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广东省湛江市雷州市九年级四校三模联考2025年数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（　　）
A．1 B． C． D．2024
2．珠海长隆海洋王国的鲸鲨馆水体量约为立方米，将用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　)
A． B．1 C． D．
7．下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
8．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，是的内接三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．计算：　 　．
13．甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是　 　．
14． 若，则　 　．
15．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是　 　（填序号即可）
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．计算：
17．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点．
（1）填空：直线是的___________；
（2）求证：．
18．黄梅戏是“中国五大戏曲剧种”之一，也是安徽省的主要地方戏曲剧种．为激发学生对黄梅戏的热爱，某校举行黄梅戏演唱比赛，将全部参赛选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制了如下频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：频数分布直方图中，________，扇形统计图中，圆心角________；
（2）A，B，C，D，E这五组数据的平均数分别为77，82，87，92，97，计算全部参赛选手成绩的平均分；
（3）在E组的选手中有男生1名，女生3名，学校打算从这4名选手中随机选取2名参加市级比赛，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进．
（1）求水果店购进第一批鲜桃的数量；
（2）注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过．
①求的值；
②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元．
20．综合与实践
问题背景：
如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．
数据收集：
车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐．
问题解决：
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求点到地面的距离．
（2）若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数图像上的一点，以点P为圆心，长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求证：P为线段的中点；
（2）若，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线向上平移若干个单位长度后与相切，求平移后的直线的表达式．
五、解答题（13+14，共27分）
22．为四边形内一点，，，．
（1）如图1，，求证：．
（2）如图2，为的中点，且．
（i）求的值；
（ii）求证：．
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标的原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标，点B的坐标．
（1）求、的值；
（2）如图1，点在线段上，过点作轴交抛物线于点、两点（点在点右侧），连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、，，点M为第一象限内点左侧抛物线上一点，连接、，点是线段的中点，连接．，点为第一象限内一点，连接、，，过点作于H，，过点作交x轴于点，求直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零指数幂；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、1是有理数，故Ａ错误.
B、是无理数，故Ｂ正确.
C、是有理数，故Ｃ错误.
D、2024是有理数，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据无理数的概念，零指数幂即可得1是有理数，是无理数，是有理数，2024是有理数，即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为（大于或等于1且小于，是正整数）；的值为小数点向左移动的位数．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，故Ｂ正确.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，结合题目图形即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ正确.
D、，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据同底数幂乘除法，幂的乘方计算得，，，，即可得答案.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去分母，得
移项，得
合并同类项，得，
化系数为1，得，
解集在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】把去分母、移项、合并同类项、化系数为1，解集在数轴上表示出来即可求解．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求余弦值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AED与∠ABC都对，
∴∠AED＝∠ABC，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，
根据勾股定理得：BC＝，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠ABC等于∠AED，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC＝，再根据锐角三角函数定义可得相等，代入数据即可得cos∠AED的值．
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴图象经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，
故答案为：A．
【分析】当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小即可得的大小.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等积变换
【解析】【解答】解：由轴对称的性质可得，
∴分别平分，
∴点E到和到的距离相等，
设点E到的距离为h，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据轴对称的性质可得，得出点E到和到的距离相等，利用等面积法可证明，，证明，求出，再证明，得到，从而得出，化简即可得出．
11．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】在函数中，
∵分式的分母不能为0，
∴，解得：，
∴自变量的取值范围是．
故答案为：．
【分析】在函数中，根据分式有意义的条件得，解出即可.
12．【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】根据零指数幂，立方根的定义计算即可得答案.
13．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩波动最大，最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】本题主要考查方差的意义。方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。在本题中，通过比较甲、乙、丙三名同学跳远成绩的方差大小，从而判断出成绩最不稳定的同学．
14．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．【答案】①②③④
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，故①正确.
∵G是的中点，
∴，故②正确.
∴，
∴
∵
∴
∴，故③正确.
作交于点H，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】连接，根据矩形性质得等于，再根据勾股定理结合，得，可判断①正确，根据G是的中点，得等于的一半，即可判断②，根据相等得相等，再根据平行，即可得等于，即可得相等，可判断③，作交于点H，则相似，即可得相等，根据，即可得等于等于，即可证明全等，根据全等性质得相等，等于的，即可证明相似，即可得平行，即可得，可判断④正确.
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】计算的乘法，负整数指数幂，绝对值得，进一步计算即可得答案.
