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广东深圳市2025-2026学年21校九年级第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大.若转入 6元记作+6元，那么转出 7元记作 （　　)
A．-7元 B．+7元 C．元 D．元
2．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层， “飞梯”的截面如图1，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　)
A． 米 B． 米
C．50sin24°米 D．50cos24°米
5．下列计算正确的是（　　）.
A． B．
C． D．5x-2x=3
6．机器狗（四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（　　)
A．80° B．85° C．90° D．95°
7．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少.设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
8．如图，点 D 是等边△ABC边 AB上的一点，且AD：DB=1：3，现将△ABC折叠，使点 C与 D重合，折痕为EF，点 E， F分别在AC和BC上，则CE：CF= （　　)
A．1：3 B．2：5 C．4：6 D．5：7
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
9．设 x1， x2是方程 的两个根，则
10．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式　 　．
11．平面直角坐标系中，将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'，若点A'位于第二象限，则m的取值范围是　 　.
12．如图， Rt△AOB的边 OA在 x轴上，反比例函数 的图象过斜边 OB的中点 C，延长 BO与该反比例函数图象的另一交点为 D，连结 AD.若△ABD的面积为 18，则 k的值为　 　.
13．如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=4， P是AD边上的动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到 PQ，点 C的对应点为点 Q，连接BQ，CQ，则BQ的最小值为　 　.
三、计算题：本大题共 1小题，共 3分。
14．计算：
四、解答题：本题共 6小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
16．为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取 20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中 90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”.
【信息整理】信息 1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 95≤x<95 85≤x<90 x<85
信息 2：八年级 B、C两组同学的成绩分别为： 85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94；九年级 C组同学的成绩分别为： 89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息 3：
【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 b 35%
（1）完成填空：a= ▲ ，b= ▲ 并补全条形统计图；
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好 请说明理由（写出一条理由即可)；
（3）若该校八年级学生有 580人，九年级学生有 525人，请估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生共有多少人
17．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场随即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批多出20元.
（1）该商场两次共购进这种运动器材多少套
（2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数) （利润率
18．根据题意解答下列问题
（1）如图 1，在Rt△ABC中， ∠A=90°.求作Rt△ABC的外接圆⊙O； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）如图 2， AB是⊙O的直径， C是 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.如图①，求证：CE是⊙O的切线；
（3）如图②，过点 O作OF⊥AD于 F，若AD=2CE， OA=2，求阴影部分的面积.
19．综合与实践
活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题
问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名.综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集.
信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量 x （千克)的范围是30≤x≤120.
小彬：该饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的关系如下表所示：
每日产量 x （千克) 　 　 306090120 　
每千克的成本y1 （元) 　 5550 　 4540
小颖：该饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的关系可用如图的坐标系中的线段AB所示，AB所在直线与纵轴的交点为（0，m)（其中m>70)；
小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量).
问题解决：
（1）根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的变化规律可用我们学习过的　 　函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”)，其函数关系式为　 　；
（2）当m=90时，解决下列问题：
①该饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为 ▲ ；
②若该饮品某日的销售利润为 1326元，求当日该饮品的产量；
（3）若该饮品每日产量为 80千克时，可获得最大日销售利润.请通过计算确定相应的 m的值及最大日销售利润.
20．【综合与实践】
在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究.
定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”.
（1）【初步探究】如图1，在“璧合四边形ABCD”中，若∠A=60°，则 　 　的值为　 　.
（2）【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中， ∠ADB=∠ABC=90°， ∠A=45°， E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求 的值.
（3）【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°， AD=12， E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=4，作出图形并求线段AE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：转入 6元记作+6元，那么转出 7元记作-7元
故答案为：A
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的主视图是
故答案为：C.
【分析】根据立体图形的三视图，从正面去看得到的是主视图，解答即可.
3．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故答案为：B．
【分析】将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，画出树状图，根据树状图得共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，代入概率公式即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得：∠A=24°
∴，即BC=50sin24°
故答案为：C
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：5x-2x=3x，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的除法，单项式除以单项式，平方差公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∵∠ABE=125°
∴∠BEF=180°-∠B=55°
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∵∠CDE=145°
∴∠DEF=180°-∠D=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=90°
故答案为：C
【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，
根据题意列方程为：，
故答案为：D.
