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青海海东市2026届高三二模数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．8 B． C．32 D．
4．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
7．在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台.经实测，该方斗的上口边长为，下口边长为，侧棱长为，若忽略该方斗的厚度，则这个方斗的容积为（ ）
A． B． C． D．
8．对于给定的正整数，若数列满足，，则称为“螺旋数列”.已知“螺旋数列”的前项和，则的最大值为（ ）
A．111 B．110 C．109 D．108
二、多选题
9．从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（ ）
A．“甲被选中”和“乙被选中”
B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中”
C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中”
D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中”
10．已知函数存在两个极值点、，则（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．的取值范围为
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线和的斜率之积为定值
B．的最小值为-1
C．若的面积为5，则
D．若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为
三、填空题
12．若函数是偶函数，则______．
13．记等差数列的前n项和为，若，则＝______．
14．已知函数（），关于的方程在上恰有14个不同的实数根，则的取值范围为______.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求.
(2)若，，求的面积.
16．为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表：
单位：人
性别 京剧 合计
喜欢 不喜欢
男 80 140
女 20
合计 200
(1)将列联表中数据补充完整，依据的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？
(2)从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望．
附：，n＝a＋b＋c＋d．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17．如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，为的中点，，.
(1)证明：平面.
(2)求二面角的正弦值.
18．已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）.
(1)求的值；
(2)若，求的方程；
(3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值.
19．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求的取值范围；
(3)证明：，．
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．D
5．A
6．B
7．A
8．C
9．BD
10．BC
11．ACD
12．5
13．110
14．
15．（1）根据正弦定理：（为外接圆半径），
可得 ，，
因为，所以.
即.
又，所以，即.
又因为，得.
（2）因为，即，所以，
又因为，将代入可得：
，即，，，
因为，所以是锐角，则，那么，
又因为，，所以，则，
因为，
因为，，，所以，
根据三角形面积公式，将，，代入可得：
.
16．（1）不喜欢京剧的男生数量为：(人)；合计女生数量为：(人)；
不喜欢京剧的男女生数量和为：(人)；
喜欢京剧的男女生数量和为：(人)；
喜欢京剧的女生数量为：(人).
列联表补充如下：
性别 京剧 合计
喜欢 不喜欢
男 80 60 140
女 40 20 60
合计 120 80 200
零假设为：是否喜欢京剧与性别独立，即：是否喜欢京剧与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，
认为居民是否喜欢京剧与性别无关.
（2）按分层抽样抽取喜欢京剧的女生数量为：(人)，不喜欢京剧的女生数量为：(人)
记游戏结束时选取的人数为，则可能取值为
,,,
所以的分布列为：
X 1 2 3
P
数学期望.
17．（1）因为，所以，
因为底面是等边三角形，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面.
（2）因为，平面平面，平面平面，
而平面，所以平面.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下空间直角坐标系，
则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则，
令，得.
设平面的法向量为，则，
令，得.
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
因为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
18．（1）因为是的焦点，所以，得.
（2）由（1）知，抛物线的方程为.
由题意可设的方程为，，.
由得，
则，.
因为，所以.
由，解得，，
则的方程为.
（3）由题意可设的方程为，，.
由得，
则，.
由为轴上异于的点，且，得，
则直线的方程为，
即.设.
由得，
则，，
则.
由，得.
又，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
19．（1）当时，，则，所以，，
故当时，曲线在点处的切线方程.
（2）因为，则，则且，
则，，
令，其中，则，
易知函数在上单调递增，
①当时，即当时，对任意的，，
函数在上单调递增，则对任意的，，
此时函数在上单调递增，故对任意的，，符合题意；
②当时，即当时，对任意的，，
所以在上单调递减，则对任意的，，
此时函数在上单调递减，故对任意的，，不符合题意；
③当时，因为函数在上单调递增，
且，，则，
由零点存在定理可知，存在，使得，
当时，，即函数在上单调递减，
故当时，，即函数在上单调递减，
所以，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）先证明对任意的恒成立，
构造函数，其中，则，
易知函数在上单调递减，
所以，
所以函数在上单调递增，所以，
故对任意的，，令，则，
故，
所以，
故原不等式得证.

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