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广东省深圳市福田区石厦学校2025-2026学年九年级中考一模数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的)
1．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上0与中间，
结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是
故选：B．
【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，根据数轴上原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小，由点A在0与之间，得到点A表示的数是大于且小于0的负数，结合选项，分析各选项，找出符合该取值范围的数，即可求解．
2．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，确定的值以及的值即可得答案.
3．如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（　　）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．三种视图都不变
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误．
选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确．
选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误．
选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误．
故选：B．
【分析】本题考查平移的性质与几何体三视图的概念，平移的核心特点是不改变物体的形状和大小，仅改变其位置，此次平移方向为垂直于书本右边缘的左右方向。主视图是从正面观察得到的图形，橡皮擦左右平移时，其在正面视角中的水平位置发生改变，导致主视图随之变化；左视图是从左面观察得到的图形，主要反映橡皮擦的侧面高度和宽度，左右平移不会影响侧面的形状与大小，因此左视图保持不变；俯视图是从上面观察得到的图形，橡皮擦水平位置的改变会使俯视图中图形的位置发生变化，综上可判断正确选项。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故Ａ正确.
B.与，不是同类项，不能合并，故Ｂ错误.
C.，故Ｃ错误.
D.，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算得，与，不是同类项，不能合并，，即可得答案.
5．如图，将两块相同的直角三角形按图示摆放，则AB与CD平行，这一判断过程体现的数学依据是（　　)
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．内错角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠A=∠D
∴AB∥CD
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
　 美 丽 山 河
美 　 美丽 美山 美河
丽 美丽 　 丽山 丽河
山 美山 山丽 　 山河
河 美河 河丽 河山 　
∴共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果有2种
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是
故答案为：C
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
7．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
8．如图，在矩形ABCD中， AC为对角线， AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，的值为（　　)若∠EAF=45°， AB=4， BC=3，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠DAB=90°
∵AB=4，BC=3
∴
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°
∵AF平分∠CAB
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2
作EG⊥AC于点G
设DE=x，则CE=4-x
∴ED=EG=x
∵∠D=∠EGA=90°，AE=AE
∴Rt△AED≌Rt△AEG
∴AG=AD=3
∴CG=5-3=2
在Rt△CEG中，EG2+CG2=CE2
∴x2+22=(4-x)2
解得：
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据矩形性质可得∠D=∠DAB=90°，根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系，结合角平分线定义可得∠1=∠2，作EG⊥AC于点G，设DE=x，则CE=4-x，ED=EG=x，根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△AEG，则AG=AD=3，根据边之间的关系可得CG，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．关于x的一元二次方程. 有两个相等的实数根，则a=　 　.
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即
∴
解得：a=-1
故答案为：-1
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
10．如图，为了方便行人过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长度为　 　m.
【答案】5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图
∵i=BC：AC=1：2，BC=5
∴AC=2BC=10
∴
故答案为：5
【分析】根据坡度为AC，再根据勾股定理即可求出答案.
11．编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行 n步后右转15°，沿转后方向直行 n步后右转 15°，再沿转后方向直行 n 步后右转 15°……，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了　 　步.
【答案】24n
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：360°÷15°=24
∴第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步
故答案为：24n
【分析】根据正多边形外角和性质即可求出答案.
