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江苏省扬州市江都区八校联谊2025-2026学年第二学期九年级第一次阶段学情检测数学试卷
一、单选题
1．2026的绝对值是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上
B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2
C．要了解全市人民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法
D．随机抽取甲、乙两名同学的5次数学成绩，计算得平均分都是90分，方差分别是S2甲＝5，S2乙＝12，说明乙的成绩较为稳定
4．如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若点在y轴的负半轴上，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知三个实数a，b，c满足，则下列结论成立的是（　　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示_______．
10．因式分解：___________．
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．若，则的值为_____________．
13．如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度．

14．一次函数与的图像如图，则的解集是___________．
15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ，则扇形的面积为________．
16．如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____．
17．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______．
18．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为______．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．解不等式组 并写出不等式组的整数解．
21．某中学九年级为了迎接体育中考随机抽取部分学生，对抽取的学生每分钟跳绳个数进行调查，将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次被抽查的学生有_______名，其中“”对应扇形的圆心角为________度；
(2)请你补全条形统计图；
(3)若该校九年级有1000名学生，每分钟跳绳数量达到或超过170个为“优秀”，请你估计其中跳绳“优秀”的学生约有______名．
22．某款盲盒有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)从中任意抽取一张卡片，恰好是哪吒的概率为_______；
(2)将哪吒、敖丙组合或太乙真人、申公豹组合称为一套，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．
23．随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价．
24．如图，在中，于点，于点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
25．如图，中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
26．如图经过A、B、C三个格点，用无刻度直尺作图，用虚线表示．
(1)在图1中画的中点D；
(2)在图1中的上画一点E，连接，使；
(3)在图2中作平分线交于F．
27．如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标；
(3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值；
(4)当为等腰三角形时，直接写出的值．
28．【特例感知】
（1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________；
【类比迁移】
（2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值．
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．B
5．B
6．B
7．C
8．A
9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．4.8
18．
19．（1）解：
（2）解：
20．，整数解为整数解为、0、1．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
所以其整数解为、0、1．
21．（1）解：（名），
；
（2）解：个数在的人数有（名），
补全图如下：
（3）解：由题意得
（名），
故估计其中跳绳“优秀”的学生约有名．
22．（1）解：（抽到哪吒）．
（2）解：列表如下：
小明\小红
由表可知，共有种等可能的结果．
其中两张卡片恰好一套的结果有、、、，共种．
∴（抽到两张卡片恰好一套）．
23．单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元
解：假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元，
根据题意，得方程，
化简得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
则，
答：单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元．
24．（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，∵，，
∴．
在中，∵，，
∴，
∴．
25．（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴是的切线．
（2）解：∵点、在上，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴的长为．
26．（1）解：如图1，点D即为所作；
（2）解：如图1，点E和线段即为所作；
（3）解：如图，即为所作．
27．（1）解：∵二次函数的图象经过点、，
∴，解得，
∴二次函数表达式为；
（2）解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，
∵，
∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称，
∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．
设直线解析式为，
∵点、，
∴，解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：∵点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点坐标为，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，四边形面积的最大，最大值为4；
（4）解：如图，
∵，，，
∴，
，
，
∵为等腰三角形，
当时，，解得（均不合题意，舍去）；
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得．
综上所述，符合条件的的值或1．
28．解：（1）∵和是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴
∴；
（2），
证明：如图2，和是等腰直角三角形，
∴
∴即
∵，
∴，
即，
又∵
∴
∴，
∴
（3）如图3，过点作，使，连接，，，．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∴
∵，，
∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆．
∴当在的延长线上时，的值最大，
最大值为．

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