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广东省深圳市南实集团2025-2026学年九年级下学期一模数学试卷（3月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列四个数中，最小的是（ )
A． 0 B． -（-1) C． - 2 D． |-3|
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：| 3|＝3， （ 1）＝1，
且 2＜0＜ （ 1）＜| 3|，故 2最小；
故答案为：C．
【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可；
2．如图，2026年春晚《武BOT》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作。若该斜坡的坡度为3：4，机器人腾跃点B的水平宽度AC=80厘米，则腾跃点的垂直高度BC为（ )
A．30厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．120厘米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵该斜坡的坡度为3：4，水平宽度AC＝80厘米，
∴BC＝AC＝×80＝60（厘米）．
故答案为：B．
【分析】根据坡度i＝，代入数据计算即可．
3．光线在不同介质中传播速度不同，从空气射入水中时会发生折射。由于折射率相同，空气中平行的光线，在水中也保持平行。如图，水面与杯底互相平行，∠1+∠2=130°，∠3=100°，则∠1的度数为（ )
A． 55° B． 50° C． 45° D． 40°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠4＝180° ∠3＝80°，
∵AC∥BD，
∴∠2＝∠4＝80°，
∵∠1＋∠2＝130°，
∴∠1＝130° ∠2＝50°，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质可得∠4＝80°，从而再利用平行线的性质可得∠2＝∠4＝80°，然后根据已知进行计算即可解答．
4．下列计算正确的是（　　)
A．2a+3b=5ab B．
C． D．（m+4n)（m-4n)=m2-4n2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项分析判断如下：
A. 2a、3b不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B． a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
C．（ 2x）3＝ 8x3，故该选项正确，符合题意；
D．（m＋4n）（m 4n）＝m2 16n2，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．
5．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何 ”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗 设清酒有x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
依题意得：
故答案为：D．
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
6．已知抛物线 的图象如图所示，下列说法不正确的是（　　)
A．abc<0 B．当x>-1时，y随x增大而减小
C． D．a+b+c=2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，a＞0，抛物线对称轴是x＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
故A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
b2 4ac＞0，
故C正确，不符合题意；
由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＝2，
故B正确，不符合题意；
根据图象可知：当x＞ 1，且在对称轴左侧时，y随x增大而减小，在对称轴右侧时，y随x增大而增大，故B错误，符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象与系数关系，逐项判断即可．
7．“湾区之光”摩天轮位于深圳欢乐港湾内，是国内首个全天景回转式进口轿厢摩天轮。其示意图如图所示， “湾区之光”总高128米（即最高点离水面平台l的距离)，圆心O到l的距离为73米，匀速旋转一圈时间是28分钟。某轿厢从点A 出发顺时针旋转，7分钟后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径长度为（　　)米（结果保留π)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵总高128米，圆心O到l的距离为73米，
∴半径为128 73＝55（米），
∵摩天轮匀速旋转一圈用时28分钟，轿厢从点A出发，7分钟后到达点B，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
∴该轿厢所经过的路径长度为：π（米）．
故答案为：A．
【分析】先求出摩天轮半径，再求出∠AOB＝90°，最后根据弧长公式求出结果即可．
8．如图所示，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，连接A'C， A'B，则 的值为（　　).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，过点A'作GH∥AD分别交AB，CD于点G，H，
∴∠A＝90°，AD⊥AB，AD⊥CD，
∴四边形ADHG是矩形，
∴AG＝DH，
设正方形的边长为3a，则AE＝a，BE＝2a，
∵将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，
∴∠EA'D＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'D＝AD＝3a，
∵GH∥AD，
∴∠A'GE＝∠A'HD＝90°，
∴∠GA'E＝90° ∠HA'D＝∠HDA'，
∴△A'EG∽△DA'H，
∴=，
设GE＝x，则A'H＝3x，
∴A'G＝3a 3x，
∴HD＝3A'G＝9a 9x，
∵AG＝DH，
∴a＋x＝9a 9x，
解得：x＝a，
∴GE＝a，HD＝a，
∴A'G＝HD＝a，1
∴A'H＝GH A'G＝3a6 a＝a，
∴=，
故答案为：A．
【分析】过点A'作GH∥AD分别交AB，CD于点G，H，证明△A'EG∽△DA'H，得出=，设GE＝x，则A'H＝3x，根据AG＝DH得出x＝a，进而根据三角形的面积公式求得S△A'BE、S△A'CD，再求比值，即可求解．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．请写出使 有意义的a的一个值：　 　。
【答案】4
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵（a＋1）0有意义，
∴a＋1≠0，
解得：a≠ 1，
故a的一个值可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据零次幂的意义得底数不为0，求出a的取值范围，即可确定a的一个值．
10．某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动。若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一)、元宵节（农历正月十五)、端午节（农历五月初五)、中秋节（农历八月十五)、重阳节（农历九月初九)，则抽到的节日在农历正月的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵传统节日有：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），共5个，其中有2个传统节日在正月，
