资源简介

重庆市数据谷中学 2025-2026学年八年级下学期数学周测 4月 19日
一．A卷（19小题，满分 100分）（共 19小题，满分 100分）
1．（4分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）
A．x2＝﹣2
B．ax2+bx+c＝0（其中 a、b、c是常数）
C．
D．（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣1
3．（4分）下列等式从左到右变形，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）若 x2﹣x+k是一个完全平方式，则 k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
第 1页（共 27页）
A．当 AC＝BD时，四边形 ABCD是矩形
B．当 AC⊥BD时，四边形 ABCD是正方形
C．当 AB＝BC时，四边形 ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形 ABCD是矩形
6．（4分）根据下表得知估算一元二次方程 x2+2x﹣10＝0的一个根的范围是（ ）
x … ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 ﹣4.5 ﹣4.6 …
x2+2x﹣ … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 1.96 …
10
A．﹣4.2＜x＜﹣4.1 B．﹣4.3＜x＜﹣4.2
C．﹣4.5＜x＜﹣4.4 D．﹣4.4＜x＜﹣4.3
7．（4分）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为 150km，因道路
维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为 160km，大巴车的平均速度降低为原计划的 ，最终行
程用时比原计划多了 28min．设大巴车原计划的平均速度为 xkm/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）关于 x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为 0，则 m的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
9．（4分）如图，在矩形 ABCD中，连接 AC，E是 AD上一点，连接 CE，CA平分∠BCE．若 CD＝4，AE
＝5，则线段 AC的长度为（ ）
A．6 B． C．8 D．
10．（4分）如图， ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，点 E是 BC的中点，且∠BCD＝120°，
第 2页（共 27页）
，连接 OE．给出下列 4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③
；④若 AB＝3，则 ，上述结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（4分）若式子 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
12．（4分）已知 x＝m是一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式 2026﹣m2+m的值是 ．
13．（4分）若一个正多边形的每个内角比每个外角的 2倍还大 45°，则该正多边形的边数为 ．
14．（4分）如图，菱形 ABCD的面积为 24，对角线 AC，BD相交于点 O，且 AC＝6，过点 D作 AC的平
行线交 BC的延长线于点 E，连接 OE，则 OE的长为 ．
15．（8分）解不等式（或不等式组），并把解集表示在数轴上．
（1） ；
（2） ．
16．（8分）先化简，再求值： （1 ），其中 a是不等式 a a的最大整数
解．
17．（10分）本学期开始，渝北区某中学对该校八年级学生进行了体育训练．为了解他们的训练效果，从
该年级中各随机抽取了相同人数的男、女生进行跳绳测试，设被测试的每一位同学跳绳个数为 x个，测
试结果分为了四个等级：A（x≥200），B（185≤x＜200），C（170≤x＜185），D（x＜170），并对数据
进行了整理、描述和分析，给出了以下部分信息：
①男生成绩频数分布表和女生成绩扇形统计图如下：
男生成绩频数分布表
第 3页（共 27页）
等级 频数 频率
A 10 0.2
B 18 0.36
C a b
D 10 0.2
合计 c 1.0
②女生 B组中全部 19名学生的成绩为：185，185，185，186，186，187，188，189，189，189，189，
189，190，191，191，192，194，194，196
③两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
性别 平均分 中位数 众数 方差
男生 186 190 193 87.2
女生 184 d 189 50.4
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝ ，d＝ ，α＝ °；
（2）在此次跳绳测试中，你认为是男生还是女生的训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八年级有 1200人（其中男女生人数相等）即将参加体育期末测试，规定跳绳成绩在 185