【分析】设哪吒有x个，夜叉有y个，根据“ 共有36个头，108只手 ”列二元一次方程组解答即可.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AD=k，则DB=3k
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=4k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°
∴∠EDA+∠FDB=120°
∵∠EDA+∠AED=120°
∴∠FDB=∠AED
∴△AED∽△BDF
∴
设CE=x，则ED=x，AE=4k-x
设CF=y，则DF=y，FB=4k-y
∴
∴
∴
∴CE：CF=5：7
故答案为：D
【分析】设AD=k，则DB=3k，根据等边三角形性质可得AB=AC=4k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，再根据角之间的关系可得∠FDB=∠AED，再根据相似三角形判定定理可得△AED∽△BDF，则，设CE=x，则ED=x，AE=4k-x，设CF=y，则DF=y，FB=4k-y，代入等式，化简即可求出答案.
9．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ x1， x2是方程 的两个根
∴
∴
故答案为：-1
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再整体代入代数式即可求出答案.
10．【答案】y＝x+1（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：开放性命题，由题意得，符合该条件的一次函数的表达式可以为y=x+1.
故答案为：y=x+1.
【分析】根据一次函数的图形与系数的关系可得：一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限，据此写出符合题意得一次函数表达式.
11．【答案】-5【知识点】点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'
∴A'(m-3，m+5)
∵点A'位于第二象限
∴，解得：-5故答案为：-5【分析】根据点的平移可得A'(m-3，m+5)，再根据第二象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点C是OB的中点
∴OC=BC
由反比例函数的对称性质可得，OD=OC
∴OB：BD=2：3
∴
设点C的横坐标为m，则
∴
∴A(2m，0)
∴
∴
解得：k=6
故答案为：6
【分析】根据线段中点可得OC=BC，由反比例函数的对称性质可得，OD=OC，根据边之间的关系可得OB：BD=2：3，则，设点C的横坐标为m，则，根据点的坐标可得，A(2m，0)，再根据两点间距离可得OA，AB，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立直角坐标，如图，则点D的坐标为(4，3)
过点P作GH⊥x轴于点H，作QG⊥GH于点G，则∠GPQ+∠GQP=90°，四边形ABHP是矩形，∠G+∠PHC=90°
∴PH=AB=3，AP=BH
∵CP绕点P逆时针旋转90°得到PQ
∴CP=QP，∠CPQ=90°
∴∠QPG+∠CPH=90°
∵∠GPQ+∠GQP=90°
∴∠CPH=∠PQG
∴△CPH∽△PQG
设点P(m，3)，则BH=AP=m，CH=4-m=GP
∴GH=GP+PH=7-m
∴Q(m+3，7-m)
∴
∴当m=2时，BQ的最小值为
故答案为：
【分析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立直角坐标，如图，则点D的坐标为(4，3)，过点P作GH⊥x轴于点H，作QG⊥GH于点G，则∠GPQ+∠GQP=90°，四边形ABHP是矩形，∠G+∠PHC=90°，根据旋转性质可得CP=QP，∠CPQ=90°，再根据角之间的关系可得∠CPH=∠PQG，再根据相似三角形判定定理可得△CPH∽△PQG，设点P(m，3)，则BH=AP=m，CH=4-m=GP，根据边之间的关系可得GH，再根据点的坐标可得Q(m+3，7-m)，再根据两点间距离，结合二次函数性质即可求出答案.
14．【答案】解：原式=-1-2+5-1-5
=-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据有理数的乘方，绝对值，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
解不等式①得： x≤2，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
数轴表示如下所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
16．【答案】（1）解：88.5；88； 补全条形图如图：
（2）解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好；
（3）解：估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生共有 （人) .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意，八年级 A等级的人数为20-5-4-8=3，八年级数据中第 10个和第 11个数据分别为：88，89，
九年级中 A等级的人数为20×20%=4，
B等级的人数为20×15%=3，
C等级的人数为20×45%=9，
D等级的人数为20×20%=4，数据中出现次数最多的是 88，
∴b=88；
故答案为：88.5；88；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的定义进行分析即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应占比即刻求出答案.
17．【答案】（1）解：设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，
根据题意可得：
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
则两次共购进： x+2x=100+2×100=300 （套) ，
答：该商场两次共购进这种运动器材300套；
（2）解：设每套器材售价为y元，
∵成本为24000+52000=76000 （元) ，
∴利润为300y-76000，
由总利润率不低于30%可得：
解得
因为y取整数，
所以y的最小值为330，
所以每套器材售价至少是330元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每套器材售价为y元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图，⊙O即为所求作.
