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广东省深圳市龙岗区实验中学2025-2026学年度七年级第二学期数学周测试卷2
1． 已知 与 互为余角，若 ，则 的补角的大小为（　　)
A． B．110° C．140° D．
2． 计算 的结果，正确的是（　　)
A．m B． C． D．
3．如图， ，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（　　)
A．线段 AC 的长度 B．线段 CB 的长度
C．线段 CD 的长度 D．线段 AD 的长度
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（　　）
A． B． C． D．
5． 如图，下列条件中，不能判断 的是（　　)
A． B．
C． D．
6． 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务. 如图是共享单车示意图，AM//BC. 已知 ，则 的度数为（　　)
A．50° B．56° C．70° D．
7． 如图所示，刘师傅为了检验门框 AB 是否垂直于水平地面，在门框 AB 的上端 A 处用细线悬挂一铅锤，看门框 AB 是否与铅锤线重合. 若门框 AB 垂直于地面，则 AB 会重合于 AE，否则 AB 与 AE 不重合.下面可以说明这个道理的数学知识是（　　)
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过两点有且只有一条直线
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短
8．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（　　）．
A．512 B．128 C．64 D．32
9．已知则=　 　.
10． 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏. 如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜. 若四位投壶者分别站在直线 1 上的点 A， B， C， D 处往点 P 处的壶内投箭矢， 小明认为站在点 C 处的投壶者更容易获胜， 其中蕴含的数学道理是　 　.
11． 如图，将长方形纸条折叠，若 ，则 　 　。
12．如图， 运河堤公路沿高邮湖边修建时， 需要拐弯绕道而过， 经过三次拐弯，这时的公路 DE 恰好与第一次拐弯前的公路 AB 平行， 若 ，则 的度数为　 　。
13． 将两块不同的三角尺按如图 1 所示的方式摆放，AC 边重合， . 保持三角尺 ABC 不动（如图 2)，将三角尺 ACD 绕着点 C 顺时针转动 后停止. 在转动的过程中当三角尺 ACD 有一条边与三角尺 ABC 的一条边恰好平行时， 的度数为　 　
图1
图2
14． 计算：
（1）
（2）
15． 中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图 1 是一个“九”字，如图 2 是由图 1 抽象出的几何图形，其中 ，且 . 求证： .
在下列括号内填写推理过程或依据：
证明： （已知)，
（　　)，
又 （已知)，
▲ （等量代换)，
又 ▲ （已知)，
（　　)，
又 ▲ （平角的定义)，
（　　).
16． 已知：如图，点D，E 分别在 和 上， 平分 ， ， 求证： DE//BC.
17． 图 1 是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成. 图 2 是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中 BC 为转动杆 CD 为水平杆， 当转动杆 BC 转动时， CD 杆始终保持水平，即 CD//AE. 已知 BA⊥AE.
（1）如图3，当转动杆 转动到 三点在同一条直线上时，BD’//AE，若 ，求 的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式).
（已知)，
（ ▲ )（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，
（ ▲ ) （　　)，
（2）如图2，在转动杆 转动过程中， 的大小是否发生改变？
若变化， 请说明理由； 若不变， 请求出它的大小。
18．【问题】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？
【问题探究】已知 的两边和 的两边分别平行.
（1）同学甲画出如图 1 所示的图形， ， ，通过测量，猜想 ，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；
（2）同学乙在探究中发现存在 的情况，在图 2 中画出一个以点 0 为顶点且满足条件的 ，直接写出此时 和 的数量关系为　 　；
（3）归纳结论：如果一个角两边分别与另一个角两边平行，那么这两个角　 　或　 　.
【结论应用】已知 的两边分别与 的两边平行，则 和 的角平分线所在直线的位置关系是　 　.
19． 规定两数 a， b 之间的一种运算， 记作 （a， b)， 如果 ，那么 （a， b) .
我们叫（a，b)为“雅对”. 例如： ， . 我们还可以利用“雅对”定义证明等式 成立. 证明如下：
设 ，则 .
.
，
即 .