17．【答案】（1）垂直平分线
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：由作图方法可得直线是的垂直平分线
故答案为：垂直平分线
【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由作图方法可得直线是的垂直平分线；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）；
（2）解：根据题意得：
（分）
∴全部参赛选手成绩的平均分为分.
（3）解；画树状图如下：
由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算
【解析】解：（1）根据题意得：人，
∴参与比赛的人数为40人，
∴，，
故答案为：；.
【分析】（1）用E组的人数除以E组的百分数即可求出参与比赛的人数，再用参与调查的人数乘以C组的百分数即可求出m，用360度乘以D组的百分数可求出对应的圆心角度数.
（2）根据平均数得计算公式代入计算即可得全部参赛选手成绩的平均分为分.
（3）根据题目情境画树状图，由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，代入概率公式即可得恰好是一名男生和一名女生的概率为.
（1）解：人，
∴参与比赛的人数为40人，
∴，；
（2）解：分；
答：全部参赛选手成绩的平均分为分；
（3）解；画树状图如下：
由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为
19．【答案】（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，
∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为，
根据题意得，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴第一批鲜桃的数量为；
（2）解：①前两天每天销售，剩余，
∵第二批鲜桃的数量为，
∴总剩余数量为，
降价后，每天销售，两天共销售，
根据题意得，解得；
∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量，
∴取；
②总成本为元，
总收入为
，
∴前后一共获利：元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，根据“第二批批鲜桃多购进”列分式方程，解方程即可求出答案.
（2）①求得总剩余数量为，降价后，每天销售，根据“剩下量不超过”列不等式，解不等式即可求出答案.
②利用总收入减去总支出列式计算即可求出答案.
（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，
∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为，
根据题意得，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴第一批鲜桃的数量为；
（2）解：①前两天每天销售，剩余，
∵第二批鲜桃的数量为，
∴总剩余数量为，
降价后，每天销售，两天共销售，
根据题意得，解得；
∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量，
∴取；
②总成本为元，
总收入为
，
∴前后一共获利：元．
20．【答案】（1）解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，
点的坐标为．
可设横截面所在抛物线的表达式为．
车棚与支柱的交点到地面的距离为，
点的坐标为．
把，得．
解得．
横截面所在抛物线的表达式为．
棚顶右端点距离支柱的水平距离是，
点的横坐标为6，
把，
得．
点到地面的距离为．
（2）解：该货车能完全停到车棚内．理由如下：
．
把，
得．
∴．
，
该货车能完全停到车棚内．
【知识点】二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意易得抛物线顶点P(4，3)，点A(0，2)， 故求横截面APB所在抛物线的表达式时，利用设顶点式法求出抛物线的解析式 ；易得点B的横坐标为6，然后将x=6代入所求的函数解析式算出对应的函数值即可得出答案；
（2）要判断货车能否完全停在车棚内，需要分析货车右侧顶点到点OQ的距离为6-5=1，然后把x=1代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值为，进而求出2.4375与货车高度的差与0.2比较即可得出结论.
（1）解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，
点的坐标为．
可设横截面所在抛物线的表达式为．
车棚与支柱的交点到地面的距离为，
点的坐标为．
把，得．
解得．
横截面所在抛物线的表达式为．
棚顶右端点距离支柱的水平距离是，
点的横坐标为6，
把，
得．
点到地面的距离为．
（2）解：该货车能完全停到车棚内．
理由：．
把，
得．
∴．
，
该货车能完全停到车棚内．
21．【答案】（1）解：点A，O，B在上，且，
为的直径，
又；
为线段的中点．
（2）解：过点作，
设点的坐标为，则，．
∵，
∴
，
，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
（3）解：如图，过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线．
由（2）可得：，，
，，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得
直线的表达式为，
如图，过点作于点，则，．
，
，
，
，
，
．
直线是由直线向上平移个单位长度得到的．
直线的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；切线的性质；解直角三角形；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得AB为的直径，再根据线段中点即可求出答案.
（2）过点作，设点的坐标为，则，，根据边之间的关系可得AC，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线，由（2）可得：，，根据点的坐标可得，，根据两点间距离可得AB，设直线的表达式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线的表达式为，过点作于点，则，，根据角之间的关系可得，根据正切定义可得BG，根据勾股定理可得BF，再根据函数图象的平移性质即可求出答案.
