曲线 与 关于原点对称？若存在，求 ；若不存在，说明
理由；
(3)证明：对任意 ，存在 ，使得 有两个不同的零点.
【分析】（1）把 代入，求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）假定存在，求出曲线 关于原点对称的曲线方程，再利用两个函数相等求解.
（3）求出 ，探讨二次函数 的零点并确定 的单调性，再利用零点存在性
定义推理判断.
18．（本小题满分 17分）
作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自 2025年 9月开赛以来，凭借 14个地级市对抗的独特
赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了 500名居民，
其中男性居民与女性居民的人数比为 ，在抽取的男性居民中，有 的人观看了这场湘超联赛，在抽取
的女性居民中，有 100人没有观看这场湘超联赛.
(1)在样本中，随机抽取 5人，记 5人中观看了这场湘超联赛的人数为 X，求 X的期望值；
(2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取 5人，求
恰有 2人观看了这场湘超联赛的概率；
(3)现定义： ，其中 A，B是随机事件，从这 500人中任选 1人，M表示“居民观看了这场
湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标 ，
请利用样本数据求出 k的值.
19．（本小题满分 17分）
双曲线 ，射线 和射线 分别
与 交于点 和点 ．
（1）求双曲线 的离心率；
试卷第 1页，共 3页
（2）作射线 （异于 与 分别交于点 ，记 的面积为
．
①求证： ；
②若 ，且 ，记 ，证明： ．
5
泉州一中 2026 届高三数学适应性训练 2026..3.27
本试卷共 19 题，满分 150 分，共4 页．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【详解】依题意， ，即 ， 或 ，
解得 或 或 ，则 中元素的个数为 3．
2．函数 的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由 ，可得 ，
即函数 的对称中心为 ，
结合各选项，可知仅 满足题意，故 B正确，A，C，D均错误.故选：B.
3．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于 A，取 ，满足 ，而 ，A错；
对于 B，取 ，满足 ，而 ，B错；
对于 C，D，将原不等式移项变形得： ，
构造函数 ，由解析式可知 在定义域上单调递增，
原不等式等价于 ，则 ，
则 ， ，
即 ， ，故 C错，D对.
试卷第 1页，共 3页
4．在 中，已知 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先根据数量积公式确定 的形状，再代入投影向量的公式.
【详解】 两边平方得 ，即 ，
又 两边平方得 ，
即 ，即 ，
如图， ，向量 与 的夹角为 ，
所以向量 在 上的投影向量为 .
5．已知 ，则 （ ）
A．5 B． C．-5 D．
【答案】D
【详解】已知 ，可变形为 .
因为 ， ，所以 .
左边 ，
即 .右边 ，
即 .
所以 .
可得： .
即 .所以 ，也就是 . 故选：D.
6．已知直线 与焦点为 的抛物线 相交于 ， 两点，且 ，线段 的中点 到抛
物线 的准线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
7
【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得 ，结合 计算即可
求解．
【详解】设 ，过点 M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，
则 ，如图，因为点 A为线段 的中点，所以点 A到抛物线 C的
准线的距离为 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，即 的最小值为 ．
7．设复数 满足 ，则以下错误的是（ ）
A． B．存在复数 ，使得 为纯虚数
C．存在 ，关于 的方程 有解 D．若复数 满足 ，则 的最小值为
【答案】D
【分析】设 ，利用椭圆定义可得点 的轨迹为椭圆，从而可得复平面内该点轨迹方程；
借助椭圆方程与距离公式计算可得 A；利用纯虚数定义，结合椭圆方程计算可得 B；利用复数性质，结合
椭圆方程计算可得 C；由题意可得复数 在复平面内的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，则可利用椭
圆方程计算出椭圆上的点到 的距离的最小值，再减去半径即可得解.
【详解】设 ，则 ，
即有 ，
即在复平面内点 到点 与点 的距离之和为 ，
故点 的轨迹为椭圆，由 ， ，则椭圆方程为 ；
试卷第 1页，共 3页
对 A： ，故 A正确；
对 B： ，要使得 为纯虚数，
则 且 ，则 ，解得 ，
有解，故存在复数 ，使得 为纯虚数，故 B正确；
对 C： ，则 ， ，即有 ，
解得 ，则存在 ，使得关于 的方程 有解，故 C正确；
对 D：由复数 满足 ，则复数 在复平面内的轨迹为以 为圆心，
为半径的圆，则椭圆 上的点到该圆圆心的距离为：
，则 的最小值为 ，故 D错误.