（2）证明：如图①，连接OC，则OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：如图②， OF⊥AD，连接OC、OD，
∴∠AEC=∠ECO=∠CFE=90°， AD=2DF=2AF，
∴四边形OCEF 是矩形，
∴OF=EC，
∵AD=2CE，
∴AF=DF=OF，
∴△AOF， △DOF 是等腰直角三角形，
∴∠AOF+∠DOF=45°，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD=2，
【知识点】三角形的面积；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）连接OC，则OA=OC，根据等边对等角可得∠CAO=∠ACO，则∠EAC=∠ACO，根据直线平行判定定理可得OC∥AE，则CE⊥OC，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）连接OC、OD，根据矩形判定定理可得四边形OCEF 是矩形，则OF=EC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AOF， △DOF 是等腰直角三角形，则∠AOF+∠DOF=45°，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）一次；
（2）①；
②由题意，得即
解得，且均符合题意.
答：当日该饮品产量为 102千克或 78千克。
（3）解：设y2与 x之间的关系式为
将（120，50)，（0，m)分别代入，得
解，得
设该饮品日销售利润为 w元.
则
由此可知，当m≠70时，w是 x的二次函数.
∵m>70，
∴抛物线开口向下，w有最大值.
∵30≤x≤120且每日产量为 80千克时，可获得最大销售利润，
解，得m=100，经检验m=100是上述方程的解.
当m=100， x=80时，
答：m的值为 100，最大日销售利润为 1600元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的变化规律可用我们学习过的一次函数刻画
设饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为y1=kx+b
将(30，55)，(60，50)代入可得
，解得：
∴
故答案为：一次；
（2）①当m=90时，设饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为
把（120，50)代入可得50=120k+90，解得
所以饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为
故答案为：；
【分析】（1）根据结合函数图象，设饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为y1=kx+b，根据待定系数法将点(30，55)，(60，50)代入解析式即可求出答案.
（2）①设饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为，根据待定系数法将点（120，50)代入解析式即可求出答案.
②根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设y2与 x之间的关系式为 ，根据待定系数法将点（120，50)，（0，m)代入解析式可得，设该饮品日销售利润为 w元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
20．【答案】（1）60°；
（2）解：∵∠A=45°， ∠ADB=90°，
∴∠ABD=180°-90°-45°=45°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=90°-45°=45°， ∠A=∠ABD，
∴∠A=∠CBD， AD=BD，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠BDC+∠BDE=90°，
∵∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE和△BDC中，
∴△ADE≌△BDC（ASA)，
∴AE=BC，
（3）解：如图3，过点D作DP⊥AB于点P，
由（2）知， AD=BD=12，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴∠ADB=90°，
同理（2）可得， △ADE≌△BDC（ASA)，
∴CD=DE，
由折叠的性质可知， CD=DE-EF=FC，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴四边形CDEF为正方形，
如图3，连接DF，当点D的对应点F在AB的上方时，则
∴∠BDP-∠FDP-∠FDE-∠FDP，即∠BDF=∠PDE，
∴△BDF∽△PDE，
∵BF=4，
如图4，当点D的对应点F在AB的下方时，
同理可得：
综上所述，AE的长为 或
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠A=30°
∴∠CBD=90°-∠ABD=60°
∵∠ABD=30°，∠ADB=90°
∴
故答案为：60°；
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABD，再根据角之间的关系可得∠CBD，再根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABD，根据角之间的关系可得∠ADE=∠BDC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点D作DP⊥AB于点P，由（2）知， AD=BD=12，根据角之间的关系可得∠ADB，再根据等腰直角三角形性质可得，同理（2）可得， △ADE≌△BDC（ASA)，则CD=DE，再根据折叠性质可得CD=DE-EF=FC，根据正方形判定定理可得四边形CDEF为正方形，分情况讨论：连接DF，当点D的对应点F在AB的上方时，则 ，根据角之间的关系可得∠BDF=∠PDE，再根据相似三角形判定定理可得△BDF∽△PDE，则，再根据边之间的关系即可求出答案；当点D的对应点F在AB的下方时，同理即可求出答案.