个及其以上为满分，请预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数．
18．（8分）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D，点 E为直线 AD上一点，连接 BE，CE．用直尺和
圆规，在 BC的上方作∠CBF，使得∠CBF＝∠BCE，射线 BF交直线 AD于点 F，此时点 F是点 E关于
直线 BC的对称点，连接 CF．
小明想要研究四边形 BFCE的形状，请根据他的思路完成以下填空：
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
第 4页（共 27页）
∴BD＝ ①．
又∵∠CBF＝∠BCE，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌CDE，
∴BF＝ ②．
∵∠CBF＝∠BCE，
∴ ③．
∴四边形 BFCE是平行四边形．
又∵EF⊥BC，
∴四边形 BFCE是菱形．
小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边
形 ④．
19．（10分）端午节是中华民族的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．端午节前夕，某商店准备购进
A，B两种粽子，A种粽子每件的进价比 B种粽子每件的进价多 5元，用 750元购进 A种粽子和用 600
元购进 B种粽子的件数相同．
（1）求 A种粽子每件的进价和 B种粽子每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过 1320元的资金购进 A，B两种粽子共 60件，其中 B种粽子的数量不超过 A种
粽子数量的 2倍，该商店有几种进货方案？
（3）商店将 A种粽子每件的售价定为 40元，B种粽子每件的售价定为 32元，并计划在端午节期间开
展优惠促销活动，对每件 A种粽子售价优惠 2元，B种粽子售价不变，在（2）的条件下，要使销售完
这 60件粽子获总利润最大，应如何进货？
二．B卷（共 8小题，满分 50分）
第 5页（共 27页）
20．（4分）在正方形 ABCD中，G为 BC边上一点，连接 AG交 BD于点 H，过点 H作 AG的垂线交 CD
于点 E，连接 AE、EG，若∠DAE＝α，则∠EGC的度数是（ ）
A．90°﹣2α B．90°﹣α C．2α D．67.5°﹣α
21．（4分）已知关于 x，y，z的单项式 xm，yn，zk，其中 x，y，z均不为 0，m，n，k均为正整数，规定 P
＝xm+yn+zk， ，下列说法，正确的个数为（ ）
①当 x＝y＝z＝﹣1时，代数式 的值共有 3种不同的结果；
②当多项式 P的次数为 2时，满足条件的多项式 P一共有 7个；
③当 m+n+k＝5时，所有满足条件的 Q的和恒为正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（4分）关于 x的一元一次不等式组 至少有 2个整数解，且关于 y的分式方
程 的解为非负整数，则符合条件的整数 m的值之和为 ．
23．（4分）如图，在平行四边形 ABCD中，M、N分别是边 AD、BC上动点．将四边形MNCD沿直线MN
折叠，点 D的对应点 D′恰好落在边 AB上，C的对应点为 C′，连接 DN、DD′，其中 DD′交 MN
于点 P．若 AB＝6，AD＝10，∠ADC＝2∠NDD′＝60°，则MP的长度为 ．
24．（4分）对于一个四位自然数 M，若它的千位数字比个位数字多 6，百位数字比十位数字多 2，则称 M
为“天真数”．如：四位数 7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数 8421，∵8﹣1≠
6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为 a，
第 6页（共 27页）
百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记 P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5；若 能
被 8整除，则满足条件的 M的最大值为 ．
25．（10分）如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，CD＝CB＝4，AB＝6，点 E从点 D出发，
以每秒 1个单位的速度沿折线 D→C→B方向运动，点 F从点 A出发，以每秒 个单位的速度沿 A→B
方向运动，到点 B后以每秒 1个单位的速度沿 B→C方向运动；当两者相遇时停止运动．设运动时间为
x秒，△AEF的面积为 y．
（1）请直接写出 y关于 x的函数表达式并注明自变量 x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出△AEF面积大于 6时，x的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，OA＝1，
，直线 交直线 AB于点 C．
（1）求直线 AB的解析式及 C点的坐标；
（2）如图 1，P为直线 OC上一动点且在第一象限内，M、Q为 x轴上动点，Q在 M右侧且 ，
当 时，求 PQ+QM+MA最小值；
（3）如图 2，将△AOB沿着射线 CO方向平移，平移后 A、O、B三点分别对应 D、E、F三点，直线
AB上是否存在 N点，使得△EFN为等腰直角三角形，若存在，请直接写出 N点坐标；若不存在，请说
明理由．
第 7页（共 27页）