12．如图，已知函数y=2x与反比例函数 图象交于点A，将y=2x的图象向下平移6个单位后与双曲线 交于点B，与x轴交于点C，若 则 k=　 　
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设点A坐标为(a，2a)
∵y=2x的图象向下平移6个单位
∴直线BC的解析式为y=2x-6
当y=0时，x=3
∴C(3，0)
过点A作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F
∴AE∥BF，∠AEO=∠BFC=90°
由平移可得，OA∥BC
∴∠AOE=∠BCF
∴Rt△OAE∽Rt△CBF
∴
∵A(a，2a)，C(3，0)
∴OE=a，AE=2a
∴
∴B
∵A(a，2a)，B在反比例函数的图象上
∴
解得：a=2
∴A(2，4)
将点A(2，4)代入反比例函数可得：k=2×4=8
故答案为：8
【分析】设点A坐标为(a，2a)，根据函数图象的平移可得直线BC的解析式为y=2x-6，根据x轴上点的坐标特征可得C(3，0)，过点A作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F，根据直线平行性质可得∠AOE=∠BCF，再根据相似三角形判定定理可得Rt△OAE∽Rt△CBF，则，根据两点间距离可得OE，AE，再根据边之间的关系可得CF，BF，再根据点的坐标可得B，再将点A，B坐标代入反比例函数解析式可得a，即A(2，4)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=90°，点D为△ABC内一点，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE， CE，点F为CE的中点，连接DF， AD，若 则 AD=　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长ED至点M，使MD=ED，连接BM，CM
∵点F是CE的中点
∴DF为△ECM的中位线
∴CM=2DF
∵∠BDE=90°
∴BD为EM的垂直平分线
∴BE=BM，∠EBD=∠MBD
∵DB=DE
∴∠BED=∠EBD=∠BME=∠MBD=45°
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠MBD=∠CBA=45°
∴∠DBA=∠MBC
∴
即
∴△BCM∽△BAD
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：
【分析】延长ED至点M，使MD=ED，连接BM，CM，根据三角形中位线定理可得CM=2DF，根据垂直平分线判定定理可得BD为EM的垂直平分线，则BE=BM，∠EBD=∠MBD，根据角之间的关系可得∠DBA=∠MBC，再根据等腰直角三角形性质可得，即，根据相似三角形判定定理可得△BCM∽△BAD，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题,其中第14题5分,第15题6分,第16题6分,第17题10分,第18题10分,第19题12分,第20题12分,共61分)
14．计算.
【答案】解：
解：原式
=-4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
【答案】解：原式
=a-2
由于a+2≠0，a-2≠0，
∴a≠±2
∴把a=0代入
原式=0-2
=-2；
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
16． “冰雪为卷，和谐为轴”，2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分) 频数
A 50≤x<60 5
B 60≤x<70 a
C 70≤x<80 12
D 80≤x<90 15
E 90≤x≤100 8
②C组的数据为70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 78， 79.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了　 　名七年级学生，其中a=　 　.
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是　 　；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是　 　分.
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数.
【答案】（1）50；10
（2）36°；77.5
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为 （人)，
则获得一等奖的学生人数为 （人).
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人.
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为15÷30%=50人
a=50-5-12-15-8=10人
故答案为：50；10
（2）A组所在扇形的圆心角度数是
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的数为77，78
∴抽取的这部分学生成绩的中位数是
故答案为：36°；77.5
【分析】（1）根据D组的人数与占比可得总人数，再用总人数减去其他组的人数可得a值.
（2）根据360°乘以A的占比可得圆心角度数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据3000乘以E组的占比可得E组的人数，再乘以一等奖的比例即可求出答案.
17．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， O为BC上一点，以O为圆心， OB为半径的⊙O交AB于另一点D，AD的垂直平分线交AC于E，交AB于点 F
（1）利用圆规和无刻度直尺，作出线段AD的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由)；
（2）连接DE，求证： DE是⊙O的切线；
（3）当四边形OCED为矩形时，若 求弧 BD 的长度
【答案】（1）解：作线段AD的垂直平分线交AC于E，交AB 于点 F，如图，
∴EF为线段AD的垂直平分线；
（2）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵EF为线段AD的垂直平分线，
∴ED=EA，
∴∠EDA=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODB+∠EDA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
（3）解：当四边形OCED为矩形时，如图，
∵四边形OCED 为矩形，
∴∠CED=∠DEA=90°， ∠COD=∠BOD=90°，
∵EF为线段AD的垂直平分线，
∴ED=EA，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OB=2OC，
∴2OC+OC=6，
∴OC=2，
∴OB=2OC=4，
∴劣弧 BD 的长度
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；弧长的计算；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）连接OD，根据等边对等角可得∠B=∠ODB， 再根据垂直平分线性质可得ED=EA，则∠EDA=∠A，根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据角之间的关系可得∠ODE=90°， 再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据矩形性质可得∠CED=∠DEA=90°， ∠COD=∠BOD=90°，根据垂直平分线性质可得ED=EA，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ADE 为等腰直角三角形，则∠A=45°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ACB为等腰直角三角形， 则，再根据边之间的关系可得OB，再根据弧长公式即可求出答案.
18． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触.石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1且（ 石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 G，运动路径近似为抛物线 C2，且 （小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计)
（1）如图②，当 时，若点F坐标为（2.0)，求抛物线C1的表达式；
（2）在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物 请说明理由：
（3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形 MNPQ区域内（包括边界)，且点F在（3，0)和（4，0)之间（包括这两点)，其中 求a的取值范围.（在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内)
【答案】（1）解：∵当 时，
∵点F坐标为（2，0)
∴c=1
∴抛物线C1的表达式为
（2）解：不能，理由如下：
∵FG=4，点F坐标为（2，0)
∴G（6，0)
∵点A的坐标为（4.5，0)， AB=1
∴B（5.5，0)
∴将x=5.5代入
∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物
（3）解：正方形MNPQ，
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴a<0
∵|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在（3，0)和（4，0)之间（包括这两点)
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 M，且经过点（4，0)时，开口最大，此时a最大
∴设C1的表达式为
将（4，0)代入得，
解得
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 P，且经过点（3，0)时，开口最小，此时a最小
∴设C1的表达式为
将（3，0)代入得，
解得
∴a的取值范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）当 时， ，再根据待定系数法将点F坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据点的坐标可得G（6，0)，根据交点式求出C2，再根据点的坐标可得B（5.5，0)，将x=5.5代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据正方形性质可得，作出图象，结合二次函数性质可得当抛物线顶点为点 M，且经过点（4，0)时，开口最大，此时a最大，设C1的表达式为 ，根据待定系数法将点(4，0)代入解析式可得，设C1的表达式为 ，再根据待定系数法将点(3，0)代入解析式可得，即可求出答案.
20．邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°， AB=AD，那么四边形ABCD称为“邻等对补四边形”。
（1）【概念辨析】
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　 　（填序号).
（2）【性质探究】
如图3，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，其中AB=AD， ∠ABC+∠ADC=180°。
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若AD=4， ∠ABC=60°， ∠BCD=45°，求BC的长
（3）【拓展应用】
如图4，在 Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=2， BC=3，分别在边BC， AC上取点M， N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值.
【答案】（1）②④
（2）解：①∠ACD=∠ACB，
理由：如图，过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵∠ADF+∠ADC=180°， ∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
又∵AB=AD，
∴△AEB≌△AFD （AAS)，
∴AE=AF，
∴CA平分∠DCB；
∴∠ACD=∠ACB
②解：如图所示，延长EA， CF 交于 H，
由（2）可得∠ADF=∠B=60°，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
∵HE⊥BC， ∠BCD=45°，
∴△CEH 是等腰直角三角形，
∴∠H=45°， EH=CE，
∴AF⊥HF，
∴△AFH 是等腰直角三角形，
∵△AEB≌△AFD，
∴BD =DF =2， AE = AF =2
（3）或 或1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图可得
图①，③中不存在对角互补
图②，④中四边形是邻等对补四边形
故答案为：②④
（3）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=3
∴
∵四边形ABMN是邻等对补四边形
∴∠ANM+∠B=180°
∴∠ANM=90°
当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∴AM2=AB2+BM2=8
在Rt△AMN中，MN2=AM2-AN2=8-AN2
在Rt△CMN中，
解得：
∴
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
当AN=AB时，连接AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)
∴BM=NM
过点N作NG⊥BC于点G
∵ AB=AN=2，
∴
∵
∴
∴
∴
当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△CMN∽△CAB
∴，即
解得：
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
综上所述，tan∠NBM的值为或 或1
【分析】（1）根据邻等对补四边形定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，根据角之间的关系可得∠B=∠ADF，再根据全等三角形判定定理可得△AEB≌△AFD （AAS)， 则AE=AF，根据角平分线判定定理可得CA平分∠DCB，再根据其性质即可求出答案.
②延长EA， CF 交于 H，由（2）可得∠ADF=∠B=60°，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据勾股定理可得AF，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CEH 是等腰直角三角形，则∠H=45°， EH=CE，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AFH 是等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得AH，再根据全等三角形性质可得BD =DF =2， AE = AF =2 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，根据邻等对补四边形定义可得∠ANM+∠B=180°，则∠ANM=90°，分情况讨论：当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据勾股定理可得AM，MN，建立方程，解方程可得，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案；当AN=AB时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，则BM=NM，过点N作NG⊥BC于点G，根据边之间的关系可得CN，解直角三角形可得NG，CG，根据边之间的关系可得BG，再根据正切定义即可求出答案；当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据相似三角形判定定理可得△CMN∽△CAB，则，代值计算可得CN，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市福田区石厦学校2025-2026学年九年级中考一模数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的)
1．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．1
2．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（　　）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．三种视图都不变
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将两块相同的直角三角形按图示摆放，则AB与CD平行，这一判断过程体现的数学依据是（　　)
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．内错角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
6．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是（　　)
A． B． C． D．
7．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
8．如图，在矩形ABCD中， AC为对角线， AF平分∠CAB交BC于点F，点E是CD上一点，连接AE、EF，的值为（　　)若∠EAF=45°， AB=4， BC=3，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．关于x的一元二次方程. 有两个相等的实数根，则a=　 　.
