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广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，惠州作为赛事承办城市之一，将举办跆拳道、滑板、轮滑等赛事，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（深度求索）是由中国某AI公司开发的通用人工智能系统．截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．在 ， ， ， ， ， 这些数中，无理数的个数是（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（﹣a2b）3＝a6b3
C．a÷a＝0 D．3a2﹣a2＝2a4
5．学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（　　）
A．平均成绩高，成绩方差小 B．平均成绩低，成绩方差小
C．平均成绩低，成绩方差大 D．平均成绩高，成绩方差大
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色，在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是：
小明随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(　　)
A．6 B． C． D．
10．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．
二、填空题
11．多项式的次数是　 　．
12．关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
13．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为　 　．
14．5个全等的方块如图放置在中，则的值是　 　．
15．如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　 　
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分）
16．计算：
17．如图，是的外接圆，直径．
（1）以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，求证：是的切线．
18．2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（），B（），C（），D（），E（），F（）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值，信息如下：
A．视力频数分布表：
视力（x） A（） B（） C（） D（） E（） F（）
频数 5 8 9 m 7 n
B．D组的数据分别为：
4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）本次调查视力情况的中位数为______，视力正常的人数占被调查人数的百分比为______；
（3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价低万元，用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同．
（1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买型和型机器人模型共80台，购买型机器人模型不少于型机器人模型的2倍，商家给出型机器人在售价的基础上减免万元，型机器人在售价的基础上打七五折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？
20．综合与实践
某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据该活动报告完成后面的任务．
课题 用数学的眼光观察校园
调查方式 实地查看了解
调查内容 对象 校门口的隔离栏
平面图
数学眼光 各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）
相关数据 隔离栏长为2.6米，隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米
任务：
（1）请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．
（2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
21．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
23．综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形定义：轴对称图形是指沿一条直线对折后，两侧图形能够完全重合的图形。据此即可求解。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
3．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据题意， 和 是无理数，共两个；
故答案为：B．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a2 a3＝a5，故A正确.
Ｂ.（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故B错误.
Ｃ.a÷a＝1，故C错误.
Ｄ.3a2﹣a2＝2a2，故D错误．
故选答案为：A．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算即可得答案.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：依题意，整体优秀，要求平均分高；方差越小，波动性越小，越稳定．
∴最能体现班级成绩管理要求的是平均成绩高，成绩方差小，
故答案为：A
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．再对各选项逐一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示为：；
故选：C．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
7．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，可知
滴入酚酞试剂有2瓶溶液变红色．
∴随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是。
故答案为：A。
【分析】根据4瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液中一瓶是盐酸，呈酸性，一瓶是硝酸钾溶液，呈中性，一瓶是氢氧化钠溶液，呈碱性，一瓶是氢氧化钾溶液，呈碱性，然后再根据概率公式，即可求解。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：在函数中，
对称轴公式为．
∵二次函数中，
∴抛物线开口向下．
∴在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小．
∵点关于对称轴的对称点为．
∴三点，，横坐标满足，
根据函数在对称轴右侧随的增大而减小，可得，
即 ．
故答案为：D。
【分析】根据二次函数的对称轴公式，求出该函数的对称轴，然后再根据抛物线解析式，确定a的符号，从而可以得到抛物线的开口方向，然后再根据对称轴在抛物线上的位置，最后再根据抛物线的性质即可求解。
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】如图，过作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，，
在四边形中，，
，
，
，
又∵点是的中点，
∴，
在Rt中，，
故答案为：B．
【分析】过作于点，利用矩形的性质可证得DO=BO，同时可求出AD、CD的长；再证明EM∥BC，可证得，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理可求出EF的长.
10．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
观察图形得：
，
，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，圆面积公式，计算出空白①的面积，空白部分②的面积，即可得阴影部分的面积等正方形ABCD的面积于减去空白①的面积，再减去空白部分②的面积，再假期面积的一半计算即可得答案.
11．【答案】3
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵的次数是3，的次数是2，
∴多项式的次数是3，
故答案为：3．
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，
∴
解得：
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
13．【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得，多边形为六边形，
这个多边形的内角和为。
故答案为：
【分析】根据边形的内角和公式：，然后再代入数据即可求解。
14．【答案】1
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】利用平行线的性质可知，然后求出tan∠1·的值，可得到tan∠C的值.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：，
．
如图所示，，取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，的半径为，
连接，则当点在线段上时，取得最小值，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，可求出OG的长，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长.