27．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D是△ABC所在平面内一点，连接 AD．
（1）如图 1，若点 D在△ABC内，连接 BD，AD平分∠BAC，∠CBD＝15°， ，求 AB的长；
（2）如图 2，点 D在 AB边的左侧，连接 BD，CD，∠ADB＝45°，点 E是线段 CD的中点，连接 AE，
求证： ；
（3）如图 3，若 AC＝4，点 D从点 B移动到点 C的过程中，将线段 AD绕点 D顺时针旋转 90°，得到
线段 DM，连接 AM，点 K是 BC边上靠近点 C的四等分点，连接 KM，BM，点 N为直线 AD上一动点，
连接MN，当线段 KM取最小值时，将△ANM沿直线 NM翻折得到△HNM，连接 BH，请直接写出线段
BH的最大值．
第 8页（共 27页）
重庆市数据谷中学 2025-2026学年八年级下学期数学周测 4月 19日参考答案与
试题解析
一．选择题（共 12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
答案 C A D A B D D A D C A
题号 21
答案 D
一．A卷（19小题，满分 100分）（共 19小题，满分 100分）
1．（4分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（C）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（A）
A．x2＝﹣2
B．ax2+bx+c＝0（其中 a、b、c是常数）
C．
D．（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣1
第 9页（共 27页）
3．（4分）下列等式从左到右变形，正确的是（D）
A． B．
C． D．
4．（4分）若 x2﹣x+k是一个完全平方式，则 k的值为（A）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，四边形 ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（B）
A．当 AC＝BD时，四边形 ABCD是矩形
B．当 AC⊥BD时，四边形 ABCD是正方形
C．当 AB＝BC时，四边形 ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形 ABCD是矩形
6．（4分）根据下表得知估算一元二次方程 x2+2x﹣10＝0的一个根的范围是（D）
x … ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 ﹣4.5 ﹣4.6 …
x2+2x﹣ … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 1.96 …
10
A．﹣4.2＜x＜﹣4.1 B．﹣4.3＜x＜﹣4.2
C．﹣4.5＜x＜﹣4.4 D．﹣4.4＜x＜﹣4.3
7．（4分）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为 150km，因道路
维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为 160km，大巴车的平均速度降低为原计划的 ，最终行
程用时比原计划多了 28min．设大巴车原计划的平均速度为 xkm/h，则可列方程为（D）
A． B．
C． D．
8．（4分）关于 x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为 0，则 m的值是（A）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
9．（4分）如图，在矩形 ABCD中，连接 AC，E是 AD上一点，连接 CE，CA平分∠BCE．若 CD＝4，AE
第 10页（共 27页）
＝5，则线段 AC的长度为（D）
A．6 B． C．8 D．
10．（4分）如图， ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，点 E是 BC的中点，且∠BCD＝120°，
，连接 OE．给出下列 4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③
；④若 AB＝3，则 ，上述结论正确的有（C）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（4分）若式子 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 x≥2且 x≠3 ．
12．（4分）已知 x＝m是一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式 2026﹣m2+m的值是 2025 ．
13．（4分）若一个正多边形的每个内角比每个外角的 2倍还大 45°，则该正多边形的边数为 八 ．
14．（4分）如图，菱形 ABCD的面积为 24，对角线 AC，BD相交于点 O，且 AC＝6，过点 D作 AC的平
行线交 BC的延长线于点 E，连接 OE，则 OE的长为 ．
15．（8分）解不等式（或不等式组），并把解集表示在数轴上．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
第 11页（共 27页）
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集是：x≤1，
；
（2）去分母得：3﹣2x＝x﹣2，