10．如图，为了方便行人过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长度为　 　m.
11．编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行 n步后右转15°，沿转后方向直行 n步后右转 15°，再沿转后方向直行 n 步后右转 15°……，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了　 　步.
12．如图，已知函数y=2x与反比例函数 图象交于点A，将y=2x的图象向下平移6个单位后与双曲线 交于点B，与x轴交于点C，若 则 k=　 　
13．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=90°，点D为△ABC内一点，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE， CE，点F为CE的中点，连接DF， AD，若 则 AD=　 　.
三、解答题（本题共7小题,其中第14题5分,第15题6分,第16题6分,第17题10分,第18题10分,第19题12分,第20题12分,共61分)
14．计算.
15．先化简 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
16． “冰雪为卷，和谐为轴”，2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分) 频数
A 50≤x<60 5
B 60≤x<70 a
C 70≤x<80 12
D 80≤x<90 15
E 90≤x≤100 8
②C组的数据为70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 78， 79.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了　 　名七年级学生，其中a=　 　.
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是　 　；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是　 　分.
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数.
17．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， O为BC上一点，以O为圆心， OB为半径的⊙O交AB于另一点D，AD的垂直平分线交AC于E，交AB于点 F
（1）利用圆规和无刻度直尺，作出线段AD的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由)；
（2）连接DE，求证： DE是⊙O的切线；
（3）当四边形OCED为矩形时，若 求弧 BD 的长度
18． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
19．用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触.石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1且（ 石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 G，运动路径近似为抛物线 C2，且 （小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计)
（1）如图②，当 时，若点F坐标为（2.0)，求抛物线C1的表达式；
（2）在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物 请说明理由：
（3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形 MNPQ区域内（包括边界)，且点F在（3，0)和（4，0)之间（包括这两点)，其中 求a的取值范围.（在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内)
20．邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°， AB=AD，那么四边形ABCD称为“邻等对补四边形”。
（1）【概念辨析】
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有　 　（填序号).
（2）【性质探究】
如图3，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，其中AB=AD， ∠ABC+∠ADC=180°。
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若AD=4， ∠ABC=60°， ∠BCD=45°，求BC的长
（3）【拓展应用】
如图4，在 Rt△ABC中， ∠B=90°， AB=2， BC=3，分别在边BC， AC上取点M， N，使四边形ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上0与中间，
结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是
故选：B．
【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，根据数轴上原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小，由点A在0与之间，得到点A表示的数是大于且小于0的负数，结合选项，分析各选项，找出符合该取值范围的数，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，确定的值以及的值即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误．
选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确．
选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误．
选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误．
故选：B．
【分析】本题考查平移的性质与几何体三视图的概念，平移的核心特点是不改变物体的形状和大小，仅改变其位置，此次平移方向为垂直于书本右边缘的左右方向。主视图是从正面观察得到的图形，橡皮擦左右平移时，其在正面视角中的水平位置发生改变，导致主视图随之变化；左视图是从左面观察得到的图形，主要反映橡皮擦的侧面高度和宽度，左右平移不会影响侧面的形状与大小，因此左视图保持不变；俯视图是从上面观察得到的图形，橡皮擦水平位置的改变会使俯视图中图形的位置发生变化，综上可判断正确选项。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故Ａ正确.
B.与，不是同类项，不能合并，故Ｂ错误.
C.，故Ｃ错误.