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先计算的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，得，然后计算加减即可得答案.
17．【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）证明：连接
∵（同圆半径相等），
∴ ．
∴ ．
∵ ，
，
，
∴ ，
即 ．
∵是的半径，
∴是的切线。
【知识点】切线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据题干要求，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，然后交AC、AB于两点，以点C为圆心，以同样长为半径画弧，连接CP，即可求解。
（2）连接OC，根据OA=OC，可得，进而可求出的度数；又跟据 ，易得 ，然后再根据切线的判定定理，即可证明。
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：连接：
∵（同圆半径相等），
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵是的半径，
∴是的切线．
18．【答案】（1）14，7
（2）4.6，
（3）解：该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；
建议：
①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习惯；
②加强对电子产品进校园及使用的管控
【知识点】频数（率）分布表；中位数
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，组的频数为14，
则组的频数为：，
故答案为：14，7；
（2）组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，
根据组的数据可得第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6，
视力正常的人数占被调查人数的百分比为，
故答案为：4.6，14%。
【分析】（1）根据“ D（） ”和B和D的数据，即可确定D的频数；用50名学生减去A、B、C、D、E的频数，即可求出F的频数。
（2）先将D组的数据从小到大进行排列，然后再根据中位数的定义，求出中位数，然后再根据“ ”，即可求解。
（3）根据视力正常（）的人数占被调查人数的百分比提出建议即可。
（1）解：由题意可知，组的频数为14，
则组的频数为：，
故答案为：14，7；
（2）组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，
根据组的数据可得第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6，
视力正常的人数占被调查人数的百分比为，
故答案为：4.6，；
（3）该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；建议：①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习惯；②加强对电子产品进校园及使用的管控．（答案不唯一，合理即可）
19．【答案】（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x万元，可表示出B型编程机器人模型单价，关键已知条件为：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值．
（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元；
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元．
20．【答案】（1）解：建立的平面直角坐标系如解图所示
．
设抛物线的表达式为．
∵，
∴．
∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，
∴
，
将，代入，
得，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：，
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，
则，
解得．
故第7根与第8根的高度差为0.02米．
由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为0.02米．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
（1）建立如解图所示的平面直角坐标系，则点B（2.6，0），，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求函数解析式；
（2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，根据函数解析式分别表示对应的涂色高度，进而根据它们的差为0.02米，列方程，解方程即可．
（1）建立的平面直角坐标系如解图所示．
设抛物线的表达式为．
∵，
∴．
∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，
∴
，
将，代入，
得，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2），
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，
则，
解得．
故第7根与第8根的高度差为0.02米．
由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为0.02米．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
21．【答案】（1）解：如图，
矩形的顶点，点为对角线的中点，
，
把代入反比例函数得：，
反比例函数解析式为.
（2）解：连接，点在上，
当时，求得，
，
∴，，
.
（3）解：如图，
连接、，设，过点作，垂足为点，
反比例函数的图象与矩形的边交于点，
，解得，
，
点，
设，则：，，
根据折叠的性质得：，
在中，，即，解得：，
，
由折叠可知，
，，
，
，
，
设，则：，，
，解得：，
，
设直线的函数关系式为，代入和得：
，解得，
直线的函数关系式为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据顶点，点为对角线的中点，结合中点坐标公式即可得点的坐标为，把的坐标代入计算出即可得解.
（2）连接，当时，求得，可得到点，即可得，，根据三角形面积公式计算即可.
（3）连接、，设，过点作，垂足为点，根据已知求出点，设，
则：，，根据折叠的性质得，根据勾股定理列方程，解出得，进一步根据已知证明相似，即可得，设，则：，，即可得，解出得，设直线的函数关系式为，代入和，列出方程组解出即可得直线的函数关系式.