∴抽到的节日在农历正月的概率为．
故答案为：．
【分析】根据一共有5个传统节日，其中有2个传统节日在正月，利用概率公式即可得到抽到的节日在农历正月的概率．
11．已知x-y=4，则
【答案】16
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵x y＝4，
∴x2 y2 8y
＝（x＋y）（x y） 8y
＝4（x＋y） 8y
＝4（x y）
＝4×4
＝16．
故答案为：16．
【分析】根据平方差公式得到x2 y2 8y＝（x＋y）（x y） 8y，整体代入可得原式＝4（x＋y） 8y＝4（x y），再整体代入即可求解．
12．如图，过反比例函数 图象上一点A作AD垂直于x轴，垂足为D，交反比例函数 的图象于点B，连接OA 交y2于点 C，连接CD，若△OCD的面积为6，则k=　 　。
【答案】24
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OD于点E，
由条件可得S△OCE＝×6＝3，
又∵△OCD的面积为6，
∴S△OCE＝S△DCE，
∴OE＝ED，
∴CE垂直平分OD，
∴CO＝CD，
∵AD⊥OD，CE⊥OD，
∴AD∥CE，
∴，
∴AC＝CO，
∴S△AOD＝2S△OCD＝12，
∵点A在y1＝，
∴k＝2S△AOD＝24，
故答案为：24．
【分析】过点C作CE⊥OD于点E，根据k的几何意义结合已知可得S△OCE＝S△DCE，进而证明AC＝CO，得出S△AOD＝2S△OCD＝12，进而根据k的几何意义，即可求解．
13．在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°，点D是边 BC上一动点（BD>CD)，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，连接CE， BE，取BE中点G，若DE⊥CE，则 的值为　 　。
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AF⊥BC交BC于点O，且AO＝OF，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180° ∠BAC)＝30°，∠BAO＝∠CAO＝60°，
∴AC＝AB＝2OA＝2OF，
∴AC＝AF，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，
∴∠FAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠FAD＝∠CAE，
在△ADF和△AEC中，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝EC，
∵AF⊥BC，AO＝OF，
∴AD＝DF，
∴AE＝EC，
∴点E在AC的垂直平分线EH上，即AC⊥EH，
∴AH＝CH，∠EHC＝60°，
∴∠HAC＝∠ACB＝30°，
∴∠AHB＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAH＝90°，
如图，取BH的中点I，连接AI，GI，
∴AI＝BI＝IH＝BH，
∴△AHI是等边三角形，
∴∠AIH＝60°，
∵点G是BE的中点，
∴GI∥EH，
∴∠GIH＝∠EHC＝60°，
∴点A，G，I三点共线，
∴AI∥EH，
∴∠IAC＝90°，
∵DE⊥CE，DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠ADB＝180° ∠ADE ∠EDC＝75°，∠ACE＝∠ECD ∠ACD＝15°，
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝15°，
∴∠DAC＝∠DAE ∠EAC＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC ∠DAC＝75°，
∴AB＝BD，
又∵AE＝DE，
∴BE垂直平分AD，
∴AG＝GD，
∵∠GAC＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠GAC ∠DAC＝45°，
∴∠GDA＝∠GAD＝45°，
∴∠AGD＝90°，
∴△AGD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG2＋GD2＝AD2，即2AG2＝AD2＝EC2，
∴＝．
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BC交BC于点O，且AO＝OF，推出AC＝AF，证明出△ADF≌△AEC（SAS），得到DF＝EC，然后得到点E在AC的垂直平分线EH上，求出∠BAH＝90°，取BH的中点I，连接AI，GI，证明出点A，G，I三点共线，求出∠IAC＝90°，然后证明出BE垂直平分AD，得到AG＝GD，证明出△AGD是等腰直角三角形，进而利用勾股定理求解即可．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题10分,第19题11分,第20题11分,共61分)
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负指数幂、零指数幂、化简绝对值和特殊角的三角函数值进行化简，再进行加减计算即可．
15．先化简，再求值： 并从-1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值。
【答案】解：原式
∵a-1≠0， （a-2)2≠0， （a-1)（a+1)≠0，
∴a≠±1和2，
∴a=0，
当a=0时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先算括号内的式子，然后计算出括号外的除法，再从 1，0，1，2中取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
16．某校为了解九年级学生对某个数学知识点的掌握程度，特地开展数学素养调研，随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，并根据《新课标》中的结果目标分为5类：其中“完全不理解”记为0分， “了解”记为1分， “理解”记为2分， “掌握”记为3分， “应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下：
【数据整理】
（1）请补全第1小组得分条形统计图。
（2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为　 　。
【数据分析】
　 平均数 众数 中位数
第 1组 2.9 a 3
第 2组 b 0 1
第3 组 2.25 2 C
（3） 根据上述图表填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　。
（4）结合上述数据，请你分析对于该数学知识点哪组掌握程度最弱，并说明原因。
【答案】（1）补图如下：
（2）72°
（3）4；1.65；2
（4）解：第2组最弱。
因为第2组的平均数、众数、中位数都比第1组和第3组的要低，可见该组同学对于该数学知识点掌握程度最弱。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，并根据《新课标》中的结果目标分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，则：
根据题意，得分3分的人数为：20 1 2 3 8＝6（人），
补图如下：
（2）根据题意，得360°×（1 10% 15% 25% 30%）＝72°．
故答案为：72°.
