资源简介

2025-2026学年四月阶段性检测试题
高三数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知集合 M＝{1，0}，则与集合 M相等的集合为（ ）
A．{（x，y）|x＝1，y＝0} B．
C． D．{x|﹣1＜x＜2，x∈N}
2．已知θ∈（0，π）， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．我国某城市 4月的空气质量状况统计如表所示：
污染指数 T 30 60 100 110 130 140
天数 3 5 10 7 4 1
当 T≤50时，空气质量为优；当 50＜T≤100时，空气质量为良；当 100＜T≤150时，空气质量为轻微
污染．该城市 4月空气质量达到良或优的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．计算 （ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．4 D．5
5．已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，
1
若三者的体积之和为 144π，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点 F是抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点，经过 F的两条直线分别交抛物线于 A，B和 C，D，其中 B，
C两点在 x轴上方．若 AB⊥CD，则四边形 ACBD面积的最小值为（ ）
A．2p2 B．16p2 C．4p2 D．8p2
7．已知复数 ，其中 i为虚数单位，m∈R，若 z为纯虚数，则复数 z+m在复平面内对应的点在第
（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
8．设数列{an}满足 a1a2＝﹣1，an+2＝min{a1a2，…，an} max{a2，a3，…，an+1}（n∈N*），则下列结论中
不可能的是（ ）
注：min{a1，a2，…，an}和 max{a1，a2，…，an}分别表示 a1，a2，…，an中的最小值和最大值．
A．数列{an}从某一项起，均有 an＜﹣1
B．数列{an}从某一项起，均有 an＞﹣1
C．数列{an}从某一项起，均有 an+2＜an
D．数列{an}从某一项起，均有 an+2＞an
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．已知函数 f（x）＝3sin（2x ），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在（ ， ）上单调递增
B．f（x）图象的对称中心为（ ，0）（k∈Z）
C．直线 x 是 f（x）图象的一条对称轴
D．f（x）的最小正周期为π
10．已知 ，n∈N*，[x]表示不大于实数 x的最大整数，则
下列正确的有（ ）
A．3a1＝（2n﹣1）a0
B．若 n为奇数，则 ak取最大值时，
2
C．当 时，[（x+3）2n﹣1]的个位数是 6
D．
11．正方形 ABCD、ABEF的边长为 1，且它们所在的平面互相垂直．点M、N分别在正方形对角线 AC和
BF上移动，且 ．则（ ）
A．直线 AC与 BF所成的角为 45°
B．MN∥平面 DAF
C．当 时，MN的长最小，且最小值为
D．当 MN的长最小时，点 F到平面 AMN的距离为
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．已知 （3，1）， （x，3），且 ，则 x＝ ．
13．设双曲线 的右焦点为 F，点 A， B在 C的右支上，点 D满足
．若 ，则 C的离心率为 ．
14．将（2﹣x）4二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，
若存在，则记随机变量 X＝1，否则记 X＝0，则 E[X]＝ ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 ．
（1）求边长 a的值；
（2）求△ABC的面积 S△ABC．
3
16．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是矩形，PD⊥底面 ABCD，点 E是 PC的中点，
AD＝2，PD＝AB＝4，
（1）求证：PA∥平面 EDB；
（2）求平面 BDE与平面 ABP所成角的正弦值．
17．（15分）为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导
绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．如表
为该市统计的近 5年内燃油车的新增数量，其中 x为年份代号，y（单位：万辆）代表新增燃油车数量．
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代号 x 1 2 3 4 5
新增燃油车 y/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8
（1）计算相关系数 r，判断是否可以用线性回归模型拟合 y与 x的关系，当|r|∈[0.75，1]时，可以认为
两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．（保留到小数点后两位）
