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6.1《平面向量及其线性运算》同步基础练习
一、选择题

1.在中，，，，则直线通过的（ ）
A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心

2.在中，点为的中点，点为的重心，则（ ）
A. B. C. D.

3.下列关于向量的线性运算，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.

4.在中，点是边的中点，点在上，且是的重心，则用向量、表示为（ ）
A. B.
C. D.

5.如图，向量 , ，则向量可以表示为（ ）
A. B. C. D.

6.如图，在中，若，为上一点，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

7.如图，平行四边形的对角线，交于点，且，点是上靠近点的四等分点，则（ ）
A. B.
C. D.

8.已知，若点满足，则下列说法正确的是（ ）
A.点一定在内部 B.
C. D.点在直线上
三、填空题

9.化简向量运算：____________．

10.已知向量，且与共线，则的值为________．
四、解答题

11.化简下列各式：
（1）；
（2）

12.如图所示，中，，为中点，为上一点，且，的延长线与的交点为
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示，并求出和的值.

13.已知两个不共线向量与，且，，
（1）若，求，的值；
（2）若，，三点共线，求的最大值．

14.在平行四边形中， ，，，为的中点，用，表示.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的加法及其几何意义
根据向量关系判断三角形的心
【解析】
根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定.
【解答】
因为，
设,则，
又，
在的角平分线上，
由于三角形中,
故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，
故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，
故选
2.
【答案】
A
【考点】
向量的加法及其几何意义
三角形的心的向量表示
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
结合重心性质与向量运算化简可得.
【解答】
如图，连接，因为点为的重心，
则为的三等分点，且，
所以，
故选：
3.
【答案】
B
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
向量的加法及其几何意义
向量的减法及其几何意义
【解析】
根据向量的线性运算法则逐项判断.
【解答】
对于，，正确；
对于，，错误；
对于，，正确；
对于，由数乘向量的运算律知，，正确.
故选：
4.
【答案】
B
【考点】
向量的加法及其几何意义
向量的减法及其几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
三角形的心的向量表示
【解析】
根据三角形重心关系有，，即可化简得解.
【解答】
在中，点是边的中点，点在上，且是的重心，
所以，
故选：
5.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
故选：．
6.
【答案】
A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的三角形法则
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】因为所以
由
因，，三点共线，由共线定理推论可得， 解得
故选：．
二、多选题
7.
【答案】
A,C
【考点】
向量的加法及其几何意义
向量的减法及其几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案.
【解答】
由，则，所以，易知，所以，
由点是上靠近点的四等分点，则，
故选：
8.
【答案】
A,B,C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断，再根据面积关系判断、，又平面向量线性运算法则判断
【解答】
由，所以，
设、分别是、的中点，所以，
于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故正确，错误；
又，所以，则，故正确；
由可知，，且，
所以，，即，故正确；
故选：
三、填空题
9.
【答案】
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
根据向量加法的运算法则即可求解.
【解答】
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
向量的物理背景与概念
【解析】
根据平面向量的坐标运算以及两向量共线的坐标表示，列出方程求出的值．
【解答】
解：∵ 向量，
∴ ，
又与共线，
∴ ，
解得．
故答案为：．
四、解答题
11.
【答案】
【考点】
相反向量
向量的加法及其几何意义
向量的减法及其几何意义
【解析】
（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【解答】
（1）解：利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
12.
【答案】
，，
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
（1），再用，表示即可；
（2）设由三点共线，存在，使，可用表示，然后再由，，三点共线有，可求得．有了可得，
把用，表示后可得．
【解答】
（1）解：是线段的一个三等分点（靠近点）.
又为中点，
故
（2）设三点共线，存在，使
由知，
又，，三点共线，，
即
，即
，
，
，．
综上，
13.
【答案】
解：因为，，所以，
又，，，；
，，
由，，三点共线得，存在不为零的数，使得，
即，
所以，，
，，
，
时，取得最大值
【考点】
相等向量与相反向量
【解析】
（1）由已知求得，再根据向量的线性运算可求得答案；
（2）由，，三点共线得，存在不为零的数，使得，继而有，再得，根据二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】
（1）解：因为，，所以，
又，，，；
（2），，
由，，三点共线得，存在不为零的数，使得，
即，
所以，，
，，
，
时，取得最大值
14.
【答案】
解：如图所示，
在平行四边形中，，为的中点，
∴
.
【考点】
向量的三角形法则
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．
【解答】
解：如图所示，
在平行四边形中，，为的中点，
∴
.
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