（3）根据题意，得4分出现的次数最多，故第1组的众数为a＝4分；
根据题意，得b＝0×30%＋1×25%＋2×15%＋3×10%＋4×20%
＝0＋0.25＋0.3＋0.3＋0.8＝1.65（分）；
根据题意，得分0分1人，1分3人，2分8人，3分6人，4分2人，
中位数是第10个，第11个数据的平均数，故c＝＝2（分）．
故答案为：4；1.65；2.
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，求解即可．
（2）利用圆心角计算公式计算即可．
（3）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可．
（4）比较中位数，平均数，众数求解即可．
17． 2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。
（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数 最大生产总量是多少
【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，
根据题意得：
解得： x=110，
经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×110=165（件)。
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。
（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，
根据题意得： w=165m+110 （30-m) =55m+3300，
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30-m)，
解得： m≤20，
∵55>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m为正整数，
∴m最大取20，
∴当m=20时， w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天) 。
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30 m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．
18． 如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC， ⊙O是△ABC的外接圆， O是圆心。
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD；
（2） 求证： AD是⊙O的切线；
（3） 若AB=3， BC=2， 求⊙O的半径。
【答案】（1）解：法1：如下图：作AB=CD， BC=CD，构造平行四边形ABCD。
法2：如下图：利用对角线互相平分作平行四边形ABCD。
法3，：如下图，作AB平行且等于CD，构造平行四边形ABCD。
如图所示，平行四边形ABCD为所求图形。
（2）证明：连接并延长AO 交BC 于点H，连接OC， OB，
∵AB=AC， OB=OC，
∴点 A 、点O 都在BC 的垂直平分线上，
∴AO 垂直平分BC， ∠OHB =90°
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OHB=∠OAD =90°，
∴AD⊥OA，
又∵OA 是⊙O 的半径，
∴AD 是⊙O 的切线。
（3）解：∵BC=AD=2， AO 垂直平分BC 交BC 于点H，
∵∠AHB=90°， AB=3，
∵OA=OB，
解得
∴⊙O 的半径长为
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；切线的判定；圆的综合题；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质：作AB＝CD，BC＝AD，构造平行四边形ABCD，即可求解；
（2）利用平行四边形的性质可知∠OAD＝90°即可判定；
（3）根据勾股定理即可求解．
19．综合与实践
背景 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯。自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一。某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练。 如图，小明站在点O处练习发球，他将球从点O正上方的点B处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知排球场的边界点A距点O的水平距离OA=19米， 球网EF高度为2.24米， OE=9米。
任务1 已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（OB=1.7米)，求排球运动路径的抛物线解析式。
任务2 判断此时排球能否越过球网 排球是否出界 请说明理由。
任务3 若小明调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为l1，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与l1形状相同的抛物线l2，且此时排球运行的最大高度为1米。球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐MNPQ，其纵切面为直角梯形，其中 米， MN=2米， 米。若排球经过向右反弹后沿l2的路径落入回收筐MNPQ内（球下落过程中碰到点 P，Q均视为落入框内)，设点M的横坐标为s，请求出s的取值范围。
图示
【答案】解：任务1：当m=1.7时，
∴C（6， 2.7) ， B（0， 1.7) ，
∴设抛物线的表达式为
将点B （0， 1.7)代入，得
解得
∴抛物线的表达式为
任务2：球能越过球网，球不会出界；
理由：由（1）知，当m=1.7时，抛物线的表达式为