D.，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行计算得，与，不是同类项，不能合并，，即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠A=∠D
∴AB∥CD
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：
　 美 丽 山 河
美 　 美丽 美山 美河
丽 美丽 　 丽山 丽河
山 美山 山丽 　 山河
河 美河 河丽 河山 　
∴共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果有2种
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是
故答案为：C
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠DAB=90°
∵AB=4，BC=3
∴
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°
∵AF平分∠CAB
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2
作EG⊥AC于点G
设DE=x，则CE=4-x
∴ED=EG=x
∵∠D=∠EGA=90°，AE=AE
∴Rt△AED≌Rt△AEG
∴AG=AD=3
∴CG=5-3=2
在Rt△CEG中，EG2+CG2=CE2
∴x2+22=(4-x)2
解得：
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据矩形性质可得∠D=∠DAB=90°，根据勾股定理可得AC，根据角之间的关系，结合角平分线定义可得∠1=∠2，作EG⊥AC于点G，设DE=x，则CE=4-x，ED=EG=x，根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△AEG，则AG=AD=3，根据边之间的关系可得CG，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即
∴
解得：a=-1
故答案为：-1
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
10．【答案】5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图
∵i=BC：AC=1：2，BC=5
∴AC=2BC=10
∴
故答案为：5
【分析】根据坡度为AC，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】24n
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：360°÷15°=24
∴第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步
故答案为：24n
【分析】根据正多边形外角和性质即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设点A坐标为(a，2a)
∵y=2x的图象向下平移6个单位
∴直线BC的解析式为y=2x-6
当y=0时，x=3
∴C(3，0)
过点A作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F
∴AE∥BF，∠AEO=∠BFC=90°
由平移可得，OA∥BC
∴∠AOE=∠BCF
∴Rt△OAE∽Rt△CBF
∴
∵A(a，2a)，C(3，0)
∴OE=a，AE=2a
∴
∴B
∵A(a，2a)，B在反比例函数的图象上
∴
解得：a=2
∴A(2，4)
将点A(2，4)代入反比例函数可得：k=2×4=8
故答案为：8
【分析】设点A坐标为(a，2a)，根据函数图象的平移可得直线BC的解析式为y=2x-6，根据x轴上点的坐标特征可得C(3，0)，过点A作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴与点F，根据直线平行性质可得∠AOE=∠BCF，再根据相似三角形判定定理可得Rt△OAE∽Rt△CBF，则，根据两点间距离可得OE，AE，再根据边之间的关系可得CF，BF，再根据点的坐标可得B，再将点A，B坐标代入反比例函数解析式可得a，即A(2，4)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长ED至点M，使MD=ED，连接BM，CM
∵点F是CE的中点
∴DF为△ECM的中位线
∴CM=2DF
∵∠BDE=90°
∴BD为EM的垂直平分线
∴BE=BM，∠EBD=∠MBD
∵DB=DE
∴∠BED=∠EBD=∠BME=∠MBD=45°
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠MBD=∠CBA=45°
∴∠DBA=∠MBC
∴
即
∴△BCM∽△BAD
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：
【分析】延长ED至点M，使MD=ED，连接BM，CM，根据三角形中位线定理可得CM=2DF，根据垂直平分线判定定理可得BD为EM的垂直平分线，则BE=BM，∠EBD=∠MBD，根据角之间的关系可得∠DBA=∠MBC，再根据等腰直角三角形性质可得，即，根据相似三角形判定定理可得△BCM∽△BAD，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：
解：原式
=-4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
=a-2
由于a+2≠0，a-2≠0，
∴a≠±2
∴把a=0代入
原式=0-2
=-2；
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）50；10
（2）36°；77.5
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为 （人)，
则获得一等奖的学生人数为 （人).
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人.
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为15÷30%=50人
a=50-5-12-15-8=10人
故答案为：50；10
（2）A组所在扇形的圆心角度数是
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的数为77，78
∴抽取的这部分学生成绩的中位数是
故答案为：36°；77.5
【分析】（1）根据D组的人数与占比可得总人数，再用总人数减去其他组的人数可得a值.
（2）根据360°乘以A的占比可得圆心角度数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据3000乘以E组的占比可得E组的人数，再乘以一等奖的比例即可求出答案.
17．【答案】（1）解：作线段AD的垂直平分线交AC于E，交AB 于点 F，如图，
∴EF为线段AD的垂直平分线；
（2）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵EF为线段AD的垂直平分线，
∴ED=EA，
∴∠EDA=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODB+∠EDA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
（3）解：当四边形OCED为矩形时，如图，
∵四边形OCED 为矩形，
∴∠CED=∠DEA=90°， ∠COD=∠BOD=90°，
∵EF为线段AD的垂直平分线，
∴ED=EA，
∴△ADE 为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OB=2OC，
∴2OC+OC=6，
∴OC=2，
∴OB=2OC=4，
∴劣弧 BD 的长度
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；弧长的计算；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）连接OD，根据等边对等角可得∠B=∠ODB， 再根据垂直平分线性质可得ED=EA，则∠EDA=∠A，根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据角之间的关系可得∠ODE=90°， 再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据矩形性质可得∠CED=∠DEA=90°， ∠COD=∠BOD=90°，根据垂直平分线性质可得ED=EA，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ADE 为等腰直角三角形，则∠A=45°，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ACB为等腰直角三角形， 则，再根据边之间的关系可得OB，再根据弧长公式即可求出答案.