（1）根据上述规定，填空：（3，27)=　 　，（-2，-32)=　 　，
（2）计算：（5，2)+（5，7)= ▲ ，并说明理由：
（3）记（3，5) = . 求证：
20．【问题背景】如图①，在同一平面内，a、b、c 三根木棒钉在一起，∠1=70°，∠2=100°
图 ①
图 ②
图 ③
【实践操作】
（1）木棒 a、c 固定不动，木棒 b 沿顺时针方向至少旋转　 　，使得 b//a（如图②)，
（2）如图③，当木棒a//b时，将一个三角板ABC放在 与 之间（其中 ， )，并使直角顶点 在直线 上，顶点 在直线 上，现测得 ，请你求出 的度数；
（3）现将图①中的木棒 、 同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒 6° 和每秒 18° 当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动. 在旋转的过程中，存在某一时刻使得 ， 请你直接写出是在第几秒.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，
∴=90°-20°=70°
∴的补角的大小为180°-70°=110°
故答案为：B
【分析】根据余角，补角的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
则点C到直线AB的距离是线段CD的长度
故答案为：C
【分析】根据点到直线的距离即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，结合，，得相等，相等，和为，进一步得，，，即可得的度数.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：，根据同位角相等，两直线平行可判断，不符合题意；
B：，根据同旁内角互补，两直线平行可判断，不符合题意；
C：可判断AC∥BD，不能判断，符合题意；
D：，而∠BDC+∠2=180°，则∠ABE=∠BDC，根据同位角相等，两直线平行可判断，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AM//BC，
∴∠ACB=∠MAC=74°
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合.下面可以说明这个道理的数学知识是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
故答案为：A
【分析】根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球．
∵一共有球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到，，则，， 再由进行求解即可．
9．【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
10．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
CD为垂线段，最短
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
11．【答案】80°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠1+∠2=180°-∠1
∵∠1=50°
∴50°+∠2=180°-50°
∴∠2=80°
故答案为：80°
【分析】根据折叠性质及补角可得∠1+∠2=180°-∠1，代值计算即可求出答案.
12．【答案】150°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CF∥AB
∴∠BCF=∠1
∵CF∥AB，AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠DCF+∠3=180°
即∠2-∠1+∠3=180°
∵∠3-∠1=30°
∴∠2+30°=180°
∴∠2=150°
故答案为：150°
【分析】过点C作CF∥AB，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】30°或45°或75°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：①当A'C∥AB时
∠ACA'=∠A=45°
②当A'D∥AC时
∠ACA=∠A'=30°
③当A'D∥AB时
∠ACA'=∠A+∠A'=75°
综上所述，∠ACA'的度数为30°或45°或75°
故答案为：30°或45°或75°
【分析】根据直线平行性质分类讨论即可求出答案.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
（2）根据幂的乘法去括号化简即可求出答案.
15．【答案】证明：
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
又（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（平角的定义），
（同角的补角相等）。
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
16．【答案】证明：平分，
又
（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得∠ACB，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：（已知），
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
。
（2）解：大小不变，为。
过点作，
，
，
，，
两式相加：。
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行判定定理及性质，角之间的关系即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：
，
，
，
，
。
（2）
（3）相等；互补；互相平行或垂直
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（2）如图
，
∴∠1=∠3
∵BC∥EF
∴∠2+∠3=180°
∴∠1+∠2=180°
故答案为：∠1+∠2=180°
（3）由（1）（2）可得如果一个角两边分别与另一个角两边平行，那么这两个角相等过互补
故答案为：相等；互补
（4）如图，当∠=∠时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线
令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE
∴
∵AB∥DE
∴∠=∠BGE
∵BC∥EF
∴ ∠=∠BGE
∴∠=∠BGE=∠
∴∠CBM=∠BGH=∠EGH=∠DEN
∴BM∥GH，EN∥GH
∴EH∥BM
当∠+∠=180°时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线
令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE，令EN交GH于点K
∴
∵AB∥DE
∴∠=∠BGE
∵BC∥EF
∴∠BGE+∠=180°
∴
∴BM∥GH
∵∠GKE=180°-(∠GEN+∠EGH)=90°
∴EN⊥GH
∴EN⊥BM
综上所述，已知 的两边分别与 的两边平行，则 和 的角平分线所在直线的位置关系是互相平行或垂直
故答案为：互相平行或垂直
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质即可求出答案.