∵OE=9米，球网EF 高度为2.24米，
∴F （9， 2.24) ，
当x=9时，
∵2.45>2.24，
∴球能越过球网，
当y=0时，
解得：
∴球不会出界；
任务3：∵l2是与l1形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米，
∴设l2的表达式为
将点A （19， 0)代入，得（
解得： h1=13 （舍去) ， h2=25，
∴l2的表达式为
设点 M 的横坐标为s （s≥25)，
则
当 时，
解得： （舍去) ，
当 时，
解得： （舍去) ，
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x 6）2＋2.7，将点B（0，1.7）代入，即可求解；
（2）根据题意可得F（9，2.24），将x＝9代入解析式，求得函数值，与2.24比较大小，将y＝0代入解析式，求得D(6＋，0)，将横坐标与OA比较，即可求解．
（3）设l2的表达式为y＝ (x h)2＋1，点M的横坐标为s（s≥25），则Q(s，)，P(s＋2，)，分别将y＝，y＝代入解析式，求得s的值，结合题意，即可求出s的取值范围．
20．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究。
【图形定义】
若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形.且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”。
【概念理解】
（1）如图1，在四边形ABCD中， ∠BAD=∠BCD=90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE， CE。
求：①四边形ABCE　 　（填“是”或“不是”)腰分双等四边形；
②若∠AEC=90°， ∠ADC的度数为　 　°，∠ABC的度数为　 　。
（2）【性质探究】
如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心)，四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，过点 D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若CE=2，求△ABF的面积。
（3）【拓展应用】
如图3，在矩形ABCD中， AD=5，点E是其内部一点，点F是边 CD上一点，四边形AEFD 是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G，连接FG。若∠EFG 请直接写出 BG的长。
【答案】（1）是；45°；135°
（2）解：连接DB，过点A作AH⊥BF于点H，
∵四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，
∴AB=AF=AD=6，
∵正方形ABCD中， ∠BAD=90°，
∴同（1）可证， ∠BFD=135°，
∴∠EFD=45°，
∵DE⊥FE，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠CDB=45°，
∴∠BDF=∠CDE，
又
∴△BDF∽△CDE，
（3）解：或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴EB＝EA＝ED，
∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴EC＝EB＝ED，
∴EC＝EA，
∴四边形ABCE是腰分双等四边形，
故答案为：是；
②由题可知：EC＝ED，EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD，
∴∠AEB＝∠EDA＋∠EAD＝2∠EDA，∠CEB＝∠EDC＋ECD＝2∠EDC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠CEB＋∠AEB＝2（∠EDC＋∠EDA）＝90°，
∴∠ADC＝∠EDC＋∠EDA＝45°，
∴∠ABC＝360° ∠ADC ∠BAD ∠BCD＝135°，
故答案为：45，135；
（3）①当DA＝DE＝DF＝5，如图3，过点D作DH⊥EF，
∴∠DHF＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴DH∥FG，
∴∠CFG＝∠FDH，
∵tan∠CFG＝，
∴tan∠FDH＝，
∴sin∠FDH＝＝，
∴FH＝sin∠FDH×DF＝×5＝3，
∴EF＝2FH＝6，
由（2）同理可得，∠AEF＝135°，
∴∠FEG＝45°，
∴∠FGE＝45°，
∴FE＝GF＝6，
∴CG＝sin∠CFG×GF＝×6＝，
∴BG＝BC CG＝5 ＝；
②当DA＝DE＝FE＝5，如图4，过点E作EH⊥DC，EM⊥AB，EN⊥AD，
∵∠EHF＝∠EFG＝∠C＝90°，
∴∠HEF＋∠HFE＝90°，∠HFE＋∠CFG＝90°，
∴∠CFG＝∠HEF，
∴∠HEF＝∠HED＝∠EDN＝∠CFG，
∵tan∠CFG＝，
∴tan∠EDN＝，
∴sin∠EDN＝，
∴EN＝DE×sin∠EDN＝5×＝3，
∴EN＝DH＝HF＝3＝AM，
∴DN＝4，
∴AN＝5 4＝1＝EM，
∵∠NEA＝∠EAM，
∴tan∠EAM＝＝，
设CG＝3x，则CF＝4x，则BG＝5 3x，
∴CD＝AB＝6＋4x，
∴tan∠EAM＝＝＝，
解得：x＝（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴BG＝5 3x＝5 3×＝．
【分析】（1）①点E是BD的中点，可知EC＝EA，即可证明；
②根据三角形的外角定理可求解；
（2）由题可知△BDF∽△CDE，可得BF，根据勾股定理可得AG，进而可得面积；
（3）分类讨论，①当DA＝DE＝DF＝5，由平行线可知∠CFG＝∠FDH，根据锐角三角函数可知FH，CG，②当DA＝DE＝FE＝5，设CG＝3x，则CF＝4x，根据锐角三角函数即可求解.