（1）解：矩形的顶点，点为对角线的中点，
，
把代入反比例函数得：，
反比例函数解析式为；
（2）解：连接，点在上，
当时，求得，
，，，
；
（3）解：连接、，设，
反比例函数的图象与矩形的边交于点，
，
解得，
，
点，
设，
，，
根据折叠的性质得，
在中，，
即，
解得：，
，
过点作，垂足为点，
由折叠可知，
，，
，
，
，
设，
，，
，
解得：，
，
设直线的函数关系式为，
代入和得：
，
解得，
直线的函数关系式为．
22．【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点
（2）结论：，
理由：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得BC=BD，同时可得到∠CBD的度数，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求表示出∠BDC的度数，由此可推出，利用等角对等边可证，利用余角的性质可证得∠1=∠2，然后证明CA=CE，即可证得结论.
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，易证∠ABC=∠HBD，利用SAS可证得△ABC≌△HBD，利用全等三角形的性质可推出AC=DH，∠BHD=∠A=α，同时可表示出∠FHD，利用平行线的性质去证明∠HGD=∠FHD，利用等角对等边可推出DG=DH=AC，据此可证得结论.
（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）①解：如图2，过作，交延长线于，过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
又于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；②；
（2）如图3，连接，
①平分，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
由①知：，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）②由①知：，，
F平分，
，
，由①知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：； ．
【分析】（1）①过作，交延长线于，过作于，则是底角为30°的等腰三角形，从而求出，再证明，得到，即，将，，代入解方程即可得解；
②利用角平分线的概念可表示出∠BAH，利用解直角三角形表示出AH、AG的长；再证明△GFB∽△AFC，利用相似三角形的性质，可表示出AF的长.
（2）①连接，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等分别得到，
，从而得到，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
②利用同弧所对的圆周角相等可证∠B=∠Q，∠BAP=∠PCQ，可证得，利用相似三角形的性质及（2）①的结论，可证得结论.
1 / 1广东省梅州市兴宁市实验学校、宁江中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，惠州作为赛事承办城市之一，将举办跆拳道、滑板、轮滑等赛事，下列给出的运动图片是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形定义：轴对称图形是指沿一条直线对折后，两侧图形能够完全重合的图形。据此即可求解。
2．（深度求索）是由中国某AI公司开发的通用人工智能系统．截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
3．在 ， ， ， ， ， 这些数中，无理数的个数是（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据题意， 和 是无理数，共两个；
故答案为：B．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（﹣a2b）3＝a6b3
C．a÷a＝0 D．3a2﹣a2＝2a4
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a2 a3＝a5，故A正确.
Ｂ.（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故B错误.
Ｃ.a÷a＝1，故C错误.
Ｄ.3a2﹣a2＝2a2，故D错误．
故选答案为：A．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算即可得答案.
5．学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（　　）
A．平均成绩高，成绩方差小 B．平均成绩低，成绩方差小
C．平均成绩低，成绩方差大 D．平均成绩高，成绩方差大
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：依题意，整体优秀，要求平均分高；方差越小，波动性越小，越稳定．
∴最能体现班级成绩管理要求的是平均成绩高，成绩方差小，
故答案为：A
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．再对各选项逐一判断即可.
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示为：；
故选：C．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
7．一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色，在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是：
小明随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，可知
滴入酚酞试剂有2瓶溶液变红色．
∴随机选取一瓶溶液并滴入酚酞试液，这瓶溶液变红的概率是。
故答案为：A。
【分析】根据4瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液中一瓶是盐酸，呈酸性，一瓶是硝酸钾溶液，呈中性，一瓶是氢氧化钠溶液，呈碱性，一瓶是氢氧化钾溶液，呈碱性，然后再根据概率公式，即可求解。
8．在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：在函数中，
对称轴公式为．
∵二次函数中，
∴抛物线开口向下．
∴在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减小．
∵点关于对称轴的对称点为．
∴三点，，横坐标满足，
根据函数在对称轴右侧随的增大而减小，可得，
即 ．
故答案为：D。
【分析】根据二次函数的对称轴公式，求出该函数的对称轴，然后再根据抛物线解析式，确定a的符号，从而可以得到抛物线的开口方向，然后再根据对称轴在抛物线上的位置，最后再根据抛物线的性质即可求解。
9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(　　)
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】如图，过作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，，
在四边形中，，
，
，
，
又∵点是的中点，
∴，
在Rt中，，
故答案为：B．
【分析】过作于点，利用矩形的性质可证得DO=BO，同时可求出AD、CD的长；再证明EM∥BC，可证得，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理可求出EF的长.