（3）根据（1））（2）中的结论即可求出答案.
（4）分情况讨论：当∠=∠时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线，令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案；当∠+∠=180°时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线，令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE，令EN交GH于点K，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）；
（2）解：
理由：设，，则，，
，即
（3）解：证明：
由定义：，，，
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）∵33=27，(-2)5=-32
∴（3，27)=3，
故答案为：（3，27)=3；
【分析】（1）根据新定义，结合有理数的乘方即可求出答案.
（2）（1）根据新定义，结合同底数幂的乘法，有理数的乘方即可求出答案.
（3）根据新定义，结合幂的乘方即可求出答案.
20．【答案】（1）30°
（2）解：过点A作AQ∥BD
∵CE∥BD
∴BD∥AQ∥CE
∴∠ABD=∠BAQ，∠QAC=∠ACE
∵∠DBA=8°，∠BAC=45°
∴∠BAQ=∠DBA=8°，∠CAQ=45°-8°=37°
∴∠ACEE=∠QAC=37°
（3）2.5s或7.5s
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图
∵∠1=70°，a∥b
∴∠3=∠1=70°
∴木棒 a、c 固定不动，木棒 b 沿顺时针方向至少旋转100°-70°=30°，使得a∥b
故答案为：30°
（3）如图，∠1=70°，∠2=100°
由题意可得：∠4=18t°-180°-∠2=(18t-280)°，∠3=6t°-∠1=(6t-70)°
∵a∥b
∴∠3=∠4
∴6t-70=18t-280
解得：t=17.5°
如图，设旋转的时间为ts，则最长旋转时间为t=
由题意可得：∠5=6t°，∠6=18t°
∴∠3=(70-6t)°，∠4=(100-18t)°
∵a∥b
∴∠3=∠4
∴70-6t=100-18t
解得：t=2.5
综上所述，在旋转的过程中，存在某一时刻使得 ，t的值为2.5s或7.5s
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点A作AQ∥BD，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：根据角之间的关系，结合直线平行性质建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区实验中学2025-2026学年度七年级第二学期数学周测试卷2
1． 已知 与 互为余角，若 ，则 的补角的大小为（　　)
A． B．110° C．140° D．
【答案】B
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，
∴=90°-20°=70°
∴的补角的大小为180°-70°=110°
故答案为：B
【分析】根据余角，补角的定义即可求出答案.
2． 计算 的结果，正确的是（　　)
A．m B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
3．如图， ，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（　　)
A．线段 AC 的长度 B．线段 CB 的长度
C．线段 CD 的长度 D．线段 AD 的长度
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
则点C到直线AB的距离是线段CD的长度
故答案为：C
【分析】根据点到直线的距离即可求出答案.
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，结合，，得相等，相等，和为，进一步得，，，即可得的度数.
5． 如图，下列条件中，不能判断 的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：，根据同位角相等，两直线平行可判断，不符合题意；
B：，根据同旁内角互补，两直线平行可判断，不符合题意；
C：可判断AC∥BD，不能判断，符合题意；
D：，而∠BDC+∠2=180°，则∠ABE=∠BDC，根据同位角相等，两直线平行可判断，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6． 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务. 如图是共享单车示意图，AM//BC. 已知 ，则 的度数为（　　)
A．50° B．56° C．70° D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AM//BC，
∴∠ACB=∠MAC=74°
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7． 如图所示，刘师傅为了检验门框 AB 是否垂直于水平地面，在门框 AB 的上端 A 处用细线悬挂一铅锤，看门框 AB 是否与铅锤线重合. 若门框 AB 垂直于地面，则 AB 会重合于 AE，否则 AB 与 AE 不重合.下面可以说明这个道理的数学知识是（　　)
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过两点有且只有一条直线
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短
【答案】A
【知识点】垂线的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合.下面可以说明这个道理的数学知识是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
故答案为：A
【分析】根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可求出答案.
8．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（　　）．
A．512 B．128 C．64 D．32
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球．
∵一共有球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到，，则，， 再由进行求解即可．
9．已知则=　 　.
【答案】6
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：6.
【分析】根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的逆用将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
10． 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏. 如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜. 若四位投壶者分别站在直线 1 上的点 A， B， C， D 处往点 P 处的壶内投箭矢， 小明认为站在点 C 处的投壶者更容易获胜， 其中蕴含的数学道理是　 　.