1 / 1广东省深圳市南实集团2025-2026学年九年级下学期一模数学试卷（3月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列四个数中，最小的是（ )
A． 0 B． -（-1) C． - 2 D． |-3|
2．如图，2026年春晚《武BOT》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作。若该斜坡的坡度为3：4，机器人腾跃点B的水平宽度AC=80厘米，则腾跃点的垂直高度BC为（ )
A．30厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．120厘米
3．光线在不同介质中传播速度不同，从空气射入水中时会发生折射。由于折射率相同，空气中平行的光线，在水中也保持平行。如图，水面与杯底互相平行，∠1+∠2=130°，∠3=100°，则∠1的度数为（ )
A． 55° B． 50° C． 45° D． 40°
4．下列计算正确的是（　　)
A．2a+3b=5ab B．
C． D．（m+4n)（m-4n)=m2-4n2
5．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何 ”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗 设清酒有x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　)
A． B．
C． D．
6．已知抛物线 的图象如图所示，下列说法不正确的是（　　)
A．abc<0 B．当x>-1时，y随x增大而减小
C． D．a+b+c=2
7．“湾区之光”摩天轮位于深圳欢乐港湾内，是国内首个全天景回转式进口轿厢摩天轮。其示意图如图所示， “湾区之光”总高128米（即最高点离水面平台l的距离)，圆心O到l的距离为73米，匀速旋转一圈时间是28分钟。某轿厢从点A 出发顺时针旋转，7分钟后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径长度为（　　)米（结果保留π)
A． B． C． D．
8．如图所示，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，连接A'C， A'B，则 的值为（　　).
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．请写出使 有意义的a的一个值：　 　。
10．某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动。若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一)、元宵节（农历正月十五)、端午节（农历五月初五)、中秋节（农历八月十五)、重阳节（农历九月初九)，则抽到的节日在农历正月的概率为　 　.
11．已知x-y=4，则
12．如图，过反比例函数 图象上一点A作AD垂直于x轴，垂足为D，交反比例函数 的图象于点B，连接OA 交y2于点 C，连接CD，若△OCD的面积为6，则k=　 　。
13．在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°，点D是边 BC上一动点（BD>CD)，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，连接CE， BE，取BE中点G，若DE⊥CE，则 的值为　 　。
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题10分,第19题11分,第20题11分,共61分)
14．计算：
15．先化简，再求值： 并从-1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值。
16．某校为了解九年级学生对某个数学知识点的掌握程度，特地开展数学素养调研，随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，并根据《新课标》中的结果目标分为5类：其中“完全不理解”记为0分， “了解”记为1分， “理解”记为2分， “掌握”记为3分， “应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下：
【数据整理】
（1）请补全第1小组得分条形统计图。
（2）第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为　 　。
【数据分析】
　 平均数 众数 中位数
第 1组 2.9 a 3
第 2组 b 0 1
第3 组 2.25 2 C
（3） 根据上述图表填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　。
（4）结合上述数据，请你分析对于该数学知识点哪组掌握程度最弱，并说明原因。
17． 2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。
（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数 最大生产总量是多少
18． 如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC， ⊙O是△ABC的外接圆， O是圆心。
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD；
（2） 求证： AD是⊙O的切线；
（3） 若AB=3， BC=2， 求⊙O的半径。
19．综合与实践
背景 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯。自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一。某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练。 如图，小明站在点O处练习发球，他将球从点O正上方的点B处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知排球场的边界点A距点O的水平距离OA=19米， 球网EF高度为2.24米， OE=9米。
任务1 已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（OB=1.7米)，求排球运动路径的抛物线解析式。
任务2 判断此时排球能否越过球网 排球是否出界 请说明理由。
任务3 若小明调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为l1，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与l1形状相同的抛物线l2，且此时排球运行的最大高度为1米。球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐MNPQ，其纵切面为直角梯形，其中 米， MN=2米， 米。若排球经过向右反弹后沿l2的路径落入回收筐MNPQ内（球下落过程中碰到点 P，Q均视为落入框内)，设点M的横坐标为s，请求出s的取值范围。
