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6.2《向量基本定理与向量的坐标》同步基础练习
一、选择题

1.两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则（ ）
A. B. C. D.

2.已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.

3.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作轴于点轴于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

4.已知向量不共线，若，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（ ）
A.， B.， C.， D.，

5.平行四边形中，点在边上，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

6.设向量，，则（ ）
A. B.
C. D.与的夹角为

7.双纽线像数字“”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
C.曲线关于直线对称的曲线方程为
D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
三、填空题

8.设是平面内不共线的一组基底，，若三点共线，则实数________________.

9.已知点为的重心，，分别为边，上一点，为的中点，若，，三点共线，且，则的最大值为________.
四、解答题

10.设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．

11.如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．
（1）试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由．
（2）若，试用，表示，．

12.在中，，为所在平面内的两点，，，，，．
（1）以和作为一组基底表示，并求；
（2）为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
中点坐标公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知：线段的中点在直线 上
代入得：
整理可得：
故选：
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【解答】
向量不共线，则，由共线，得，，
于是，则且，解得，
所以实数的值为
故选：
3.
【答案】
D
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
设，，进而得到坐标，应用两点距离及二次函数性质求的最小值.
【解答】
由题设，易得，若，，所以，则，
当时，
故选：
4.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】因为，，三点共线，则存在实数，使得，
即，即，所以，
又因为向量不共线，所以，解得，
所以实数的值互为倒数即可求解．
故选：．
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得解．
【解答】
解：．
故选：．
二、多选题
6.
【答案】
C,D
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
可以求出，，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．
【解答】
解：，，错误；
，，，错误，正确；
，且，
，的夹角为，正确．
故选：．
7.
【答案】
B,C,D
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
令，求出整点的坐标，可判断选项；利用已知和两点距离公式可判断选项；由曲线上关于对称的两点都满足方程，可判断选项；联立直线与曲线解出方程的根，可得实数的取值范围．
【解答】
时，，或或，三个整点，，，无解，共有个整点，错误，，曲线上往取一点到原点的距离﹐正确；
曲线上往取一点关于的对称点为，设，则，在曲线上，，正确．
与曲线一定有公共点，与曲线只有一个公共点，
则，，或，正确
故选：
三、填空题
8.
【答案】
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
借助向量线性运算可得、，再利用向量共线定理计算即可得.
【解答】
，
，
由三点共线，则有，解得
故答案为：
9.
【答案】
【考点】
向量的共线定理
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析 因为点为的重心，所以因为，，三点共线，所以存在，使得，又，所以，则. 由图可知，因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.
四、解答题
10.
【答案】
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.
【解答】
由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即
因为不共线，所以
11.
【答案】
相等向量，理由见解答
，
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
相等向量与相反向量
【解析】
（1）由题意可得：，根据平面几何的知识，结合向量相等分析判断；
（2）根据题意结合向量的线性运算求解.
【解答】
（1）由题意可得：，因为，分别为，的中点，所以，
所以与是相等向量.
（2）由题意可得：；因为，则，
所以
12.
【答案】
解：由，所以为线段上靠近的三等分点，
由，所以为线段的中点，
，
因为，
所以；
为直线上一点，设，
则，
所以
，
因为直线经过的垂心，所以，即，
所以，解得，
所以，
因为，所以，．
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
（1）利用基底法，以和作为一组基底表示即可；
（2）因为直线经过的垂心，所以，即，分别表示出，代入即可．
【解答】
（1）解：由，所以为线段上靠近的三等分点，
由，所以为线段的中点，
，
因为，
所以；
（2）为直线上一点，设，
则，
所以
，
因为直线经过的垂心，所以，即，
所以，解得，
所以，
因为，所以，．
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