解得：x ，
检验：把 x 代入最简公分母得：2（x﹣2）≠0，
则原方程的解是 x ．
16．（8分）先化简，再求值： （1 ），其中 a是不等式 a a的最大整数
解．
【解答】解：原式

，
不等式 a a，解得：a≤5，即 a＝5，
当 a＝5时，原式 3．
17．（10分）本学期开始，渝北区某中学对该校八年级学生进行了体育训练．为了解他们的训练效果，从
该年级中各随机抽取了相同人数的男、女生进行跳绳测试，设被测试的每一位同学跳绳个数为 x个，测
试结果分为了四个等级：A（x≥200），B（185≤x＜200），C（170≤x＜185），D（x＜170），并对数据
进行了整理、描述和分析，给出了以下部分信息：
①男生成绩频数分布表和女生成绩扇形统计图如下：
男生成绩频数分布表
等级 频数 频率
A 10 0.2
B 18 0.36
第 12页（共 27页）
C a b
D 10 0.2
合计 c 1.0
②女生 B组中全部 19名学生的成绩为：185，185，185，186，186，187，188，189，189，189，189，
189，190，191，191，192，194，194，196
③两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
性别 平均分 中位数 众数 方差
男生 186 190 193 87.2
女生 184 d 189 50.4
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝ 12 ，d＝ 185 ，α＝ 43.2 °；
（2）在此次跳绳测试中，你认为是男生还是女生的训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八年级有 1200人（其中男女生人数相等）即将参加体育期末测试，规定跳绳成绩在 185
个及其以上为满分，请预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数．
【解答】解：（1）10÷0.2＝50（人），
b＝1﹣0.2﹣0.36﹣0.2＝0.24，
∴a＝50×0.24＝12，
女生 B组的百分比为：19÷50×100%＝38%，
女生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 185，
因此女生的中位数 d＝185，
女生 D组的百分比为：1﹣14%﹣38%﹣36%＝12%，
∴α＝360°×12%＝43.2°，
第 13页（共 27页）
故答案为：12，185，43.2；
（2）男生的训练效果更好，
理由：男生的跳绳个数的平均数，中位数、众数均比女生的高；
（3）1200 648（人），
答：预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数有 648人．
18．（8分）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D，点 E为直线 AD上一点，连接 BE，CE．用直尺和
圆规，在 BC的上方作∠CBF，使得∠CBF＝∠BCE，射线 BF交直线 AD于点 F，此时点 F是点 E关于
直线 BC的对称点，连接 CF．
小明想要研究四边形 BFCE的形状，请根据他的思路完成以下填空：
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD①．
又∵∠CBF＝∠BCE，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌CDE，
∴BF＝CE②．
∵∠CBF＝∠BCE，
∴BF∥CE③．
∴四边形 BFCE是平行四边形．
又∵EF⊥BC，
∴四边形 BFCE是菱形．
小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边
形 是菱形 ④．
第 14页（共 27页）
【解答】证明：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD①．
又∵∠CBF＝∠BCE，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌CDE，
∴BF＝CE②．
∵∠CBF＝∠BCE，
∴BF∥CE③．
∴四边形 BFCE是平行四边形．
又∵EF⊥BC，
∴四边形 BFCE是菱形．
小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．可得下面命题：在等腰三角形中，以两底角顶点，
底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形是菱形④．
故答案为：CD，CE，BF∥CE，是菱形．
19．（10分）端午节是中华民族的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．端午节前夕，某商店准备购进
A，B两种粽子，A种粽子每件的进价比 B种粽子每件的进价多 5元，用 750元购进 A种粽子和用 600
元购进 B种粽子的件数相同．
（1）求 A种粽子每件的进价和 B种粽子每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过 1320元的资金购进 A，B两种粽子共 60件，其中 B种粽子的数量不超过 A种
粽子数量的 2倍，该商店有几种进货方案？
（3）商店将 A种粽子每件的售价定为 40元，B种粽子每件的售价定为 32元，并计划在端午节期间开
展优惠促销活动，对每件 A种粽子售价优惠 2元，B种粽子售价不变，在（2）的条件下，要使销售完