图示
20．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究。
【图形定义】
若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形.且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”。
【概念理解】
（1）如图1，在四边形ABCD中， ∠BAD=∠BCD=90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE， CE。
求：①四边形ABCE　 　（填“是”或“不是”)腰分双等四边形；
②若∠AEC=90°， ∠ADC的度数为　 　°，∠ABC的度数为　 　。
（2）【性质探究】
如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心)，四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，过点 D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若CE=2，求△ABF的面积。
（3）【拓展应用】
如图3，在矩形ABCD中， AD=5，点E是其内部一点，点F是边 CD上一点，四边形AEFD 是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G，连接FG。若∠EFG 请直接写出 BG的长。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：| 3|＝3， （ 1）＝1，
且 2＜0＜ （ 1）＜| 3|，故 2最小；
故答案为：C．
【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可；
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵该斜坡的坡度为3：4，水平宽度AC＝80厘米，
∴BC＝AC＝×80＝60（厘米）．
故答案为：B．
【分析】根据坡度i＝，代入数据计算即可．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠4＝180° ∠3＝80°，
∵AC∥BD，
∴∠2＝∠4＝80°，
∵∠1＋∠2＝130°，
∴∠1＝130° ∠2＝50°，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质可得∠4＝80°，从而再利用平行线的性质可得∠2＝∠4＝80°，然后根据已知进行计算即可解答．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项分析判断如下：
A. 2a、3b不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B． a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
C．（ 2x）3＝ 8x3，故该选项正确，符合题意；
D．（m＋4n）（m 4n）＝m2 16n2，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的运算法则逐项分析判断即可．
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
依题意得：
故答案为：D．
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，a＞0，抛物线对称轴是x＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
故A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
b2 4ac＞0，
故C正确，不符合题意；
由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＝2，
故B正确，不符合题意；
根据图象可知：当x＞ 1，且在对称轴左侧时，y随x增大而减小，在对称轴右侧时，y随x增大而增大，故B错误，符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象与系数关系，逐项判断即可．
7．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵总高128米，圆心O到l的距离为73米，
∴半径为128 73＝55（米），
∵摩天轮匀速旋转一圈用时28分钟，轿厢从点A出发，7分钟后到达点B，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
∴该轿厢所经过的路径长度为：π（米）．
故答案为：A．
【分析】先求出摩天轮半径，再求出∠AOB＝90°，最后根据弧长公式求出结果即可．
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，过点A'作GH∥AD分别交AB，CD于点G，H，
∴∠A＝90°，AD⊥AB，AD⊥CD，
∴四边形ADHG是矩形，
∴AG＝DH，
设正方形的边长为3a，则AE＝a，BE＝2a，
∵将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，
∴∠EA'D＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'D＝AD＝3a，
∵GH∥AD，
∴∠A'GE＝∠A'HD＝90°，
∴∠GA'E＝90° ∠HA'D＝∠HDA'，
∴△A'EG∽△DA'H，
∴=，
设GE＝x，则A'H＝3x，
∴A'G＝3a 3x，
∴HD＝3A'G＝9a 9x，
∵AG＝DH，
∴a＋x＝9a 9x，
解得：x＝a，
∴GE＝a，HD＝a，
∴A'G＝HD＝a，1
∴A'H＝GH A'G＝3a6 a＝a，
∴=，
故答案为：A．
【分析】过点A'作GH∥AD分别交AB，CD于点G，H，证明△A'EG∽△DA'H，得出=，设GE＝x，则A'H＝3x，根据AG＝DH得出x＝a，进而根据三角形的面积公式求得S△A'BE、S△A'CD，再求比值，即可求解．
9．【答案】4
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵（a＋1）0有意义，
∴a＋1≠0，
解得：a≠ 1，
故a的一个值可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】根据零次幂的意义得底数不为0，求出a的取值范围，即可确定a的一个值．
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵传统节日有：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），共5个，其中有2个传统节日在正月，