（1）解：点A，O，B在上，且，
为的直径，
又；
为线段的中点．
（2）过点作，
设点的坐标为，则，．
∵，
∴
，
，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
（3）如图，过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线．
由（2）可得：，，
，，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得
直线的表达式为，
如图，过点作于点，则，．
，
，
，
，
，
．
直线是由直线向上平移个单位长度得到的．
直线的函数表达式为．
22．【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：（i）如图2，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
证明：（ii）如图，
延长至点，使，
∵为的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 根据等于，和为，即可得相等，再根据相等，相等，即可得全等，根据全等三角形的性质可得相等.
（2）（i）根据和为，和为，相等，即可得相等，再根据相等，即可证明相似，即可得相等，代入数据即可得.
（ii）延长至点，使相等，根据为的中点，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质相等，相等，进而可求得相等，继而证得全等，求得相等，进一步证得相似，即可得.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）（i）解：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，，
∴．
（ii）证明：延长至点，使，
∵为的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，即，
∴．
23．【答案】（1）解：∵点A的坐标，点B的坐标
∴.
∴、的值为2、3.
（2）解：∵点的横坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴与的函数解析式为.
（3）解：如图，
过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，
∵，点D为抛物线的顶点，
∴，，
设，
∵，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，解得：，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，，
当时，，则，
∴不符合题意，舍去，
∴时，，，符合题意，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，，
解得：，
∴，，
∵点是线段ME的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标，点B的坐标，根据待定系数法即可得一般式，根据解析式即可得、的值为2、3.
（2）点的横坐标为，，，得，，，
即可得，根据面积公式即可得与的函数解析式为.
（3）过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，根据解析式得出，，根据，利用两点间距离公式得出，利用证明全等，得出相等，进而得出等于，求出相等，即可证明相似，根据相似三角形的性质，结合等于，得出等于，等于，等于，即可证明相似，开得出等于，利用勾股定理得出等于，等于，证明相似，得出，设，根据中点坐标公式得出，利用待定系数法，用表示直线、的，根据列式求出，，即可得出直线的，即可得答案.
（1）解：∵点A的坐标，点B的坐标
∴；
（2）解：∵点的横坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，
∵，点D为抛物线的顶点，
∴，，
设，
∵，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，，
当时，，则，
∴不符合题意，舍去，
∴时，，，符合题意，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，，
解得：，
∴，，
∵点是线段ME的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为．
1 / 1广东省湛江市雷州市九年级四校三模联考2025年数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（　　）
A．1 B． C． D．2024
【答案】B
【知识点】零指数幂；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、1是有理数，故Ａ错误.
B、是无理数，故Ｂ正确.
C、是有理数，故Ｃ错误.
D、2024是有理数，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据无理数的概念，零指数幂即可得1是有理数，是无理数，是有理数，2024是有理数，即可得答案.
2．珠海长隆海洋王国的鲸鲨馆水体量约为立方米，将用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为（大于或等于1且小于，是正整数）；的值为小数点向左移动的位数．
3．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，故Ｂ正确.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，结合题目图形即可得答案.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ正确.
D、，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据同底数幂乘除法，幂的乘方计算得，，，，即可得答案.
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
去分母，得
移项，得
合并同类项，得，
化系数为1，得，
解集在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】把去分母、移项、合并同类项、化系数为1，解集在数轴上表示出来即可求解．
6．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　)
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求余弦值；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
∵∠AED与∠ABC都对，
∴∠AED＝∠ABC，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，
根据勾股定理得：BC＝，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠ABC等于∠AED，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC＝，再根据锐角三角函数定义可得相等，代入数据即可得cos∠AED的值．
7．下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
8．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴图象经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，
故答案为：A．
【分析】当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小即可得的大小.
9．如图，是的内接三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等积变换
【解析】【解答】解：由轴对称的性质可得，
∴分别平分，
∴点E到和到的距离相等，
设点E到的距离为h，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据轴对称的性质可得，得出点E到和到的距离相等，利用等面积法可证明，，证明，求出，再证明，得到，从而得出，化简即可得出．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】在函数中，
∵分式的分母不能为0，
∴，解得：，
∴自变量的取值范围是．
故答案为：．
【分析】在函数中，根据分式有意义的条件得，解出即可.
12．计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】根据零指数幂，立方根的定义计算即可得答案.
13．甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是　 　．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩波动最大，最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】本题主要考查方差的意义。方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。在本题中，通过比较甲、乙、丙三名同学跳远成绩的方差大小，从而判断出成绩最不稳定的同学．
14． 若，则　 　．
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是　 　（填序号即可）
【答案】①②③④
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，故①正确.
