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4.5《增长速度的比较》同步基础练习
一、选择题

1.已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.

2.已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.

3.已知函数的零点分別为，则的（ ）
A. B. C. D.

4.已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.

5.有一组实验数据如表：
则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）
A. B. C. D.

6.某企业从年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业年至年的年产值（万元）．为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，，且，，且，选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业年的年产值约为（ ）
年份
年产值
A.万元 B.万元 C.万元 D.万元

7.已知实数满足，则下列关系式不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题

8.设，，，则 ，，的 大小关系是________．

9.已知，的一组数据如下表：
有如下拟合直线：①；②；③；④，根据最小二乘法的思想，拟合程度最好的直线是________（填序号）．
三、解答题

10.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为，四月底浮萍覆盖面积为，八月底浮萍覆盖面积为．若浮萍覆盖面积（单位：）与月份年月底记，年月底记的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；
（2）利用你选择的函数模型，试估算从年月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到？（可能用到的数据：，，）

11.已知函数的图象如图所示．
（1）函数的图象的序号是 ；的图象的序号是 ；
（2）在同一直角坐标系中，利用已有图象画出的图象，直接写出关于的方程在中解的个数；
（3）分别描述这三个函数增长的特点．

12.已知：且.
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值及对应的值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的衰减差异
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： ， ，
，即， .
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
在同一坐标系中作的图像,得到，借助的单调性进行判断即可.
【解答】
在上单调递减，在同一坐标系中作的图像，如图：
所以，故，
故选：
3.
【答案】
A
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
画出的图象与，，的图象，根据交点可判断.
【解答】
由题可得即为的图象分别与，，的交点的横坐标，如图，画出函数图象，由图可得，
故选：
4.
【答案】
A
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【解答】
，，即，，
下面比较与的大小，构造函数与，
由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，
当时，；当时，
由，故，故，即，
所以，
故选：
5.
【答案】
C
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
根据数据的增长速度可以排除，选项，代入的值，根据误差的大小即可判断出函数模型.
【解答】
通过所给数据可知，随的增大而增大，且增长的速度越来越快，，选项中的函数增长速度越来越慢，不正确，对于选项，当时，；对于，当时，误差偏大，故选项正确.故选：
6.
【答案】
C
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
观察表格可知函数增长速度越来越快，由此可知，进而顺利得解.
【解答】
观察发现年产值（万元）随着新政策实施年数（年）的增加而增加，且每年增加的比上一年增加的要多，即增长速度越来越快，
故选来拟合，且越接近年数据越精确，
所以，
所以，即该企业年的年产值约为万元.
故选：
7.
【答案】
D
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
令，则表示与，，交点的横坐标，采用数形结合的方式可得结论.
【解答】
令，则表示与，，交点的横坐标，不妨记，，，
在平面直角坐标系中作出，，图象，
当与，，位置关系如下图所示时，，即；
当与，，位置关系如下图所示时，，即；
当与，，位置关系如下图所示时，，即；
综上所述：关系式不可能成立的是
故选：
二、填空题
8.
【答案】
【考点】
不等式比较两数大小
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
函数单调性的性质
【解析】
利用指数函数在上的单调性即可得出答案．
【解答】
解：∵ ，，，，
又函数在上单调递增，
∴ ．
故答案为：．
9.
【答案】
③
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
本题主要考查回归直线方程的求解．
【解答】
解：由题意知，，
，
，
，
即③的拟合程度最好．
故答案为：③．
三、解答题
10.
【答案】
选函数模型，理由见解答；
个月.
【考点】
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】
（1）三组数据中选择两组数据，利用待定系数法可求两个函数模型的参数，再利用余下一组数据检验可得哪个模型更符合实际.
（2）根据中所得的函数的模型可估算浮萍覆盖面积.
【解答】
（1）解：若选择数据和，由，解得．
则．
当时，，与实际情况相符．
下面仅考虑函数模型
若选择数据和，
由，解得，则．
当时，，与实际情况差别较大．
若选择数据和，
由，解得，
则．
当时，，
与实际情况差别较大．
若选择数据和，
由，解得，则．
当时，实际情况差别较大．
故选函数模型．
（2）因为，．而，
所以至少经过个月该承域的浮萍覆盖面积能达到．
11.
【答案】
①；③
图象见解答；解得个数为
答案见解答
【考点】
对数函数的图象与性质
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
指数函数的图象
【解析】
（1）利用指数函数，对数函数的单调性和定点进行判断即可；
（2）由于，该函数与关于轴对称，故画出对应图象，看作是和的交点个数，通过画图观察即可；
（3）根据图象特征进行描述即可
【解答】
（1）函数为单调递增的指数函数，恒过定点，故为序号①；函数为单调递增的对数函数，恒过定点，故为序号③；
（2）因为，所以该函数与关于轴对称，如图所示
方程解的个数即解得个数，
可看作是和的交点个数，
由于与关于轴对称，画出图象，
从图像可得两个函数在没有交点，故在中解的个数；
（3）函数的图象是下凸的，所以其增长特点：先缓后快；函数的图象是直线，所以其增长特点：匀速增长；
函数的图象是上凸的，所以其增长特点：先快后缓
12.
【答案】
解：由，
∴ ．
且，
可得．
综上可得，，
即的范围为．
由可得，，
∴ ，
∴ ，
∴ 当 时，函数取得最小值为，此时．
当时，函数取得最大值为，此时．
【考点】
对数的运算性质
指数函数的定义、解析式、定义域和值域
对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
对数函数的值域与最值
【解析】
（1）由求得，再由求得，综上可得的范围．
（2）由（1）可得，，，再根据，利用二次函数的性质求得它的最值，以及此时对应的值．
【解答】
（1）解：由，
∴ ．
且，
可得．
综上可得，，
即的范围为．
（2）由可得，，
∴ ，
∴ ，
∴ 当 时，函数取得最小值为，此时．
当时，函数取得最大值为，此时．
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