1 / 1广东深圳市2025-2026学年21校九年级第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大.若转入 6元记作+6元，那么转出 7元记作 （　　)
A．-7元 B．+7元 C．元 D．元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：转入 6元记作+6元，那么转出 7元记作-7元
故答案为：A
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的主视图是
故答案为：C.
【分析】根据立体图形的三视图，从正面去看得到的是主视图，解答即可.
3．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故答案为：B．
【分析】将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，画出树状图，根据树状图得共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，代入概率公式即可得答案.
4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层， “飞梯”的截面如图1，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　)
A． 米 B． 米
C．50sin24°米 D．50cos24°米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得：∠A=24°
∴，即BC=50sin24°
故答案为：C
【分析】根据正弦定义即可求出答案.
5．下列计算正确的是（　　）.
A． B．
C． D．5x-2x=3
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：5x-2x=3x，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的除法，单项式除以单项式，平方差公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．机器狗（四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（　　)
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∵∠ABE=125°
∴∠BEF=180°-∠B=55°
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∵∠CDE=145°
∴∠DEF=180°-∠D=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=90°
故答案为：C
【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行性质即可求出答案.
7．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少.设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，
根据题意列方程为：，
故答案为：D.
【分析】设哪吒有x个，夜叉有y个，根据“ 共有36个头，108只手 ”列二元一次方程组解答即可.
8．如图，点 D 是等边△ABC边 AB上的一点，且AD：DB=1：3，现将△ABC折叠，使点 C与 D重合，折痕为EF，点 E， F分别在AC和BC上，则CE：CF= （　　)
A．1：3 B．2：5 C．4：6 D．5：7
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AD=k，则DB=3k
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=4k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°
∴∠EDA+∠FDB=120°
∵∠EDA+∠AED=120°
∴∠FDB=∠AED
∴△AED∽△BDF
∴
设CE=x，则ED=x，AE=4k-x
设CF=y，则DF=y，FB=4k-y
∴
∴
∴
∴CE：CF=5：7
故答案为：D
【分析】设AD=k，则DB=3k，根据等边三角形性质可得AB=AC=4k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，再根据角之间的关系可得∠FDB=∠AED，再根据相似三角形判定定理可得△AED∽△BDF，则，设CE=x，则ED=x，AE=4k-x，设CF=y，则DF=y，FB=4k-y，代入等式，化简即可求出答案.
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
9．设 x1， x2是方程 的两个根，则
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ x1， x2是方程 的两个根
∴
∴
故答案为：-1
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再整体代入代数式即可求出答案.
10．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式　 　．
【答案】y＝x+1（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：开放性命题，由题意得，符合该条件的一次函数的表达式可以为y=x+1.
故答案为：y=x+1.
【分析】根据一次函数的图形与系数的关系可得：一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限，据此写出符合题意得一次函数表达式.
11．平面直角坐标系中，将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'，若点A'位于第二象限，则m的取值范围是　 　.
【答案】-5【知识点】点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'
∴A'(m-3，m+5)
∵点A'位于第二象限
∴，解得：-5故答案为：-5【分析】根据点的平移可得A'(m-3，m+5)，再根据第二象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
12．如图， Rt△AOB的边 OA在 x轴上，反比例函数 的图象过斜边 OB的中点 C，延长 BO与该反比例函数图象的另一交点为 D，连结 AD.若△ABD的面积为 18，则 k的值为　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点C是OB的中点
∴OC=BC
由反比例函数的对称性质可得，OD=OC
∴OB：BD=2：3
∴
设点C的横坐标为m，则
∴
∴A(2m，0)
∴
∴
解得：k=6
故答案为：6
【分析】根据线段中点可得OC=BC，由反比例函数的对称性质可得，OD=OC，根据边之间的关系可得OB：BD=2：3，则，设点C的横坐标为m，则，根据点的坐标可得，A(2m，0)，再根据两点间距离可得OA，AB，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=4， P是AD边上的动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到 PQ，点 C的对应点为点 Q，连接BQ，CQ，则BQ的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立直角坐标，如图，则点D的坐标为(4，3)
过点P作GH⊥x轴于点H，作QG⊥GH于点G，则∠GPQ+∠GQP=90°，四边形ABHP是矩形，∠G+∠PHC=90°
∴PH=AB=3，AP=BH
∵CP绕点P逆时针旋转90°得到PQ
∴CP=QP，∠CPQ=90°
∴∠QPG+∠CPH=90°
∵∠GPQ+∠GQP=90°
∴∠CPH=∠PQG
∴△CPH∽△PQG
设点P(m，3)，则BH=AP=m，CH=4-m=GP
∴GH=GP+PH=7-m
∴Q(m+3，7-m)
∴
∴当m=2时，BQ的最小值为
故答案为：
【分析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立直角坐标，如图，则点D的坐标为(4，3)，过点P作GH⊥x轴于点H，作QG⊥GH于点G，则∠GPQ+∠GQP=90°，四边形ABHP是矩形，∠G+∠PHC=90°，根据旋转性质可得CP=QP，∠CPQ=90°，再根据角之间的关系可得∠CPH=∠PQG，再根据相似三角形判定定理可得△CPH∽△PQG，设点P(m，3)，则BH=AP=m，CH=4-m=GP，根据边之间的关系可得GH，再根据点的坐标可得Q(m+3，7-m)，再根据两点间距离，结合二次函数性质即可求出答案.