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
CD为垂线段，最短
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
11． 如图，将长方形纸条折叠，若 ，则 　 　。
【答案】80°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠1+∠2=180°-∠1
∵∠1=50°
∴50°+∠2=180°-50°
∴∠2=80°
故答案为：80°
【分析】根据折叠性质及补角可得∠1+∠2=180°-∠1，代值计算即可求出答案.
12．如图， 运河堤公路沿高邮湖边修建时， 需要拐弯绕道而过， 经过三次拐弯，这时的公路 DE 恰好与第一次拐弯前的公路 AB 平行， 若 ，则 的度数为　 　。
【答案】150°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CF∥AB
∴∠BCF=∠1
∵CF∥AB，AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠DCF+∠3=180°
即∠2-∠1+∠3=180°
∵∠3-∠1=30°
∴∠2+30°=180°
∴∠2=150°
故答案为：150°
【分析】过点C作CF∥AB，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
13． 将两块不同的三角尺按如图 1 所示的方式摆放，AC 边重合， . 保持三角尺 ABC 不动（如图 2)，将三角尺 ACD 绕着点 C 顺时针转动 后停止. 在转动的过程中当三角尺 ACD 有一条边与三角尺 ABC 的一条边恰好平行时， 的度数为　 　
图1
图2
【答案】30°或45°或75°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：①当A'C∥AB时
∠ACA'=∠A=45°
②当A'D∥AC时
∠ACA=∠A'=30°
③当A'D∥AB时
∠ACA'=∠A+∠A'=75°
综上所述，∠ACA'的度数为30°或45°或75°
故答案为：30°或45°或75°
【分析】根据直线平行性质分类讨论即可求出答案.
14． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
（2）根据幂的乘法去括号化简即可求出答案.
15． 中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图 1 是一个“九”字，如图 2 是由图 1 抽象出的几何图形，其中 ，且 . 求证： .
在下列括号内填写推理过程或依据：
证明： （已知)，
（　　)，
又 （已知)，
▲ （等量代换)，
又 ▲ （已知)，
（　　)，
又 ▲ （平角的定义)，
（　　).
【答案】证明：
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
又（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（平角的定义），
（同角的补角相等）。
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
16． 已知：如图，点D，E 分别在 和 上， 平分 ， ， 求证： DE//BC.
【答案】证明：平分，
又
（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得∠ACB，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
17． 图 1 是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成. 图 2 是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中 BC 为转动杆 CD 为水平杆， 当转动杆 BC 转动时， CD 杆始终保持水平，即 CD//AE. 已知 BA⊥AE.
（1）如图3，当转动杆 转动到 三点在同一条直线上时，BD’//AE，若 ，求 的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式).
（已知)，
（ ▲ )（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，
（ ▲ ) （　　)，
（2）如图2，在转动杆 转动过程中， 的大小是否发生改变？
若变化， 请说明理由； 若不变， 请求出它的大小。
【答案】（1）解：（已知），
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
。
（2）解：大小不变，为。
过点作，
，
，
，，
两式相加：。
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行判定定理及性质，角之间的关系即可求出答案.
18．【问题】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？
【问题探究】已知 的两边和 的两边分别平行.
（1）同学甲画出如图 1 所示的图形， ， ，通过测量，猜想 ，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；
（2）同学乙在探究中发现存在 的情况，在图 2 中画出一个以点 0 为顶点且满足条件的 ，直接写出此时 和 的数量关系为　 　；
（3）归纳结论：如果一个角两边分别与另一个角两边平行，那么这两个角　 　或　 　.
【结论应用】已知 的两边分别与 的两边平行，则 和 的角平分线所在直线的位置关系是　 　.
