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4.6《函数的应用（二）》同步基础练习
一、选择题

1.下列选项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是( )
A. B. C. D.

2.函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

3.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？( )(参考数据：
A. B. C. D.
二、填空题

4.将一根长为的铁丝剪成两段，一段围成一个正方形，另一段围成一个圆，则当圆的半径为________________时，正方形与圆的面积之和取得最小值．

5.要在长为，宽为的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮．要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是________.

6.濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为________________．

7.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为元/盒、元/盒、元/盒、元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为____________.

8.记表示，，中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围是 ．

9.记号表示，中取较大的数，如．记函数，则函数的最小值是 ．

10.已知函数，若图象上存在四点构成正方形，则的最大值为________.

11.已知函数，满足对于任意实数且，都有成立，则的取值范围是________.

12.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
三、解答题

13.设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值（万元）与总支出（万元）近似地满足下列关系：， ，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额．
（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？

14.如图，某大学将一矩形操场扩建成一个更大的矩形操场，要求在上，在上，且在上．若米．米，设米．
（1）要使矩形的面积大于平方米，求的取值范围；
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．

15.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
参考答案与试题解析
2025~2026学年高中数学人教B版（2019）必修第二册《4.6 函数的应用(二)》同步试卷（A）
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的性质
根据实际问题选择函数类型
【解析】
根据三类函数的增长差异可知．
【解答】
解：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快，
由于指数函数的底数大于，
其增长速度随着时间的推移是越来越快，
∴ 是更为有前途的生意.
2.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
根据函数解析式将函数图像画出，得到关于对称，而，再利用不等式性质即可判断.
【解答】
由题意，假设，由上图可知关于对称，故，
由不等式得，又当且仅当时取等号，但是故等号不成立，即；
又因为都为负值，故；而，故，
所以，故，又，故
故选：
3.
【答案】
C
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，解出的范围即可．
【解答】
解：设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，
∴ ，
∴ ，
∴ 他至少经过个小时才能驾驶汽车.
故选.
二、填空题
4.
【答案】
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
设圆半径为，表示出正方形与圆面积之和后，由函数性质可得最小值．
【解答】
设圆半径为，则正方形边长为，．
，
当时，取得最小值．．
故答案为：
5.
【答案】
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】设花卉宽度为，显然，
则草皮面积为，
由，
，
又，故解得，
故答案为：
6.
【答案】
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，解方程即可.
【解答】
设该市这两年生产总值的年平均增长率为,由题意,
所以，故填
7.
【答案】
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
设购买水果的总价为，当时，则恒成立，解得，得到答案.
【解答】
设购买水果的总价为，当时，易知成立；
当，则恒成立，解得恒成立.
当买两盒草莓，即时，取最小值，故取最大值为
故答案为：
8.
【答案】
或
【考点】
函数最值的应用
【解析】
在直角坐标系内,画出函数的图象，利用数形结合思想结合已知求出实数的取值范围．
【解答】
解：在直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：
直线与函数的交点坐标分别为：，，，，
当时，根据图形可知：实数的取值范围为或
故答案为：或．
9.
【答案】
【考点】
函数最值的应用
【解析】
分类讨论，与，结合函数定义及一次函数与二次函数的性质即可得解．
【解答】
解：当，即时，；
当，即或时， ，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，；
综上，，即最小值为
故答案为：．
10.
【答案】
【考点】
函数最值的应用
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：因为，所以是奇函数，其图象关于点对称，若图象上存在四点，，，构成正方形，易知，直线，的斜率存在且不为，且，关于点对称，，关于点对称，设直线，则直线，设，，由得，即①，因为，所以，由解得，由 解得，代入①式得，解得 ，令，则，， ，因为，所以，当且仅当时，有最大值为.
11.
【答案】
【考点】
分段函数的应用
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】由已知函数的定义域为，
因为对于任意实数且，都有成立，所以函数为的增函数，
又,
所以函数在（上为增函数，
且函数在上增函数， ,
所以, ,
所以,
所以的取值范围是,
故答案为： .
12.
【答案】
【考点】
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】方程有三个不同的实数根，
所以直线与函数的图象有个交点，
在直角坐标系中作出的图象，如图，
若要使直线与函数的图象有个交点，数形结合可得，
故答案为：
三、解答题
13.
【答案】
【详解】（）依题意， ，即，
整理得，解得或 （舍），
∴ 企业要成为不亏损企业，每月至少要生产台电机；
（2）由（）可知当时企业亏损，
亏损额，
∴ 当时， 取最大值，
此时，
即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数最值的应用
一元二次不等式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】（）依题意， ，即，
整理得，解得或 （舍），
∴ 企业要成为不亏损企业，每月至少要生产台电机；
（2）由（）可知当时企业亏损，
亏损额，
∴ 当时， 取最大值，
此时，
即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
14.
【答案】
当的长度为米时，矩形的面积最小为平方米
【考点】
根据实际问题选择函数类型
函数模型的选择与应用
基本不等式
【解析】
（1）根据相似关系列出等式即可求解
（2）根据均值不等式即可求解.
【解答】
（1）因为，，所以，
又，所以，即，所以，
所以，
解得或，即的取值范围是；
（2）由知
，
当且仅当时等号成立．
故当的长度为米时，矩形的．积最小为平方米．
15.
【答案】
米
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
函数模型的选择与应用
【解析】
（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得；
（2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得.
【解答】
（1）解：设甲工程队的总造价为 元，
则，
，
当且仅当，即时等号成立，
当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元；
（2）由题意可得，对任意的恒成立，
即有，即在恒成立，
又，
当且仅当即时等号成立，
，又，故
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