8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的 1个黑球和 2个红球.现从两个盒子中各任取一个
球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行 次操作后，甲盒子中恰有 0个黑球，1个黑球，2个
黑球分别记为事件 ， ， ，则以下错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】初始时，甲盒有 1黑 2红，乙盒有 1黑 2红.
选项 A：一次操作后，甲盒恰有 1黑球（事件 ）的情况：
从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑.
甲取红的概率为 ，乙取红的概率为 ；甲取黑的概率为 ，乙取黑的概率为 .
故 ，A正确.
选项 B： 表示“第二次操作后甲盒有 1黑球的前提下，
第一次操作后甲盒有 0黑球”的概率.
第一次操作后甲盒有 0黑球（ ）：甲取黑、乙取红，概率 .
第二次操作后甲盒有 1黑球（ ）的情况：若 发生，甲盒 0黑 3红，乙盒 2黑 1红，
9
此时从甲取红、乙取黑的概率为 ，故 .
若 发生，甲盒 1黑 2红，乙盒 1黑 2红，此时 （同 ）.
若 发生，甲盒 2黑 1红，乙盒 0黑 3红，此时 （甲取黑、乙取红的概率为 ）.
由全概率公式： .
由条件概率公式： ，B错误.
选项 C： 表示“第一次操作后甲盒有 0黑球，或第二次操作后甲盒有 1黑球”的概率.
由概率的加法公式： .
其中 .
代入得： ，C正确.
选项 D：递推关系： .
整理为： .初始值 ，故 .
因此 ，即 ，D正确.故选：B．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分．
9．已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 5，方差为 2，则该组数据的（ ）
A．极差可能为 1 B．众数可能为 5
C．中位数可能为 5 D．第 百分位数可能为 3
【答案】BC
【分析】对于 BC：举例说明即可. 令 ， ，对于 A：假设极差为 1，可得 ，
，进而分析判断；对于 D：根据百分位数可得 ，进而可得 ，
， ，结合基本不等式分析判断即可.
【详解】对于选项 BC：例如 满足平均数为 5，方差为 2，
且众数、中位数均为 5，符合题意，故 BC正确；
令 ， ，
试卷第 1页，共 3页
不妨设 ，
则 ，且 ， ，
对于选项 A：假设极差为 1，即 ，则 ， ，
可得 ，这与 相矛盾，
假设不成立，所以极差不可能为 1，故 A错误；
对于选项 D：因为 ，则第 分位数为 ，
则 ，可得 ， ， ，
因为 ， ， ，
当且仅当 时，等号成立，
则 ，可得 ，
即 ，这与 相矛盾，
假设不成立，所以第 分位数不可能为 3，故 D错误.
10．在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， 面积的最大值为 1 D．当 为锐角三角形时， 的取值范围是
【答案】AD
【分析】对于选项 A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项 B，将 代入
余弦定理可得 ，再次通过余弦定理即可求出 ；对于选项 C，利用三角形面积公式 结
合基本不等式即可；对于选项 D，通过正弦定理将 表示为关于 的三角函数，结合三角函数的性质即可
求解；
【详解】对于 A选项，由正弦定理， ， 是 的外接圆的半径，
代入条件得 ，由余弦定理， ，
又 ，故 ，故 A正确；
对于 B选项，将 代入 ，得 ，
由余弦定理， ，故 ，B错误；
11
对于 C选项，若 ，由基本不等式可得 的面积 ，
当且仅当 时取等号，故 面积的最大值为 ，C错误；
对于 D选项，由 ，得 ，
由 ，得 ，又 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，所以 ，故 .D正确.
11．如图，已知正方体 的棱长为 是侧面 内的一个动点（含边界）， 分别是
的中点，设 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若点 在平面 内，则
B．当 取得最小值时，
C．若 ，则 的取值范围是
D．若点 在三棱锥 的外接球面上，则 的取值范围是
【答案】AC
【分析】利用空间向量的坐标运算来判断 A，利用空间向量的数量积运算来判断 B，利用空间两点间距离
公式可求得动点 的轨迹方程，通过方程来求范围，从而可判断 C,利用长方体的外接球来判断三棱锥外接
球的球心，然后借助球的方程来求参数范围，即可判断 D.
