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重庆市第八中学校2026届高三下学期强化训练（一）数学试卷
一、单选题
1．复数的共轭复数为
A． B． C． D．
2．设集合，则满足的不同集合共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3．点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
5．设函数 在 单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．5
8．已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在平行六面体中，底面是正方形，且，，则（ ）
A．
B．与所成的角为
C．
D．平行六面体的体积是
10．已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ）
A． B．
C．的渐近线方程为 D．的面积为
11．已知函数，则（ ）
A．当时，是的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．不存在整数，使得的最大值为2
D．当时，在上恰有个零点
三、填空题
12．函数在处的导数 _____.
13．已知等比数列 的各项都为正数，且 ， 则 的值为_____.
14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______．
四、解答题
15．重庆城市足球超级联赛（简称 “渝超”）引发了广泛关注. 某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格:
性别 不关注赛事 关注赛事
男性
女性
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “渝超” 赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望．
附:．
16．如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
17．设，其中是正整数，记的展开式中的系数为，的系数为 .
(1)求数列的通项公式:
(2)证明: ；
(3)是否存在等比数列和正数，使得对任意正整数 成立？若存在，求出通项和正数；若不存在，说明理由.
18．已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若平分，且，垂足为．
　求的取值范围；
　证明：存在定点，使得为定值．
19．已知函数，
(1)当 时，求 在的最小值；
(2)讨论 在区间 内 零点的个数；
(3)若存在，当时，总有成立，求符合条件的m的最小值．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．C
5．D
6．C
7．B
8．D
9．ACD
10．ABD
11．ACD
12．
13．4
14． 6 /0.25
15．（1）整理列联表数据如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性
女性
合计
根据卡方公式：
，
已知小概率值，对应临界值，
，
根据的独立性检验，认为关注 “渝超” 赛事与性别有关．
（2）关注赛事的市民中，男性人，女性人，性别比例，则抽取3人时，男性2人，女性1人；
表示顺利完成问答总人数，取值为：，
已知男性完成概率，未完成概率，女性完成概率，未完成概率，且相互独立；
则；
；
；
；
0 1 2 3
数学期望为：
．
16．（1）因为在四棱锥 中，四边形 是正方形，所以，
又平面 平面 ，且平面，所以平面 ，
因为平面 ，所以，
又，平面 ，
所以 平面 .
（2）
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因，则有，
因为 为 中点，，则，
，即得.
又，
设平面的法向量为，
则，故可取，
因平面过点，则得平面的方程为，
所以设，
，
设平面 的法向量为，
则，故可取，
设直线 与平面 所成的角为，因，
则，
由可得当时取得最大值为；当或6时取得最小值为，
所以直线 与平面 所成角的正弦值范围是.
17．（1）由题意可得；
（2）由题意可得，
设，，
因为，
所以得证；
（3）当时，，故，
由（2）可知，，
所以，
即
，
所以，.
18．（1）已知椭圆的下顶点，故，则，
离心率，则，解得，
椭圆的方程为：．
（2）
直线与椭圆联立得：
，设，
由韦达定理得，
已知平分，由到角公式可得：
①，
，，则
，整理得②，
，
代入②得，即，
整理得③，
把③代入直线得：，联立椭圆方程得：
，
已知直线与椭圆有两个交点，则
，
化简得，解得；
由可得，解得，
结合可得的方程：，
联立与的方程，代入，得，
解得，，
故，
设，则
，
，
，即，
，
化为标准方程得：，
故是以为圆心，为半径的圆，故存在定点，使得为定值．
19．（1）当时，，
求导得，
当时，，，故，
所以函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取最小值，
最小值为；
（2）令，由可得，且恒成立，
，
方程等价于，
显然，对应是函数一个零点，
因为对于任意的恒成立，
所以是奇函数，
当时，，
由得，
故在单调递增，，无零点，
由奇函数性质，在也无零点，
因此在上只有个零点；
（3）令（），原不等式等价于：
对任意，有 ，
设，则，所以函数为增函数，
又，所以当，且时，，即，
若，当，且时，，
存在充分小的使得不等式不成立；
若， 左边，
由为增函数可得，当时，，
所以当时，，又，此时，
当时，，，所以
所以当时，存在，当时，总有成立，
因此的最小值为；

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