10．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
观察图形得：
，
，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，圆面积公式，计算出空白①的面积，空白部分②的面积，即可得阴影部分的面积等正方形ABCD的面积于减去空白①的面积，再减去空白部分②的面积，再假期面积的一半计算即可得答案.
二、填空题
11．多项式的次数是　 　．
【答案】3
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵的次数是3，的次数是2，
∴多项式的次数是3，
故答案为：3．
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解.
12．关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，
∴
解得：
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
13．如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得，多边形为六边形，
这个多边形的内角和为。
故答案为：
【分析】根据边形的内角和公式：，然后再代入数据即可求解。
14．5个全等的方块如图放置在中，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：．
故答案为：1.
【分析】利用平行线的性质可知，然后求出tan∠1·的值，可得到tan∠C的值.
15．如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是　 　
【答案】
【知识点】圆周角定理；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：，
．
如图所示，，取的中点，连接，则，
点在以为直径的上，的半径为，
连接，则当点在线段上时，取得最小值，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，可求出OG的长，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长.
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分）
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先计算的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，得，然后计算加减即可得答案.
17．如图，是的外接圆，直径．
（1）以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，求证：是的切线．
【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）证明：连接
∵（同圆半径相等），
∴ ．
∴ ．
∵ ，
，
，
∴ ，
即 ．
∵是的半径，
∴是的切线。
【知识点】切线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据题干要求，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，然后交AC、AB于两点，以点C为圆心，以同样长为半径画弧，连接CP，即可求解。
（2）连接OC，根据OA=OC，可得，进而可求出的度数；又跟据 ，易得 ，然后再根据切线的判定定理，即可证明。
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：连接：
∵（同圆半径相等），
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵是的半径，
∴是的切线．
18．2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（），B（），C（），D（），E（），F（）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值，信息如下：
A．视力频数分布表：
视力（x） A（） B（） C（） D（） E（） F（）
频数 5 8 9 m 7 n
B．D组的数据分别为：
4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）本次调查视力情况的中位数为______，视力正常的人数占被调查人数的百分比为______；
（3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】（1）14，7
（2）4.6，
（3）解：该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；
建议：
①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习惯；
②加强对电子产品进校园及使用的管控
【知识点】频数（率）分布表；中位数
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，组的频数为14，
则组的频数为：，
故答案为：14，7；
（2）组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，
根据组的数据可得第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6，
视力正常的人数占被调查人数的百分比为，
故答案为：4.6，14%。
【分析】（1）根据“ D（） ”和B和D的数据，即可确定D的频数；用50名学生减去A、B、C、D、E的频数，即可求出F的频数。
（2）先将D组的数据从小到大进行排列，然后再根据中位数的定义，求出中位数，然后再根据“ ”，即可求解。
（3）根据视力正常（）的人数占被调查人数的百分比提出建议即可。
（1）解：由题意可知，组的频数为14，
则组的频数为：，
故答案为：14，7；
（2）组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，
根据组的数据可得第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6，
视力正常的人数占被调查人数的百分比为，
故答案为：4.6，；
（3）该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；建议：①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习惯；②加强对电子产品进校园及使用的管控．（答案不唯一，合理即可）
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了，两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价低万元，用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同．
（1）求型，型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买型和型机器人模型共80台，购买型机器人模型不少于型机器人模型的2倍，商家给出型机器人在售价的基础上减免万元，型机器人在售价的基础上打七五折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x万元，可表示出B型编程机器人模型单价，关键已知条件为：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值．
（1）解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为万元，种健身器材每套的售价为2万元；
（2）设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值元
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为117.4元．
20．综合与实践
某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据该活动报告完成后面的任务．
课题 用数学的眼光观察校园
调查方式 实地查看了解
调查内容 对象 校门口的隔离栏
平面图
数学眼光 各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）
相关数据 隔离栏长为2.6米，隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米
任务：
（1）请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．
（2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
【答案】（1）解：建立的平面直角坐标系如解图所示
．
设抛物线的表达式为．
∵，
∴．
∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，
∴
，
将，代入，
得，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：，
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，
则，
解得．
故第7根与第8根的高度差为0.02米．
由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为0.02米．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
（1）建立如解图所示的平面直角坐标系，则点B（2.6，0），，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求函数解析式；
（2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，根据函数解析式分别表示对应的涂色高度，进而根据它们的差为0.02米，列方程，解方程即可．
（1）建立的平面直角坐标系如解图所示．
设抛物线的表达式为．
∵，
∴．
∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，
∴
，
将，代入，
得，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2），
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，
则，
解得．
故第7根与第8根的高度差为0.02米．
由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为0.02米．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
21．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式．
【答案】（1）解：如图，
矩形的顶点，点为对角线的中点，
，
把代入反比例函数得：，
反比例函数解析式为.
