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5.3《概率》同步基础练习
一、选择题

1.某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ）
A. B. C. D.

2.从个男生、个女生中任意选派人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A.个都是男生 B.至少有个男生
C.个都是女生 D.至少有个女生

3.从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（ ）
A.恰好有一件次品与全是次品
B.至少有一件次品与全是次品
C.至少有一件次品与全是正品
D.至少有一件正品与至少有一件次品

4.某校文艺部有名学生，其中高一年级有名、高二年级有名.从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，则这名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. B. C. D.

5.已知事件互斥，且，则（ ）
A. B. C. D.

6.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 ,则每次射击击中目标的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

7.洛阳市某中学高二某班有人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．
记事件：“在班级里随机选一人，选到男生”
事件：“在班级里随机选一人，选到团员”
下列说法正确的是（ ）
A.事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”
B.事件与事件互斥
C.，
D.事件与事件相互独立

8.已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若事件与事件是互斥事件，则
C.若事件与事件相互独立，则
D.若，则事件与事件相互独立
三、填空题

9.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人来徐州旅游的概率为______________

10.从长度为、、、、的条线段中任取条，这三条线段能构成一个三角形的概率为_________________．
四、解答题

11.一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号，，，，．从中不放回的依次取出个球，分别记录球上的数字为，记，且．
（1）求事件“”发生的概率；
（2）求事件“”发生的概率．

12.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲 乙 丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.

13.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求投篮结束时，甲、乙各只投个球的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）求投篮结束时，甲只投了个球的概率．

14.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
写出该试验的样本空间；
设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
计算古典概型问题的概率
【解析】
根据（甲，乙）方法得出总的取法的结果，求得符合题意的个数，可求甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率．
【解答】
甲先从袋中摸出一个球，有种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有种可能的结果，
如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：个，
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为个，
甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是
故选：．
2.
【答案】
B
【考点】
随机事件
【解析】
根据题意及必然事件的概念即可得解．
【解答】
从个男生、个女生中任选派人，由于女生只有名，故至少有个男生是必然事件，
故选：．
3.
【答案】
C
【考点】
确定所给事件的对立关系
【解析】
由对立事件的概念逐项判断即可；
【解答】
任取两件所有可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品；
中，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，
所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件；
中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件；
中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件次品与全是正品是对立事件；
中，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品；
至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件．
故选：
4.
【答案】
D
【考点】
写出基本事件
计算古典概型问题的概率
【解析】
列举出样本空间，根据古典概率的计算公式求解.
【解答】
设高一年级的名学生为，高二年级的名学生为，
则从这名学生中随机选名组织校文艺汇演包含的基本事件有：
，共计个，
其中这名学生来自不同年级有，计个，
所以这名学生来自不同年级的概率为
故选：
5.
【答案】
D
【考点】
互斥事件的概率加法公式
利用对立事件的概率公式求概率
【解析】
根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可.
【解答】
由题可知：事件互斥，则，又，
所以，则
故选：
6.
【答案】
D
【考点】
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设该运动员射击一次，击中目标的概率为，则,
解得
故选．
二、多选题
7.
【答案】
A,C
【考点】
互斥事件与对立事件
相互独立事件
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】对于，由于事件不发生当且仅当选到的不是男生，故其对立事件正是“在班级里随机选一人，选到女生”，故正确；
对于，由于存在既是团员也是男生的人，故事件与事件可能同时发生，从而不是互斥事件，故错误；
对于，直接计算即得 ，，故正确；
对于，由于，从而事件与事件不相互独立，故 错误．
故选：．
8.
【答案】
A,C,D
【考点】
互斥事件的概率加法公式
相互独立事件的概率乘法公式
对立事件的概率公式及运用
【解析】
根据对立事件可判断；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断
【解答】
，故正确；
因为事件与事件是互斥事件，所以，故错误；
若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，
所以，故正确；
因为，所以，
所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故正确．
故选：．
三、填空题
9.
【答案】
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
由对立事件和相互独立事件的概率计算公式可得结果.
【解答】
由题意可得人中没有人来徐州旅游的概率为，
所以这段时间内至少有人来徐州旅游的概率为：
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
计算古典概型问题的概率
写出基本事件
【解析】
利用列举法及古典概型概率公式求解即可.
【解答】
取出条线段的情况有，
，共种，
能构成三角形的有，共种，
故概率
故答案为：
四、解答题
11.
【答案】
【考点】
写出基本事件
计算古典概型问题的概率
【解析】
（1）由坐标表示向量的数量积结合古典概率求解可得；
（2）由坐标表示向量的模长结合古典概率求解可得.
【解答】
（1）解：，
所以或，
又不放回的依次取出个球共有
共种情况，
所以事件“”发生的概率为
（2），，
因为，所以，
所以共种情况符合，
所以事件“”发生的概率为
12.
【答案】
【考点】
互斥事件的概率加法公式
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【解答】
（1）解：甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
13.
【答案】
【考点】
相互独立事件
互斥事件与对立事件
【解析】
（1）根据独立事件的概率公式即可求解，
（2）由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出甲获胜的概率．
（3）根据独立事件的概率公式即可求解，
【解答】
（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，则，，，，．
记“投篮结束时，甲、乙各只投个球”为事件，
投篮结束时，甲、乙各只投个球，则第一次甲投，未投中，第二次乙投，投中了，所以概率为
（2）记“甲获胜”为事件，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：
（3）记甲投中的次数为，
14.
【答案】
盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
答案见解析；游戏不公平理由见解析
【考点】
互斥事件的概率加法公式
写出基本事件
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解.
（2）根据红球、黄球、蓝球个数分别为，，，用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；由利用古典概型的概率求解.
【解答】
（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得
盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）由知红球、黄球、蓝球个数分别为，，，用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
由得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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