∵G是的中点，
∴，故②正确.
∴，
∴
∵
∴
∴，故③正确.
作交于点H，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】连接，根据矩形性质得等于，再根据勾股定理结合，得，可判断①正确，根据G是的中点，得等于的一半，即可判断②，根据相等得相等，再根据平行，即可得等于，即可得相等，可判断③，作交于点H，则相似，即可得相等，根据，即可得等于等于，即可证明全等，根据全等性质得相等，等于的，即可证明相似，即可得平行，即可得，可判断④正确.
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．计算：
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】计算的乘法，负整数指数幂，绝对值得，进一步计算即可得答案.
17．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点．
（1）填空：直线是的___________；
（2）求证：．
【答案】（1）垂直平分线
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：由作图方法可得直线是的垂直平分线
故答案为：垂直平分线
【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由作图方法可得直线是的垂直平分线；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．黄梅戏是“中国五大戏曲剧种”之一，也是安徽省的主要地方戏曲剧种．为激发学生对黄梅戏的热爱，某校举行黄梅戏演唱比赛，将全部参赛选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制了如下频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：频数分布直方图中，________，扇形统计图中，圆心角________；
（2）A，B，C，D，E这五组数据的平均数分别为77，82，87，92，97，计算全部参赛选手成绩的平均分；
（3）在E组的选手中有男生1名，女生3名，学校打算从这4名选手中随机选取2名参加市级比赛，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意得：
（分）
∴全部参赛选手成绩的平均分为分.
（3）解；画树状图如下：
由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算
【解析】解：（1）根据题意得：人，
∴参与比赛的人数为40人，
∴，，
故答案为：；.
【分析】（1）用E组的人数除以E组的百分数即可求出参与比赛的人数，再用参与调查的人数乘以C组的百分数即可求出m，用360度乘以D组的百分数可求出对应的圆心角度数.
（2）根据平均数得计算公式代入计算即可得全部参赛选手成绩的平均分为分.
（3）根据题目情境画树状图，由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，代入概率公式即可得恰好是一名男生和一名女生的概率为.
（1）解：人，
∴参与比赛的人数为40人，
∴，；
（2）解：分；
答：全部参赛选手成绩的平均分为分；
（3）解；画树状图如下：
由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进．
（1）求水果店购进第一批鲜桃的数量；
（2）注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过．
①求的值；
②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元．
【答案】（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，
∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为，
根据题意得，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴第一批鲜桃的数量为；
（2）解：①前两天每天销售，剩余，
∵第二批鲜桃的数量为，
∴总剩余数量为，
降价后，每天销售，两天共销售，
根据题意得，解得；
∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量，
∴取；
②总成本为元，
总收入为
，
∴前后一共获利：元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，根据“第二批批鲜桃多购进”列分式方程，解方程即可求出答案.
（2）①求得总剩余数量为，降价后，每天销售，根据“剩下量不超过”列不等式，解不等式即可求出答案.
②利用总收入减去总支出列式计算即可求出答案.
（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，
∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为，
根据题意得，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴第一批鲜桃的数量为；
（2）解：①前两天每天销售，剩余，
∵第二批鲜桃的数量为，
∴总剩余数量为，
降价后，每天销售，两天共销售，
根据题意得，解得；
∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量，
∴取；
②总成本为元，
总收入为
，
∴前后一共获利：元．
20．综合与实践
问题背景：
如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．
数据收集：
车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐．
问题解决：
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求点到地面的距离．
（2）若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由．
【答案】（1）解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，
点的坐标为．
可设横截面所在抛物线的表达式为．
车棚与支柱的交点到地面的距离为，
点的坐标为．
把，得．
解得．
横截面所在抛物线的表达式为．
棚顶右端点距离支柱的水平距离是，
点的横坐标为6，
把，
得．
点到地面的距离为．
（2）解：该货车能完全停到车棚内．理由如下：
．
把，
得．
∴．
，
该货车能完全停到车棚内．
【知识点】二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意易得抛物线顶点P(4，3)，点A(0，2)， 故求横截面APB所在抛物线的表达式时，利用设顶点式法求出抛物线的解析式 ；易得点B的横坐标为6，然后将x=6代入所求的函数解析式算出对应的函数值即可得出答案；
（2）要判断货车能否完全停在车棚内，需要分析货车右侧顶点到点OQ的距离为6-5=1，然后把x=1代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值为，进而求出2.4375与货车高度的差与0.2比较即可得出结论.