（2）解：连接，点在上，
当时，求得，
，
∴，，
.
（3）解：如图，
连接、，设，过点作，垂足为点，
反比例函数的图象与矩形的边交于点，
，解得，
，
点，
设，则：，，
根据折叠的性质得：，
在中，，即，解得：，
，
由折叠可知，
，，
，
，
，
设，则：，，
，解得：，
，
设直线的函数关系式为，代入和得：
，解得，
直线的函数关系式为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据顶点，点为对角线的中点，结合中点坐标公式即可得点的坐标为，把的坐标代入计算出即可得解.
（2）连接，当时，求得，可得到点，即可得，，根据三角形面积公式计算即可.
（3）连接、，设，过点作，垂足为点，根据已知求出点，设，
则：，，根据折叠的性质得，根据勾股定理列方程，解出得，进一步根据已知证明相似，即可得，设，则：，，即可得，解出得，设直线的函数关系式为，代入和，列出方程组解出即可得直线的函数关系式.
（1）解：矩形的顶点，点为对角线的中点，
，
把代入反比例函数得：，
反比例函数解析式为；
（2）解：连接，点在上，
当时，求得，
，，，
；
（3）解：连接、，设，
反比例函数的图象与矩形的边交于点，
，
解得，
，
点，
设，
，，
根据折叠的性质得，
在中，，
即，
解得：，
，
过点作，垂足为点，
由折叠可知，
，，
，
，
，
设，
，，
，
解得：，
，
设直线的函数关系式为，
代入和得：
，
解得，
直线的函数关系式为．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点
（2）结论：，
理由：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得BC=BD，同时可得到∠CBD的度数，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求表示出∠BDC的度数，由此可推出，利用等角对等边可证，利用余角的性质可证得∠1=∠2，然后证明CA=CE，即可证得结论.
（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，易证∠ABC=∠HBD，利用SAS可证得△ABC≌△HBD，利用全等三角形的性质可推出AC=DH，∠BHD=∠A=α，同时可表示出∠FHD，利用平行线的性质去证明∠HGD=∠FHD，利用等角对等边可推出DG=DH=AC，据此可证得结论.
（1）证明：连接，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．综合与实践
【问题提出】
小明在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在中，已知，的长，求边上中线的取值范围．他用“倍长中线”的方法构造全等三角形，即延长至点，使，再连接，得到一对全等三角形，最终解决了问题．
下课后小明继续思考，已知三角形中两边的长，是否能求夹角的角平分线？如果不能，那满足什么样的条件能求？
【探究发现】
（1）小明设计了这样的问题：如图2，在中，已知，，平分．若，求的长．他的方法是过点作的平行线，交的延长线于点．
①求的长．
②若，，，则__________．(用含，，的代数式表示)
【拓展延伸】
（2）老师看到小明的研究后告诉他，求三角形角平分线还可以借助圆的知识来解决．如图3，作的外接圆，的平分线交于点，交于点．
①已知，，求的值．
②求证：．
【答案】（1）①解：如图2，过作，交延长线于，过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
又于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；②；
（2）如图3，连接，
①平分，
，
，
，
，
；
②证明：，，
，
，
，
由①知：，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）②由①知：，，
F平分，
，
，由①知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：； ．
【分析】（1）①过作，交延长线于，过作于，则是底角为30°的等腰三角形，从而求出，再证明，得到，即，将，，代入解方程即可得解；
②利用角平分线的概念可表示出∠BAH，利用解直角三角形表示出AH、AG的长；再证明△GFB∽△AFC，利用相似三角形的性质，可表示出AF的长.
（2）①连接，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等分别得到，
，从而得到，利用相似三角形的对应边成比例求解即可．
②利用同弧所对的圆周角相等可证∠B=∠Q，∠BAP=∠PCQ，可证得，利用相似三角形的性质及（2）①的结论，可证得结论.
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