三、计算题：本大题共 1小题，共 3分。
14．计算：
【答案】解：原式=-1-2+5-1-5
=-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据有理数的乘方，绝对值，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
四、解答题：本题共 6小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
【答案】解：
解不等式①得： x≤2，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
数轴表示如下所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
16．为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取 20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中 90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”.
【信息整理】信息 1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 95≤x<95 85≤x<90 x<85
信息 2：八年级 B、C两组同学的成绩分别为： 85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94；九年级 C组同学的成绩分别为： 89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息 3：
【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
九年级 88 88 b 35%
（1）完成填空：a= ▲ ，b= ▲ 并补全条形统计图；
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好 请说明理由（写出一条理由即可)；
（3）若该校八年级学生有 580人，九年级学生有 525人，请估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生共有多少人
【答案】（1）解：88.5；88； 补全条形图如图：
（2）解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好；
（3）解：估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生共有 （人) .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意，八年级 A等级的人数为20-5-4-8=3，八年级数据中第 10个和第 11个数据分别为：88，89，
九年级中 A等级的人数为20×20%=4，
B等级的人数为20×15%=3，
C等级的人数为20×45%=9，
D等级的人数为20×20%=4，数据中出现次数最多的是 88，
∴b=88；
故答案为：88.5；88；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的定义进行分析即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应占比即刻求出答案.
17．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场随即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批多出20元.
（1）该商场两次共购进这种运动器材多少套
（2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数) （利润率
【答案】（1）解：设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，
根据题意可得：
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
则两次共购进： x+2x=100+2×100=300 （套) ，
答：该商场两次共购进这种运动器材300套；
（2）解：设每套器材售价为y元，
∵成本为24000+52000=76000 （元) ，
∴利润为300y-76000，
由总利润率不低于30%可得：
解得
因为y取整数，
所以y的最小值为330，
所以每套器材售价至少是330元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每套器材售价为y元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．根据题意解答下列问题
（1）如图 1，在Rt△ABC中， ∠A=90°.求作Rt△ABC的外接圆⊙O； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）如图 2， AB是⊙O的直径， C是 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.如图①，求证：CE是⊙O的切线；
（3）如图②，过点 O作OF⊥AD于 F，若AD=2CE， OA=2，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：如图，⊙O即为所求作.
（2）证明：如图①，连接OC，则OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：如图②， OF⊥AD，连接OC、OD，
∴∠AEC=∠ECO=∠CFE=90°， AD=2DF=2AF，
∴四边形OCEF 是矩形，
∴OF=EC，
∵AD=2CE，
∴AF=DF=OF，
∴△AOF， △DOF 是等腰直角三角形，
∴∠AOF+∠DOF=45°，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD=2，
【知识点】三角形的面积；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）连接OC，则OA=OC，根据等边对等角可得∠CAO=∠ACO，则∠EAC=∠ACO，根据直线平行判定定理可得OC∥AE，则CE⊥OC，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）连接OC、OD，根据矩形判定定理可得四边形OCEF 是矩形，则OF=EC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△AOF， △DOF 是等腰直角三角形，则∠AOF+∠DOF=45°，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
19．综合与实践
活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题
问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名.综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集.
信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量 x （千克)的范围是30≤x≤120.