【详解】
我们如图建立空间直角坐标系，设 ， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
由正方体的棱长为 2，可得各点坐标： ， ， ， ，
对于 A， 由 ，则点 （ ），
可设平面 的法向量为 ，
由于 ， ，
试卷第 1页，共 3页
则 ，令 ，则 ，
则 ，由点 在平面 内，则 ，
即 ，则 ，故 A正确；
对于 B，由 ， ，
，
当 时， 取到最小值，不是 ，故 B错误；
对于 C，由 ，代入点 ， ，
可得 ，
平方得： ，
再平方得：
所以 的轨迹是椭圆，因为 ，所以
，
则 ，即 ，故 C正确；
对于 D，取 的中点分别为 ，由 分别是 的中点，可知长方体 的
外接球就是三棱锥 的外接球，由于长方体 的外接球球心为 ，且
则外接球半径为 ，
所以三棱锥 的外接球方程为： ，
将点 代入外接球方程，展开整理：
因为左边 （ ），因此右边满足：
解不等式 得： ，
13
解不等式 得： 或 ，
结合 ，可得 的范围为 ，故 D错误.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12． 的展开式中 的系数为___________.
【答案】90
【详解】 的展开式的通项为 ， ，
当 时， ，
此时只需乘第一个因式 中的 即可，得到 ；
当 时， ，
此时只需乘第一个因式 中的 即可，得到 ．
据此可得 的系数为 ．
13．函数 在区间 上的极值点构成的集合为 ．
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，可得 或 ，因为 ，可得 ，
当 时， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ，所以 ， 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ，所以 ， 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，
所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
在 上递增，在 上递减，在 上递增，
其中 两侧函数的单调性相同，可得 不是函数 的极值点，
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所以 在区间 的极值点为 ，共有 4个.
14．已知盒子中共有 8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为 2，2，
4，随机变量 X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则 X的数学期望为________．
【答案】6
【分析】由题意得到随机变量 的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得.
【详解】由题意可得随机变量 的可能取值为 2,3,4,5,6,7,8，
其概率为 ， ，
所以期望
．
四、解答题：本题共 5 小题，共77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
已知函数 .
（1）直线 过点 且与曲线 相切，求直线 方程；
（2）已知 在导函数 的图象上，以点 为圆心的 与 轴都相切，且 与
彼此外切.若 ，且 ，求数列 的前 项之和 .
【答案】（1） （2）
【分析】（1）设切点坐标为 ，根据导数的几何意义可得切线方程为 ，代入点
可得 ，即可得结果；
（2）根据题意可知 的圆心和半径，结合两圆外切可知数列 是以首项 ，公差 的等差
数列，结合裂项相消法求解即可.
【小问 1详解】
因为 ，则 ，………………………………1分
15
设切点坐标为 ，则切线斜率 ，
可得切线方程为 ，即 ，………………………………1分
代入点 可得 ，解得 ，………………………………1分
所以直线 方程为 .………………………………1分
【小问 2详解】
由（1）可知： ，则 ，
由题意可知： 的圆心为 ，半径 ，………………………………1分
因为 与 外切，则 ，………………………………1分
可得 ，且 ，………………………………1分
整理可得 ，即 ，………………………………1分
可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，………………………………1分
则 ，即 ，………………………………1分
则 ，………………………………1分
所以 .…………………………2分
16．（本小题满分 15分）
如图，直三棱柱 中， ， ．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
试卷第 1页，共 3页
【分析】（1）设 ，证明 ，通过线面垂直的判定定理证明 面 ，由
线面垂直的性质定理得到 ，再由 得到 平面 ，从而得以证明.
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，然后利用向量法求解即可.
【详解】（1）不妨设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，………………………………1分
因为棱柱 为直三棱柱，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，………………………………1分
又 ，所以 平面 ，………………………………1分
因为 ，所以 ，………………………………1分
因为四边形 为正方形，所以 ，又 ，所以 平面 ，……………1分
因为 平面 ，所以 .………………………………1分
（2）设 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设 分别为面 的法向量，则 ，即 ，
取 ，则 ，所以 ，………………………………3分
设 分别为平面 的法向量，则 ，
即 ，取 ，则 ，
则 ，………………………………3分
所以 ，………………………………2分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .………………………………1分
17
17．（本小题满分 15分）
已知 .
(1)当 时，求函数的 的极值；
(2)设 ，是否存在 ，使得曲线 与 关于原点对称？若存在，求 ；若不存在，说明
理由；
(3)证明：对任意 ，存在 ，使得 有两个不同的零点.