18．【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵当 时，
∵点F坐标为（2，0)
∴c=1
∴抛物线C1的表达式为
（2）解：不能，理由如下：
∵FG=4，点F坐标为（2，0)
∴G（6，0)
∵点A的坐标为（4.5，0)， AB=1
∴B（5.5，0)
∴将x=5.5代入
∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物
（3）解：正方形MNPQ，
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴a<0
∵|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在（3，0)和（4，0)之间（包括这两点)
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 M，且经过点（4，0)时，开口最大，此时a最大
∴设C1的表达式为
将（4，0)代入得，
解得
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 P，且经过点（3，0)时，开口最小，此时a最小
∴设C1的表达式为
将（3，0)代入得，
解得
∴a的取值范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）当 时， ，再根据待定系数法将点F坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据点的坐标可得G（6，0)，根据交点式求出C2，再根据点的坐标可得B（5.5，0)，将x=5.5代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（3）根据正方形性质可得，作出图象，结合二次函数性质可得当抛物线顶点为点 M，且经过点（4，0)时，开口最大，此时a最大，设C1的表达式为 ，根据待定系数法将点(4，0)代入解析式可得，设C1的表达式为 ，再根据待定系数法将点(3，0)代入解析式可得，即可求出答案.
20．【答案】（1）②④
（2）解：①∠ACD=∠ACB，
理由：如图，过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵∠ADF+∠ADC=180°， ∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
又∵AB=AD，
∴△AEB≌△AFD （AAS)，
∴AE=AF，
∴CA平分∠DCB；
∴∠ACD=∠ACB
②解：如图所示，延长EA， CF 交于 H，
由（2）可得∠ADF=∠B=60°，
∴∠DAF=90°-60°=30°，
∵HE⊥BC， ∠BCD=45°，
∴△CEH 是等腰直角三角形，
∴∠H=45°， EH=CE，
∴AF⊥HF，
∴△AFH 是等腰直角三角形，
∵△AEB≌△AFD，
∴BD =DF =2， AE = AF =2
（3）或 或1
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形；角平分线的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由图可得
图①，③中不存在对角互补
图②，④中四边形是邻等对补四边形
故答案为：②④
（3）解：∵∠B=90°，AB=2，BC=3
∴
∵四边形ABMN是邻等对补四边形
∴∠ANM+∠B=180°
∴∠ANM=90°
当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∴AM2=AB2+BM2=8
在Rt△AMN中，MN2=AM2-AN2=8-AN2
在Rt△CMN中，
解得：
∴
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
当AN=AB时，连接AM
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)
∴BM=NM
过点N作NG⊥BC于点G
∵ AB=AN=2，
∴
∵
∴
∴
∴
当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H
∵∠MNC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△CMN∽△CAB
∴，即
解得：
∵∠NHC=∠ABC=90°，∠C=∠C
∴△NHC∽△ABC
∴，即
∴
∴
∴
综上所述，tan∠NBM的值为或 或1
【分析】（1）根据邻等对补四边形定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）①过点A作AF⊥DC交CD 延长线于F， AE⊥BC于E，根据角之间的关系可得∠B=∠ADF，再根据全等三角形判定定理可得△AEB≌△AFD （AAS)， 则AE=AF，根据角平分线判定定理可得CA平分∠DCB，再根据其性质即可求出答案.
②延长EA， CF 交于 H，由（2）可得∠ADF=∠B=60°，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，根据勾股定理可得AF，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CEH 是等腰直角三角形，则∠H=45°， EH=CE，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AFH 是等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得AH，再根据全等三角形性质可得BD =DF =2， AE = AF =2 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，根据邻等对补四边形定义可得∠ANM+∠B=180°，则∠ANM=90°，分情况讨论：当AB=BM时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据勾股定理可得AM，MN，建立方程，解方程可得，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案；当AN=AB时，连接AM，根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，则BM=NM，过点N作NG⊥BC于点G，根据边之间的关系可得CN，解直角三角形可得NG，CG，根据边之间的关系可得BG，再根据正切定义即可求出答案；当AN=MN时，连接AM，过点N作NH⊥BC于点H，根据相似三角形判定定理可得△CMN∽△CAB，则，代值计算可得CN，再根据相似三角形判定定理可得△NHC∽△ABC，则，代值计算可得NH，CH，再根据边之间的关系可得BH，再根据正切定义即可求出答案.
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