小彬：该饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的关系如下表所示：
每日产量 x （千克) 　 　 306090120 　
每千克的成本y1 （元) 　 5550 　 4540
小颖：该饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的关系可用如图的坐标系中的线段AB所示，AB所在直线与纵轴的交点为（0，m)（其中m>70)；
小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量).
问题解决：
（1）根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的变化规律可用我们学习过的　 　函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”)，其函数关系式为　 　；
（2）当m=90时，解决下列问题：
①该饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为 ▲ ；
②若该饮品某日的销售利润为 1326元，求当日该饮品的产量；
（3）若该饮品每日产量为 80千克时，可获得最大日销售利润.请通过计算确定相应的 m的值及最大日销售利润.
【答案】（1）一次；
（2）①；
②由题意，得即
解得，且均符合题意.
答：当日该饮品产量为 102千克或 78千克。
（3）解：设y2与 x之间的关系式为
将（120，50)，（0，m)分别代入，得
解，得
设该饮品日销售利润为 w元.
则
由此可知，当m≠70时，w是 x的二次函数.
∵m>70，
∴抛物线开口向下，w有最大值.
∵30≤x≤120且每日产量为 80千克时，可获得最大销售利润，
解，得m=100，经检验m=100是上述方程的解.
当m=100， x=80时，
答：m的值为 100，最大日销售利润为 1600元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的变化规律可用我们学习过的一次函数刻画
设饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为y1=kx+b
将(30，55)，(60，50)代入可得
，解得：
∴
故答案为：一次；
（2）①当m=90时，设饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为
把（120，50)代入可得50=120k+90，解得
所以饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为
故答案为：；
【分析】（1）根据结合函数图象，设饮品每千克的生产成本y1 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为y1=kx+b，根据待定系数法将点(30，55)，(60，50)代入解析式即可求出答案.
（2）①设饮品每千克的售价y2 （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为，根据待定系数法将点（120，50)代入解析式即可求出答案.
②根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设y2与 x之间的关系式为 ，根据待定系数法将点（120，50)，（0，m)代入解析式可得，设该饮品日销售利润为 w元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
20．【综合与实践】
在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究.
定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”.
（1）【初步探究】如图1，在“璧合四边形ABCD”中，若∠A=60°，则 　 　的值为　 　.
（2）【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中， ∠ADB=∠ABC=90°， ∠A=45°， E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求 的值.
（3）【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°， AD=12， E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=4，作出图形并求线段AE的长.
【答案】（1）60°；
（2）解：∵∠A=45°， ∠ADB=90°，
∴∠ABD=180°-90°-45°=45°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=90°-45°=45°， ∠A=∠ABD，
∴∠A=∠CBD， AD=BD，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠BDC+∠BDE=90°，
∵∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE和△BDC中，
∴△ADE≌△BDC（ASA)，
∴AE=BC，
（3）解：如图3，过点D作DP⊥AB于点P，
由（2）知， AD=BD=12，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴∠ADB=90°，
同理（2）可得， △ADE≌△BDC（ASA)，
∴CD=DE，
由折叠的性质可知， CD=DE-EF=FC，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴四边形CDEF为正方形，
如图3，连接DF，当点D的对应点F在AB的上方时，则
∴∠BDP-∠FDP-∠FDE-∠FDP，即∠BDF=∠PDE，
∴△BDF∽△PDE，
∵BF=4，
如图4，当点D的对应点F在AB的下方时，
同理可得：
综上所述，AE的长为 或
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠A=30°
∴∠CBD=90°-∠ABD=60°
∵∠ABD=30°，∠ADB=90°
∴
故答案为：60°；
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABD，再根据角之间的关系可得∠CBD，再根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABD，根据角之间的关系可得∠ADE=∠BDC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）过点D作DP⊥AB于点P，由（2）知， AD=BD=12，根据角之间的关系可得∠ADB，再根据等腰直角三角形性质可得，同理（2）可得， △ADE≌△BDC（ASA)，则CD=DE，再根据折叠性质可得CD=DE-EF=FC，根据正方形判定定理可得四边形CDEF为正方形，分情况讨论：连接DF，当点D的对应点F在AB的上方时，则 ，根据角之间的关系可得∠BDF=∠PDE，再根据相似三角形判定定理可得△BDF∽△PDE，则，再根据边之间的关系即可求出答案；当点D的对应点F在AB的下方时，同理即可求出答案.
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