（2）求 y关于 x的线性回归方程，并据此估计该市 2026年的新增燃油车数量．
参考数据： ， ， 118.7， 1.87， 5.92．
参考公式： ， ，r ．
4
18．（17分）已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设椭圆 C的上、下顶点分别为 A、B，过点 P（0，4）斜率为 k的直线与椭圆 C交于M、N两点．求
证：直线 BM与 AN的交点 G在定直线上．
19．已知函数 f（x）＝lnx﹣mx．
（1）求 f（x）的极值；
（2）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x2．
（i）求 m的取值范围；
（ii）设 x1＜x 22，且 的最大值为 e ，求 lnx1+lnx2的最大值．
5
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A B D D A D
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AD ABD BC
三．填空题
12．9．
13． ．
14． ．
四．解答题
15．解：（1）在△ABC中， ．由正弦定理可得 ，
即 ，可得 a＝2；
（2）由（1）得 a＝2，且 sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB
，
故 ．
16．（1）证明：连接 AC交 BD于 O，连接 OE，
因为 E为 PC的中点，四边形 ABCD为矩形，可得 O为 AC的中点，
所以 PA∥OE，
因为 OE 平面 EDB，PA 平面 EDB，
所以 PA∥平面 EDB；
6
（2）解：由题意，以 D为坐标原点，以 DA，DC，DP所在的直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标
系，
因为 AD＝2，PD＝AB＝4，
则 D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），P（0，0，4），C（0，4，0），E（0，2，2），
可得 （2，4，0）， （0，2，2）， （0，4，0）， （﹣2，0，4），
设平面 BDE的法向量 （x，y，z），
则 ，即 ，令 y＝﹣1，可得 （2，﹣1，1），
设平面 ABP的法向量 （x'，y'，z'），
则 ，即 ，令 z'＝1，可得 （2，0，1），
可得 2×2+（﹣1）×0+1×1＝5，| | ，| | ，
所以 cos ， ，
设平面 BDE与平面 ABP所成角为θ，
所以 sinθ ．
即平面 BDE与平面 ABP所成角的正弦值为 ．
17．解：（1）依题意， （1+2+3+4+5）＝3， （6.1+5.2+4.9+4+3.8）＝4.8，
则 r 0.98，
因为|﹣0.98|＝0.98＞0.75，
所以可以用线性回归模型拟合 y与 x的关系；
7
（2）b 0.58，
所以 a b 4.8+0.58×3＝6.54，
所以 y ＝﹣0.58x+6.54，
当 x＝6时，y ＝﹣0.58×6+6.54＝3.06，
所以估计该市 2026年的新增燃油车 3.06万辆．
18．（1）解：已知椭圆 过点 ，且离心率为 ，
则 ，
解得 ，
故椭圆 C的方程为 ；
（2）证明：由题意，直线 MN的方程为 y＝kx+4，A（0，2），B（0，﹣2），
设 M（x1，y1），N（x2，y2），
联立 ，
消去 y整理得：（1+2k2）x2+16kx+24＝0，
判别式Δ＝（16k2）﹣4（1+2k2）×24＞0，
所以 或 ，
由韦达定理可得 ，
直线 BM的方程为 ，直线 AN的方程为 ，
联立 ，
消去 x可得： ，
8
从而 ③，
由①②知 ，
代入式③得： ，
从而 ，
解得：yG＝1，
所以点 G在定直线 y＝1上．
19．解：（1）f（x）＝lnx﹣mx的定义域为（0，+∞），则 ，
当 m≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
当 m＞0时，令 f'（x）＜0，则 ，令 f'（x）＞0，则 ，
即 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 f（x）极大值为 ，无极小值；
（2）（ⅰ）由（1）知当 m≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增至多有一个零点，所以不符合题意；
当 m＞0时，f（x）在 单调递增，在 单调递减，
又函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x2，且 x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→﹣∞，
所以 f（x）极大＝﹣1﹣lnm＞0，解得 m∈（0， ）；
（ⅱ）令 ，x2＝tx1，又 lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，
所以 lnx2＝lntx1＝lnt+lnx1＝mx2＝mtx1＝tlnx1，
解得 ，即 ，
9
，
又 x ＜x ，且 的最大值为 e21 2 ，所以 ，
令 ，
，
令 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在（1，e2]单调递增，
，
所以 lnx1+lnx2的最大值为 ．
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