（1）解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，
点的坐标为．
可设横截面所在抛物线的表达式为．
车棚与支柱的交点到地面的距离为，
点的坐标为．
把，得．
解得．
横截面所在抛物线的表达式为．
棚顶右端点距离支柱的水平距离是，
点的横坐标为6，
把，
得．
点到地面的距离为．
（2）解：该货车能完全停到车棚内．
理由：．
把，
得．
∴．
，
该货车能完全停到车棚内．
21．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数图像上的一点，以点P为圆心，长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接．
（1）求证：P为线段的中点；
（2）若，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线向上平移若干个单位长度后与相切，求平移后的直线的表达式．
【答案】（1）解：点A，O，B在上，且，
为的直径，
又；
为线段的中点．
（2）解：过点作，
设点的坐标为，则，．
∵，
∴
，
，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
（3）解：如图，过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线．
由（2）可得：，，
，，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得
直线的表达式为，
如图，过点作于点，则，．
，
，
，
，
，
．
直线是由直线向上平移个单位长度得到的．
直线的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；切线的性质；解直角三角形；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得AB为的直径，再根据线段中点即可求出答案.
（2）过点作，设点的坐标为，则，，根据边之间的关系可得AC，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线，由（2）可得：，，根据点的坐标可得，，根据两点间距离可得AB，设直线的表达式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线的表达式为，过点作于点，则，，根据角之间的关系可得，根据正切定义可得BG，根据勾股定理可得BF，再根据函数图象的平移性质即可求出答案.
（1）解：点A，O，B在上，且，
为的直径，
又；
为线段的中点．
（2）过点作，
设点的坐标为，则，．
∵，
∴
，
，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
（3）如图，过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线．
由（2）可得：，，
，，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得
直线的表达式为，
如图，过点作于点，则，．
，
，
，
，
，
．
直线是由直线向上平移个单位长度得到的．
直线的函数表达式为．
五、解答题（13+14，共27分）
22．为四边形内一点，，，．
（1）如图1，，求证：．
（2）如图2，为的中点，且．
（i）求的值；
（ii）求证：．
【答案】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：（i）如图2，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
证明：（ii）如图，
延长至点，使，
∵为的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 根据等于，和为，即可得相等，再根据相等，相等，即可得全等，根据全等三角形的性质可得相等.
（2）（i）根据和为，和为，相等，即可得相等，再根据相等，即可证明相似，即可得相等，代入数据即可得.
（ii）延长至点，使相等，根据为的中点，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质相等，相等，进而可求得相等，继而证得全等，求得相等，进一步证得相似，即可得.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）（i）解：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，，
∴．
（ii）证明：延长至点，使，
∵为的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，即，
∴．
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标的原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标，点B的坐标．
（1）求、的值；
（2）如图1，点在线段上，过点作轴交抛物线于点、两点（点在点右侧），连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、，，点M为第一象限内点左侧抛物线上一点，连接、，点是线段的中点，连接．，点为第一象限内一点，连接、，，过点作于H，，过点作交x轴于点，求直线的解析式．
【答案】（1）解：∵点A的坐标，点B的坐标
∴.
∴、的值为2、3.
（2）解：∵点的横坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴与的函数解析式为.
（3）解：如图，
过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，
∵，点D为抛物线的顶点，
∴，，
设，
∵，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，解得：，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，，
当时，，则，
∴不符合题意，舍去，
∴时，，，符合题意，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，，
解得：，
∴，，
∵点是线段ME的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标，点B的坐标，根据待定系数法即可得一般式，根据解析式即可得、的值为2、3.
（2）点的横坐标为，，，得，，，
即可得，根据面积公式即可得与的函数解析式为.
（3）过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，根据解析式得出，，根据，利用两点间距离公式得出，利用证明全等，得出相等，进而得出等于，求出相等，即可证明相似，根据相似三角形的性质，结合等于，得出等于，等于，等于，即可证明相似，开得出等于，利用勾股定理得出等于，等于，证明相似，得出，设，根据中点坐标公式得出，利用待定系数法，用表示直线、的，根据列式求出，，即可得出直线的，即可得答案.
（1）解：∵点A的坐标，点B的坐标
∴；
（2）解：∵点的横坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，
∵，点D为抛物线的顶点，
∴，，
设，
∵，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，，
当时，，则，
∴不符合题意，舍去，
∴时，，，符合题意，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，，
解得：，
∴，，
∵点是线段ME的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为．
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