这 60件粽子获总利润最大，应如何进货？
第 15页（共 27页）
【解答】解：（1）设 B种粽子的进价为每件 x元，则 A种粽子的进价为每件（x+5）元，
由题意得： ，
解得：x＝20，
经检验 x＝20是原方程的解，
∴x+5＝25，
答：A种粽子每件的进价和 B种粽子每件的进价分别为 25元、20元；
（2）设 A粽子进货 a件，则 B粽子进货（60﹣a）件，
由题意得： ，
解得：20≤a≤24，
∵a为正整数，
∴a的取值可能为 20、21、22、23、24，
∴该商品有 5种进货方案；
（3）设销售 A，B两种粽子共获利 w元，
由题意得：w＝（40﹣25﹣2）a+（32﹣20）（60﹣a）＝a+720，
∵1＞0，
∴w随 a的增大而增大，
∴当 a＝24时获利最大，此时 w 最大＝24+720＝724，
∴A种粽子进货 24件，B种粽子进货 36件，可最多获利 744元．
二．B卷（共 8小题，满分 50分）
20．（4分）在正方形 ABCD中，G为 BC边上一点，连接 AG交 BD于点 H，过点 H作 AG的垂线交 CD
于点 E，连接 AE、EG，若∠DAE＝α，则∠EGC的度数是（A）
A．90°﹣2α B．90°﹣α C．2α D．67.5°﹣α
21．（4分）已知关于 x，y，z的单项式 xm，yn，zk，其中 x，y，z均不为 0，m，n，k均为正整数，规定 P
第 16页（共 27页）
＝xm+yn+zk， ，下列说法，正确的个数为（D）
①当 x＝y＝z＝﹣1时，代数式 的值共有 3种不同的结果；
②当多项式 P的次数为 2时，满足条件的多项式 P一共有 7个；
③当 m+n+k＝5时，所有满足条件的 Q的和恒为正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（4分）关于 x的一元一次不等式组 至少有 2个整数解，且关于 y的分式方
程 的解为非负整数，则符合条件的整数 m的值之和为 2 ．
23．（4分）如图，在平行四边形 ABCD中，M、N分别是边 AD、BC上动点．将四边形MNCD沿直线MN
折叠，点 D的对应点 D′恰好落在边 AB上，C的对应点为 C′，连接 DN、DD′，其中 DD′交 MN
于点 P．若 AB＝6，AD＝10，∠ADC＝2∠NDD′＝60°，则 MP的长度为 ．
24．（4分）对于一个四位自然数 M，若它的千位数字比个位数字多 6，百位数字比十位数字多 2，则称 M
为“天真数”．如：四位数 7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数 8421，∵8﹣1≠
6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 6200 ；一个“天真数”M的千位数字为 a，百
位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记 P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5；若 能
被 8整除，则满足条件的 M的最大值为 9973 ．
25．（10分）如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，CD＝CB＝4，AB＝6，点 E从点 D出发，
以每秒 1个单位的速度沿折线 D→C→B方向运动，点 F从点 A出发，以每秒 个单位的速度沿 A→B
方向运动，到点 B后以每秒 1个单位的速度沿 B→C方向运动；当两者相遇时停止运动．设运动时间为
x秒，△AEF的面积为 y．
第 17页（共 27页）
（1）请直接写出 y关于 x的函数表达式并注明自变量 x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出△AEF面积大于 6时，x的取值范围．
【解答】解：（1）①0≤x≤4，
由题意得：AF x，
∴y x×4＝3x；
②4＜x≤6，
点 F走到点 B处时需要的时间为：6 4（秒），
∴EF＝BC﹣EC﹣BF
＝4﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）
＝12﹣2x，
∴y 6×（12﹣2x）＝﹣6x+36，
第 18页（共 27页）
∴y ；
（2）
当 x＝4时，y有最大值 12或当 0≤x≤4时，y随 x的增大而增大（答案不唯一，写出一条性质即可）；
（3）△AEF面积大于 6时，2＜x＜5．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与 x轴交于点 B，与 y轴交于点 A，OA＝1，
，直线 交直线 AB于点 C．
（1）求直线 AB的解析式及 C点的坐标；
（2）如图 1，P为直线 OC上一动点且在第一象限内，M、Q为 x轴上动点，Q在 M右侧且 ，
当 时，求 PQ+QM+MA最小值；
（3）如图 2，将△AOB沿着射线 CO方向平移，平移后 A、O、B三点分别对应 D、E、F三点，直线
AB上是否存在 N点，使得△EFN为等腰直角三角形，若存在，请直接写出 N点坐标；若不存在，请说
明理由．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点 A的坐标是（0，1），
第 19页（共 27页）
∵OB OA，
∴OB ，
∴点 B的坐标为（ ，0），
设直线 AB的解析式为 y＝kx+b，
把点 A 和点 B的坐标代入可得 ，
解得 ，
∴直线 AB的解析式为 y x+1，
联立直线 OC：y x和直线 AB的解析式得 ，
解得 ，
∴点 C的坐标是（ ， ）；
（2）∵OB ，OA＝1，
∴AB 2，
∴AB＝2OA，
∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，
∵直线 OC：y x交直线 AB于点 C．
∴∠COB＝60°，
∴∠OCB＝90°，
∵S△OBC ，
∴点 P在点 C的上方，
∵P为直线 OC上一动点且在第一象限内，
设点 P的坐标为（m， m），其中 m＞0，
第 20页（共 27页）
∴点 P到 x轴的距离为 m，
∵S△OBP＝S△OCB+S△PCB ，
∴ m ，
解得 m ，
∴ m＝3，
∴点 P的坐标是（ ，3），
如图，过点 P向左作 PP1∥x轴，且 PP1＝MQ ，则 P1的坐标为（ ，3），再作点 P1关于 x轴
的对称点 P2，则 P2的坐标为（ ，﹣3），则连接 AP2交 x轴于点M，在 x轴上截取MQ ，连接
PQ，
由作图过程知四边形 PP1MQ是平行四边形，则 PQ＝P1M，
∴PQ+QM+MA的最小值为 P1M+QM+MA＝P2M+QM+MA＝P2A+MQ，
作 AA1⊥P1P2于点 A1，则 A1的坐标为（ ，1），则 AA1 ，A1P2＝4，
∴PQ+QM+MA的最小值为 P2A+MQ ．
即 PQ+QM+MA最小值为 ；
第 21页（共 27页）
（3）存在，理由如下：
将△AOB沿着射线 CO方向平移，即将△AOB向左平移 n个单位，向下平移 n个单位，
∴E（﹣n， n），F（﹣n ， n），
①当∠NEF＝90°时，如图，
∵直线 AB的解析式为 y x+1，
∴N（﹣n， n+1），
∴NE n+1 n n+1，
∵△EFN为等腰直角三角形，
∴NE＝EF＝OB ，
∴ n+1 ，
∴n ，
∴N点坐标为（ ， ）；
②当∠NFE＝90°时，如图，
第 22页（共 27页）
∵直线 AB的解析式为 y x+1，
∴N（﹣n ， n），
∴NF n n n，
∵△EFN为等腰直角三角形，
∴NF＝EF＝OB ，
∴ n ，
∴n ，
∴N点坐标为（ ， ）；
③当∠FNE＝90°时，如图，过点 N作 NH⊥EF于 H，
∵△EFN为等腰直角三角形，
∴NH EF ，EH＝FH，
∵E（﹣n， n），F（﹣n ， n），
∴点 N的横坐标为 （﹣n﹣n ） n，
第 23页（共 27页）
∵直线 AB的解析式为 y x+1，
∴N（ n， n ），
∴NH n n ，
∴n ，
∴N点坐标为（ ， ）；
综上所述，N点坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
27．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D是△ABC所在平面内一点，连接 AD．
（1）如图 1，若点 D在△ABC内，连接 BD，AD平分∠BAC，∠CBD＝15°， ，求 AB的长；
（2）如图 2，点 D在 AB边的左侧，连接 BD，CD，∠ADB＝45°，点 E是线段 CD的中点，连接 AE，
求证： ；
（3）如图 3，若 AC＝4，点 D从点 B移动到点 C的过程中，将线段 AD绕点 D顺时针旋转 90°，得到
线段 DM，连接 AM，点 K是 BC边上靠近点 C的四等分点，连接 KM，BM，点 N为直线 AD上一动点，
连接MN，当线段 KM取最小值时，将△ANM沿直线 NM翻折得到△HNM，连接 BH，请直接写出线段
BH的最大值．
【解答】（1）解：如图 1，
作 DE⊥AB于 E，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
第 24页（共 27页）
∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°﹣15°＝30°，
在 Rt△ADE中，AD ，∠BAD＝45°，
∴AE＝DE AD＝1，
在 Rt△BDE中，DE＝1，∠ABD＝30°，
∴BE DE ，
∴AB＝BE+AE ；
（2）证明：如图 2，
作∠DAF＝90°，交 DB的延长线于点 F，连接 CF，EF，设 AG的延长线交 DF于 G，
∴∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵∠ADB＝45°，∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AF，
∵AB＝AC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠AFC＝∠ADB＝45°，CF＝BD，
第 25页（共 27页）
∴∠BFD＝∠AFD+∠AFC＝90°，
∵E是 CD的中点，
∴DE＝EF CD，
∴AE⊥DF，AE平分 DF，
∴EG CF BD，AG DF，
∴BD+2AE＝BD+2（AG﹣EG）＝BD+2AG﹣2EG＝BD+DF﹣CF＝DF，
∵DF AD，
∴ ；
（3）解：如图 3，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC AC＝4 ，
∵点 K是 BC边上靠近点 C的四等分点，
∴CK BC ，
点 A绕点 B顺时针旋转 90°至 A′，点 A绕点 C顺时针旋转 90°至 A″，
∴点 M在直线 AA″上运动，
当 KM⊥A′A″时，KM最小，KM 最小＝CM CK＝1，
在 Rt△ACM中，AC＝4，CM＝1，
∴AM ，
∵△ANM沿直线 NM翻折得到△HNM，
第 26页（共 27页）
∴HM＝AM ，
∴点 M在以 M为圆心， 为半径的圆上运动，
作 ME⊥BC于 E，则 EM＝CE KM ，
∴BE＝BC﹣CE＝4 ，
∴BM 5，∴BM 最大＝BM+HM＝5 ．
声明：试题解析著作权属所
第 27页（共 27页）

展开更多......

收起↑