【分析】（1）把 代入，求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）假定存在，求出曲线 关于原点对称的曲线方程，再利用两个函数相等求解.
（3）求出 ，探讨二次函数 的零点并确定 的单调性，再利用零点存在性
定义推理判断.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，………………………1分
求导得 ，………………………………1分
令 得 ，
列表………………………………1分
得 有极大值 ，………………………………1分
无极小值；………………………………没写扣 1 分
（2）若存在 ，则 ， ，
曲线 ，………………………………1分
又曲线 关于原点对称的函数为 ，………………………………1分
依题意， ，整理得 ，………………………………1分
所以 .………………………………1分
（3）函数 的定义域为 ，
求导得 ，………………………………1分
令 ，依题意， ，…………………………1分
方程 在 上有唯零点 ，当 时， ， ；
当 时， ， ，函数 在 上递增，在 上递减，…………………1分
试卷第 1页，共 3页
对任意 ，存在 使得 ，则 ，………………………………1分
而 ，对任意 ，
取 ， ，
由 在 上递增，得 ，………………………………1分
又当 从大于 0的方向趋近于 0时， ；当 时， ，………………………1分
则对任意 ，任意 ，使得 有两个不同的零点，
所以对任意 ，存在 ，使得 有两个不同的零点.………………………………1分
19
18．（本小题满分 17分）
作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自 2025年 9月开赛以来，凭借 14个地级市对抗的独特
赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了 500名居民，
其中男性居民与女性居民的人数比为 ，在抽取的男性居民中，有 的人观看了这场湘超联赛，在抽取
的女性居民中，有 100人没有观看这场湘超联赛.
(1)在样本中，随机抽取 5人，记 5人中观看了这场湘超联赛的人数为 X，求 X的期望值；
(2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取 5人，求
恰有 2人观看了这场湘超联赛的概率；
(3)现定义： ，其中 A，B是随机事件，从这 500人中任选 1人，M表示“居民观看了这场
湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标 ，
请利用样本数据求出 k的值.
【答案】(1)3(2) (3)
【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这
场湘超联赛的人数，用频率估计概率，由于样本总量远大于抽样个数，可以近似认为 X服从二项分布
，根据期望值公式运算即可得出结论；
（2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，分别求出男性和女性的观看概率，利用离散型随
机变量的概率分别求出“恰有 2人观看”包含的 3种情况的概率即可.
（3）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可；
【详解】（1）由题意得，样本中男性居民与女性居民的人数分别为 300人，200人，
在 300名男性居民中，有 200人观看了这场湘超联赛，在 200名女性居民中，有 100人观看了这场湘超联
赛，所以样本中，观看了这场湘超联赛的频率为 .………………………………2分
用频率估计概率，在样本中，随机抽取 5人，记 5人中观看了这场湘超联赛的人数为 X，X服从二项分布，
即 ，………………………………1分
故期望值 .………………………………1分
（2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，………………………………1分
男性观看概率： ，女性观看概率： ，………………………………1分
试卷第 1页，共 3页
“恰有 2人观看”包含 3种情况：
男性 2 人、女性 0 人： ，…………………………1分
男性 1 人、女性 1 人： ，…………………………1分
男性 0 人、女性 2 人： ，………………………1分
所以，恰有 2人观看了这场湘超联赛的概率： .………………………………1分
（3）因为 ………………………………1分
………………………………1分
所以 .………………………………1分
因为 ………………………………1分
………………………………1分
所以 .………………………………1分
所以 .………………………………1分
21
19．（本小题满分 17分）
双曲线 ，射线 和射线 分别
与 交于点 和点 ．
（1）求双曲线 的离心率；
（2）作射线 （异于 与 分别交于点 ，记 的面积为
．
①求证： ；
②若 ，且 ，记 ，证明： ．
【小问 1详解】
双曲线 ，-----------1 分
双曲线 离心率 .-----------3 分
【小问 2详解】
① 证明：由题意将 与双曲线联立， ，化简得 ，
，
，同理将 与双曲线联立， ，同理可得 ，
-----------5 分
-----------6 分
试卷第 1页，共 3页
同理
， ， ．-----------8 分
② 由（1）可知，当 时， 且 ，-
-------10 分
直线 方程为： ，且 ，
则 到 的距离 ，
，--------13 分
令 ，则
，
令 ，解得 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递增，
， ，--------15 分
又因为 时， ，
23
．
从而可证 ．--------17 分
试卷第 1页，共 3页

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