【答案】（1）证明：
，
，
，
，
。
（2）
（3）相等；互补；互相平行或垂直
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（2）如图
，
∴∠1=∠3
∵BC∥EF
∴∠2+∠3=180°
∴∠1+∠2=180°
故答案为：∠1+∠2=180°
（3）由（1）（2）可得如果一个角两边分别与另一个角两边平行，那么这两个角相等过互补
故答案为：相等；互补
（4）如图，当∠=∠时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线
令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE
∴
∵AB∥DE
∴∠=∠BGE
∵BC∥EF
∴ ∠=∠BGE
∴∠=∠BGE=∠
∴∠CBM=∠BGH=∠EGH=∠DEN
∴BM∥GH，EN∥GH
∴EH∥BM
当∠+∠=180°时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线
令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE，令EN交GH于点K
∴
∵AB∥DE
∴∠=∠BGE
∵BC∥EF
∴∠BGE+∠=180°
∴
∴BM∥GH
∵∠GKE=180°-(∠GEN+∠EGH)=90°
∴EN⊥GH
∴EN⊥BM
综上所述，已知 的两边分别与 的两边平行，则 和 的角平分线所在直线的位置关系是互相平行或垂直
故答案为：互相平行或垂直
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质即可求出答案.
（3）根据（1））（2）中的结论即可求出答案.
（4）分情况讨论：当∠=∠时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线，令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案；当∠+∠=180°时，BM为∠的角平分线，GN为∠的角平分线，令BC与ED相交于点G，作EH平分∠BGE，令EN交GH于点K，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
19． 规定两数 a， b 之间的一种运算， 记作 （a， b)， 如果 ，那么 （a， b) .
我们叫（a，b)为“雅对”. 例如： ， . 我们还可以利用“雅对”定义证明等式 成立. 证明如下：
设 ，则 .
.
，
即 .
（1）根据上述规定，填空：（3，27)=　 　，（-2，-32)=　 　，
（2）计算：（5，2)+（5，7)= ▲ ，并说明理由：
（3）记（3，5) = . 求证：
【答案】（1）；
（2）解：
理由：设，，则，，
，即
（3）解：证明：
由定义：，，，
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）∵33=27，(-2)5=-32
∴（3，27)=3，
故答案为：（3，27)=3；
【分析】（1）根据新定义，结合有理数的乘方即可求出答案.
（2）（1）根据新定义，结合同底数幂的乘法，有理数的乘方即可求出答案.
（3）根据新定义，结合幂的乘方即可求出答案.
20．【问题背景】如图①，在同一平面内，a、b、c 三根木棒钉在一起，∠1=70°，∠2=100°
图 ①
图 ②
图 ③
【实践操作】
（1）木棒 a、c 固定不动，木棒 b 沿顺时针方向至少旋转　 　，使得 b//a（如图②)，
（2）如图③，当木棒a//b时，将一个三角板ABC放在 与 之间（其中 ， )，并使直角顶点 在直线 上，顶点 在直线 上，现测得 ，请你求出 的度数；
（3）现将图①中的木棒 、 同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒 6° 和每秒 18° 当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动. 在旋转的过程中，存在某一时刻使得 ， 请你直接写出是在第几秒.
【答案】（1）30°
（2）解：过点A作AQ∥BD
∵CE∥BD
∴BD∥AQ∥CE
∴∠ABD=∠BAQ，∠QAC=∠ACE
∵∠DBA=8°，∠BAC=45°
∴∠BAQ=∠DBA=8°，∠CAQ=45°-8°=37°
∴∠ACEE=∠QAC=37°
（3）2.5s或7.5s
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）如图
∵∠1=70°，a∥b
∴∠3=∠1=70°
∴木棒 a、c 固定不动，木棒 b 沿顺时针方向至少旋转100°-70°=30°，使得a∥b
故答案为：30°
（3）如图，∠1=70°，∠2=100°
由题意可得：∠4=18t°-180°-∠2=(18t-280)°，∠3=6t°-∠1=(6t-70)°
∵a∥b
∴∠3=∠4
∴6t-70=18t-280
解得：t=17.5°
如图，设旋转的时间为ts，则最长旋转时间为t=
由题意可得：∠5=6t°，∠6=18t°
∴∠3=(70-6t)°，∠4=(100-18t)°
∵a∥b
∴∠3=∠4
∴70-6t=100-18t
解得：t=2.5
综上所述，在旋转的过程中，存在某一时刻使得 ，t的值为2.5s或7.5s
【分析】（1）根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点A作AQ∥BD，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：根据角之间的关系，结合直线平行性质建立方程，解方程即可求出答案.
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