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第四章《指数函数、对数函数与幂函数》单元测试卷
一、选择题

1.设，，是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A. B. C. D.

2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.

3.若幂函数的图象经过点，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.

4.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.

5.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.

6.若，，，则它们的大小关系是（ ）
A. B. C. D.

7.已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A.①④ B.②③ C.②④ D.①②③

8.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

9.设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.

10.已知，现有下面四个命题中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则

11.下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.

12.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题

13.已知，，则 ．

14.不等式的解集为____________

15.函数，且） 的图象过定点．则点的坐标是________.

16.已知函数且）的图象恒过定点，则点的坐标为________.
四、解答题

17.党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．
（1）分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？

18.已知函数为常数，且，若．
（1）求的值；
（2）解不等式．

19.已知幂函数在上是减函数， .
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．

20.已知指数函数，且） 的图象过点.
求ａ的值；
若 ，，求的值；
求不等式的解集．

21.已知幂函数的图象关于轴对称，集合.
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

22.某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备．已知购买该新型设备需要万元，之后每生产万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，产量不同其费用也不同，且 已知每件产品的售价为元且生产的该产品可以全部卖出．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
有理数指数幂
【解析】
利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答】
解：，，是正整数，且，
，正确，
显然，正确，
而，正确．
故选：．
2.
【答案】
B
【考点】
对数函数的定义域
【解析】
使得式子有意义，列出不等式即可求解．
【解答】
解：定义域要求，即
故选：．
3.
【答案】
D
【考点】
幂函数的图像
【解析】
设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可得出选项．
【解答】
解：设，函数图像经过，
可得，解得，
所以
故选：．
4.
【答案】
A
【考点】
指数函数单调性的应用
【解析】
利用指数函数的单调性求解．
【解答】
解：，，，
函数在上单调递增，且，
，即．
故选：．
5.
【答案】
A
【考点】
指数函数单调性的应用
【解析】
由指数的性质比较，，的大小．
【解答】
解：由，
所以
故选：．
6.
【答案】
A
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
利用函数和的单调性即可比较．
【解答】
解：因为在上单调递增，所以，即，
又在上单调递减，所以，即，
综上，．
故选：．
7.
【答案】
B
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由幂函数的定义可知，解得，将点代入函数得，解得，所以，①错误；
因为定义域为，且，所以为奇函数，②正确；
由幂函数的图象可知，在上单调递增，③正确；
因为，所以，④错误，
综上可知，②③正确．
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
对数函数的单调区间
复合函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解析】对于函数 ，，
解得或，
故函数的定义域为，
函数的开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知， 的单调递增区间是．
故选：.
二、多选题
9.
【答案】
A,C
【考点】
对数的运算性质
【解析】
根据对数的运算法则及性质逐一判断各选项即可．
【解答】
解：对于，，故正确；
对于， ，故错误；
对于， ，故正确；
对于， ，故错误．
故选：．
10.
【答案】
A,B
【考点】
指数式与对数式的互化
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】当时，由，可得，则，此时，所以正确；
当时，由，可得
则，所以正确．
故选：．
11.
【答案】
A,D
【考点】
对数值大小的比较
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于：由在 上单调递减，
得
故
即．故正确；
对于 由在 上单调递减，得，故错误；
对于
故，故错误；
对于 ，∴
又 ，
∴ 故，故正确．
故选：．
12.
【答案】
A,B,D
【考点】
基本不等式
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意可得，正确．因为，所以，当且仅当时，等号成立，正确．，当且仅当，即时，等号成立，错误．正确．
三、填空题
13.
【答案】
【考点】
换底公式的应用
对数及其运算
【解析】
先根据题意求出，再代入原式，再根据对数的运算性质，对数的换底公式即可求解．
【解答】
由，则，则
．
故答案为：．
14.
【答案】
【考点】
对数的运算性质
对数函数的单调区间
【解析】
对原不等式整理可得，结合对数函数性质分析求解.
【解答】
因为，且，
若，即，
则，解得，
所以不等式的解集为
故答案为：
15.
【答案】
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】当，即时，
所以函数的图象过定点
故答案为：
16.
【答案】
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
令，得，则，所以点的坐标为
四、解答题
17.
【答案】
，
产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
【考点】
幂函数的实际应用
函数模型的选择与应用
【解析】
（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解.
【解答】
（1）解：设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，所以，
当时，，此时
故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
18.
【答案】
解： 函数，，
，
；
由（1）知，
由，得
，即，
的解集为
【考点】
指数函数单调性的应用
【解析】
（1）由即得；
（2）利用指数函数的单调性即求．
【解答】
（1）解： 函数，，
，
；
（2）由（1）知，
由，得
，即，
的解集为
19.
【答案】
【详解】（）由函数为幂函数得
解得或，又函数在上是减函数，则，即
所以 ，
（2）由（）得，所以不等式为
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以 解得，所以实数的取值范围是
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】（）由函数为幂函数得
解得或，又函数在上是减函数，则，即
所以 ，
（2）由（）得，所以不等式为
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以 解得，所以实数的取值范围是
20.
【答案】
解：（）函数，且）的图象过点，
所以，解得．又，故的值为.,
（2）由（）知， ,因为, ，即, ,
所以， ,
，
（3）不等式，因为，所以,
因为， 在上单调递减函数，所以，解得，所以不等式的解集为
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
指数函数的性质
指数函数单调性的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（）函数，且）的图象过点，
所以，解得．又，故的值为.,
（2）由（）知， ,因为, ，即, ,
所以， ,
，
（3）不等式，因为，所以,
因为， 在上单调递减函数，所以，解得，所以不等式的解集为
21.
【答案】
由幂函数的定义可得，，解得或，
又∵ 函数的图象关于轴对称，∴ 函数为偶函数，∴ .
（2）由（）可知，
当时， ，即,
∵ 是成立的充分不必要条件，∴ ，
∴ ，解得，即实数的取值范围.
【考点】
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由幂函数的定义可得，，解得或，
又∵ 函数的图象关于轴对称，∴ 函数为偶函数，∴ .
（2）由（）可知，
当时， ，即,
∵ 是成立的充分不必要条件，∴ ，
∴ ，解得，即实数的取值范围.
22.
【答案】
解：（）当时，
当时，
故
当时，，
所以当时，取得最大值，且最大值为；
当时，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
综上，当该产品年产量为万件时，年利润最大，最大利润为万元．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：（）当时，
当时，
故
（2）当时，，
所以当时，取得最大值，且最大值为；
当时，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
综上，当该产品年产量为万件时，年利润最大，最大利润为万元．
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