∴抽到的节日在农历正月的概率为．
故答案为：．
【分析】根据一共有5个传统节日，其中有2个传统节日在正月，利用概率公式即可得到抽到的节日在农历正月的概率．
11．【答案】16
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵x y＝4，
∴x2 y2 8y
＝（x＋y）（x y） 8y
＝4（x＋y） 8y
＝4（x y）
＝4×4
＝16．
故答案为：16．
【分析】根据平方差公式得到x2 y2 8y＝（x＋y）（x y） 8y，整体代入可得原式＝4（x＋y） 8y＝4（x y），再整体代入即可求解．
12．【答案】24
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OD于点E，
由条件可得S△OCE＝×6＝3，
又∵△OCD的面积为6，
∴S△OCE＝S△DCE，
∴OE＝ED，
∴CE垂直平分OD，
∴CO＝CD，
∵AD⊥OD，CE⊥OD，
∴AD∥CE，
∴，
∴AC＝CO，
∴S△AOD＝2S△OCD＝12，
∵点A在y1＝，
∴k＝2S△AOD＝24，
故答案为：24．
【分析】过点C作CE⊥OD于点E，根据k的几何意义结合已知可得S△OCE＝S△DCE，进而证明AC＝CO，得出S△AOD＝2S△OCD＝12，进而根据k的几何意义，即可求解．
13．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AF⊥BC交BC于点O，且AO＝OF，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180° ∠BAC)＝30°，∠BAO＝∠CAO＝60°，
∴AC＝AB＝2OA＝2OF，
∴AC＝AF，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°到AE上，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，
∴∠FAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠FAD＝∠CAE，
在△ADF和△AEC中，
∴△ADF≌△AEC（SAS），
∴DF＝EC，
∵AF⊥BC，AO＝OF，
∴AD＝DF，
∴AE＝EC，
∴点E在AC的垂直平分线EH上，即AC⊥EH，
∴AH＝CH，∠EHC＝60°，
∴∠HAC＝∠ACB＝30°，
∴∠AHB＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAH＝90°，
如图，取BH的中点I，连接AI，GI，
∴AI＝BI＝IH＝BH，
∴△AHI是等边三角形，
∴∠AIH＝60°，
∵点G是BE的中点，
∴GI∥EH，
∴∠GIH＝∠EHC＝60°，
∴点A，G，I三点共线，
∴AI∥EH，
∴∠IAC＝90°，
∵DE⊥CE，DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠ADB＝180° ∠ADE ∠EDC＝75°，∠ACE＝∠ECD ∠ACD＝15°，
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝15°，
∴∠DAC＝∠DAE ∠EAC＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC ∠DAC＝75°，
∴AB＝BD，
又∵AE＝DE，
∴BE垂直平分AD，
∴AG＝GD，
∵∠GAC＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠GAC ∠DAC＝45°，
∴∠GDA＝∠GAD＝45°，
∴∠AGD＝90°，
∴△AGD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG2＋GD2＝AD2，即2AG2＝AD2＝EC2，
∴＝．
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BC交BC于点O，且AO＝OF，推出AC＝AF，证明出△ADF≌△AEC（SAS），得到DF＝EC，然后得到点E在AC的垂直平分线EH上，求出∠BAH＝90°，取BH的中点I，连接AI，GI，证明出点A，G，I三点共线，求出∠IAC＝90°，然后证明出BE垂直平分AD，得到AG＝GD，证明出△AGD是等腰直角三角形，进而利用勾股定理求解即可．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负指数幂、零指数幂、化简绝对值和特殊角的三角函数值进行化简，再进行加减计算即可．
15．【答案】解：原式
∵a-1≠0， （a-2)2≠0， （a-1)（a+1)≠0，
∴a≠±1和2，
∴a=0，
当a=0时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先算括号内的式子，然后计算出括号外的除法，再从 1，0，1，2中取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
16．【答案】（1）补图如下：
（2）72°
（3）4；1.65；2
（4）解：第2组最弱。
因为第2组的平均数、众数、中位数都比第1组和第3组的要低，可见该组同学对于该数学知识点掌握程度最弱。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，并根据《新课标》中的结果目标分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，则：
根据题意，得分3分的人数为：20 1 2 3 8＝6（人），
补图如下：
（2）根据题意，得360°×（1 10% 15% 25% 30%）＝72°．
故答案为：72°.
（3）根据题意，得4分出现的次数最多，故第1组的众数为a＝4分；
根据题意，得b＝0×30%＋1×25%＋2×15%＋3×10%＋4×20%
＝0＋0.25＋0.3＋0.3＋0.8＝1.65（分）；
根据题意，得分0分1人，1分3人，2分8人，3分6人，4分2人，
中位数是第10个，第11个数据的平均数，故c＝＝2（分）．
故答案为：4；1.65；2.
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，求解即可．
（2）利用圆心角计算公式计算即可．
（3）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可．
（4）比较中位数，平均数，众数求解即可．
17．【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，
根据题意得：
解得： x=110，
经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×110=165（件)。
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。
（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，
