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第六章《平面向量初步》单元测试卷
一、选择题

1.在中，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.

2.如图所示，在中，，则（ ）
A. B.
C. D.

3.在如图所示的正六边形中，若，则（ ）
A. B. C. D.

4.己知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

6.已知为不共线的非零向量，，，，则( )
A.，，三点共线 B.，，三点共线
C.，，三点共线 D.，，三点共线

7.在中，设，，为边上靠近的一个三等分点，则（ ）
A. B. C. D.

8.已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题

9.设向量，，若，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.

10.如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（ ）
A. B.
C. D.

11.在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（ ）
A. B.
C. D.

12.在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.的最小值为
C. D.的最小值为
三、填空题

13.已知，，且与关于点对称，则的坐标为 ．

14.已知向量不共线，，，，则实数 ．

15.已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则____________.

16.己知点，若，与交于点，则点的坐标为 .
四、解答题

17.经过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.

18.已知向量，．
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相平行，求的值．

19.设，是两个不共线的向量，，，
（1）若平面内不共线的四点，，，满足，求实数的值；
（2）若，，三点共线，求实数的值.

20.设，，．
（1）试用、表示；
（2）若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求．

21.如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．
（1）试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由．
（2）若，试用，表示，．

22.如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】
根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.
【解答】
在中，为的中点，为的中点，
故选：
2.
【答案】
A
【考点】
向量的减法及其几何意义
向量的加法及其几何意义
【解析】
根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【解答】
根据向量的线性运算法则，可得：
故选：
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的基本定理及其意义
平面向量的坐标运算
【解析】
建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可.
【解答】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设正六边形边长为，
则，
，
由，
则，
所以有，解得，
则
故选：
4.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
向量的物理背景与概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若，则，但此时不存在，使得，故不存在，使得，故前者无法推出后者，
若存在，使得，则共线且同方向，
此时，故后者可以推出前者，
故“”是“存在,使得的必要不充分条件”，
故选：
5.
【答案】
B
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由题意作交于，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【解答】
作交于，连接，则，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：
6.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
【解析】
要证明三点共线，借助向量共线证明即可，由共线向量定理和向量的加减运算可得向量与共线，进而可得答案．
【解答】
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
利用平面的基本定理求解．
【解答】
解：如图所示：
，
故选：．
8.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若、、三点共线，则向量即存在实数，使得，
，
，可得，消去得
即、、三点共线的充要条件为
故选：．
二、多选题
9.
【答案】
A,C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量平行的充要条件列出关于的方程，解之即得的值．
【解答】
解：，，
由，可得，解之得．
故选：．
10.
【答案】
A,C,D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用向量的线性运算法则判断选项，根据点共线，由向量共线定理可知，再利用向量的线性运算法则求解即可判断选项
【解答】
对于选项，由已知条件可知，则正确；对于选项，，则错误；
对于选项，连接，因为是线段的中点，
所以
，则正确；
对于选项，设，点三点共线，则存在，使得,
，
，
所以，消去得，解得，
所以，则正确；
故选：
11.
【答案】
A,C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由得，从而，整理即可判断，；设与交于点，则与相似，可得，，因为，，三点共线，，，三点共线，设，则，求得，求出即可判断，．
【解答】
在平行四边形中，，所以，则，正确，错误；
设与交于点，则在平行四边形中，与相似，
所以，则，即，，
因为，，三点共线，，，三点共线，
设，则，即，
所以，正确，错误．
故选：
12.
【答案】
B,C
【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示
基本不等式
向量的共线定理
【解析】
先利用向量的线性运算判断，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“”的妙用即可得解.
【解答】
如图所示，因为，则，即，
所以，故错误；
又因为，
所以，故正确；
因为三点共线，则，
所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故错误；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故正确.
故选：
三、填空题
13.
【答案】
【考点】
相等向量与相反向量
【解析】
设的坐标为，由，列方程求解即可.
【解答】
设的坐标为，因为与关于点对称，所以．因为，，
所以解得
故答案为：
14.
【答案】
【考点】
向量的共线定理
【解析】
根据平面向量共线向量定理，得出，再由对应向量系数相等，即可求出.
【解答】
因为，所以，，则，解得．故答案为：
15.
【答案】
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据向量平行的定义，列出关于的方程，最后求解方程得出答案.
【解答】
由得，，解得
故答案为：
16.
【答案】
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
设,利用求出,再利用相似得到，进而求到点的坐标.
【解答】
结合题意：设，易得,,由，可得：，
解得，即，
因为，所以,
所以,
所以,即，
解得，即点的坐标为
故答案为：
四、解答题
17.
【答案】
【考点】
中点坐标公式
【解析】
设中点，利用中点坐标公式，确定，坐标之间的关系，将的坐标代入圆的方程，即可求得的轨迹方程．
【解答】
解：设中点，则在圆上，
，
即中点的轨迹方程为．
18.
【答案】
解：因为，，
所以，
所以，
由已知可得，，，
．
，，
由题意可得，，整理可得，
解得．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
【解析】
（1）根据向量的数乘与减法的坐标公式计算可得；
（2）根据向量的夹角的坐标公式求解；
（3）根据向量的平行的坐标表示列方程求的值．
【解答】
（1）解：因为，，
所以，
所以，
（2）由已知可得，，，
．
（3），，
由题意可得，，整理可得，
解得．
19.
【答案】
；
【考点】
向量的共线定理
向量的减法及其几何意义
【解析】
（1）由，根据向量减法的几何意义可得，从而可得，利用平面向量的基本定理即可求解.
（2）利用向量共线定理，将已知代入即可求解.
【解答】
（1），即，
（2）三点共线，
，即，，解得
20.
【答案】
；
，反向，
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）利用平面向量线性运算的坐标表示列式计算即得.
（2）利用共线向量的坐标表示列式计算，并利用模的坐标表示计算即得.
【解答】
（1）设，依题意，，从而，解得，
所以
（2）依题意，，而，由，得，解得，此时与反向，
所以
21.
【答案】
相等向量，理由见解答
，
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
相等向量与相反向量
【解析】
（1）由题意可得：，根据平面几何的知识，结合向量相等分析判断；
（2）根据题意结合向量的线性运算求解.
【解答】
（1）由题意可得：，因为，分别为，的中点，所以，
所以与是相等向量.
（2）由题意可得：；因为，则，
所以
22.
【答案】
【考点】
向量的共线定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“”的妙用即可求解.
【解答】
（1）因为，所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为，，由可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
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