根据题意得： w=165m+110 （30-m) =55m+3300，
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30-m)，
解得： m≤20，
∵55>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m为正整数，
∴m最大取20，
∴当m=20时， w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天) 。
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30 m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．
18．【答案】（1）解：法1：如下图：作AB=CD， BC=CD，构造平行四边形ABCD。
法2：如下图：利用对角线互相平分作平行四边形ABCD。
法3，：如下图，作AB平行且等于CD，构造平行四边形ABCD。
如图所示，平行四边形ABCD为所求图形。
（2）证明：连接并延长AO 交BC 于点H，连接OC， OB，
∵AB=AC， OB=OC，
∴点 A 、点O 都在BC 的垂直平分线上，
∴AO 垂直平分BC， ∠OHB =90°
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OHB=∠OAD =90°，
∴AD⊥OA，
又∵OA 是⊙O 的半径，
∴AD 是⊙O 的切线。
（3）解：∵BC=AD=2， AO 垂直平分BC 交BC 于点H，
∵∠AHB=90°， AB=3，
∵OA=OB，
解得
∴⊙O 的半径长为
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；切线的判定；圆的综合题；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质：作AB＝CD，BC＝AD，构造平行四边形ABCD，即可求解；
（2）利用平行四边形的性质可知∠OAD＝90°即可判定；
（3）根据勾股定理即可求解．
19．【答案】解：任务1：当m=1.7时，
∴C（6， 2.7) ， B（0， 1.7) ，
∴设抛物线的表达式为
将点B （0， 1.7)代入，得
解得
∴抛物线的表达式为
任务2：球能越过球网，球不会出界；
理由：由（1）知，当m=1.7时，抛物线的表达式为
∵OE=9米，球网EF 高度为2.24米，
∴F （9， 2.24) ，
当x=9时，
∵2.45>2.24，
∴球能越过球网，
当y=0时，
解得：
∴球不会出界；
任务3：∵l2是与l1形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米，
∴设l2的表达式为
将点A （19， 0)代入，得（
解得： h1=13 （舍去) ， h2=25，
∴l2的表达式为
设点 M 的横坐标为s （s≥25)，
则
当 时，
解得： （舍去) ，
当 时，
解得： （舍去) ，
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x 6）2＋2.7，将点B（0，1.7）代入，即可求解；
（2）根据题意可得F（9，2.24），将x＝9代入解析式，求得函数值，与2.24比较大小，将y＝0代入解析式，求得D(6＋，0)，将横坐标与OA比较，即可求解．
（3）设l2的表达式为y＝ (x h)2＋1，点M的横坐标为s（s≥25），则Q(s，)，P(s＋2，)，分别将y＝，y＝代入解析式，求得s的值，结合题意，即可求出s的取值范围．
20．【答案】（1）是；45°；135°
（2）解：连接DB，过点A作AH⊥BF于点H，
∵四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，
∴AB=AF=AD=6，
∵正方形ABCD中， ∠BAD=90°，
∴同（1）可证， ∠BFD=135°，
∴∠EFD=45°，
∵DE⊥FE，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠CDB=45°，
∴∠BDF=∠CDE，
又
∴△BDF∽△CDE，
（3）解：或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴EB＝EA＝ED，
∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴EC＝EB＝ED，
∴EC＝EA，
∴四边形ABCE是腰分双等四边形，
故答案为：是；
②由题可知：EC＝ED，EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD，
∴∠AEB＝∠EDA＋∠EAD＝2∠EDA，∠CEB＝∠EDC＋ECD＝2∠EDC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠CEB＋∠AEB＝2（∠EDC＋∠EDA）＝90°，
∴∠ADC＝∠EDC＋∠EDA＝45°，
∴∠ABC＝360° ∠ADC ∠BAD ∠BCD＝135°，
故答案为：45，135；
（3）①当DA＝DE＝DF＝5，如图3，过点D作DH⊥EF，
∴∠DHF＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴DH∥FG，
∴∠CFG＝∠FDH，
∵tan∠CFG＝，
∴tan∠FDH＝，
∴sin∠FDH＝＝，
∴FH＝sin∠FDH×DF＝×5＝3，
∴EF＝2FH＝6，
由（2）同理可得，∠AEF＝135°，
∴∠FEG＝45°，
∴∠FGE＝45°，
∴FE＝GF＝6，
∴CG＝sin∠CFG×GF＝×6＝，
∴BG＝BC CG＝5 ＝；
②当DA＝DE＝FE＝5，如图4，过点E作EH⊥DC，EM⊥AB，EN⊥AD，
∵∠EHF＝∠EFG＝∠C＝90°，
∴∠HEF＋∠HFE＝90°，∠HFE＋∠CFG＝90°，
∴∠CFG＝∠HEF，
∴∠HEF＝∠HED＝∠EDN＝∠CFG，
∵tan∠CFG＝，
∴tan∠EDN＝，
∴sin∠EDN＝，
∴EN＝DE×sin∠EDN＝5×＝3，
∴EN＝DH＝HF＝3＝AM，
∴DN＝4，
∴AN＝5 4＝1＝EM，
∵∠NEA＝∠EAM，
∴tan∠EAM＝＝，
设CG＝3x，则CF＝4x，则BG＝5 3x，
∴CD＝AB＝6＋4x，
∴tan∠EAM＝＝＝，
解得：x＝（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴BG＝5 3x＝5 3×＝．
【分析】（1）①点E是BD的中点，可知EC＝EA，即可证明；
②根据三角形的外角定理可求解；
（2）由题可知△BDF∽△CDE，可得BF，根据勾股定理可得AG，进而可得面积；
（3）分类讨论，①当DA＝DE＝DF＝5，由平行线可知∠CFG＝∠FDH，根据锐角三角函数可知FH，CG，②当DA＝DE＝FE＝5，设CG＝3x，则CF＝4x，根据锐角三角函数即可求解.
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