资源简介

2026届高考三月适应性监测试题
高三数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|（x+2）（x﹣1）≥0}，则 UA＝（ ）
A．（﹣1，0） B．{﹣1，0} C．{0} D．（﹣2，1）
2．已知 ，则 sinβ﹣cosβ＝（ ）
A． B． C． D．
3．若复数 z满足 z＝2i﹣iz，则复数 z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 A，B及动点 P，若 （λ＞0且λ≠1），
则点 P的轨迹是个圆．在平面直角坐标系中，已知 O（0，0），A（3，0），若直线 上
存在点 M与点 O，A的距离之比为 ，则实数 b的取值范围是（ ）
A．（﹣5，3） B．[﹣5，3] C．（﹣3，5） D．[﹣3，5]
5．已知 3是 a与 b的等差中项，1是 a与 b的等比中项，则 a2+b2＝（ ）
A．8 B．9 C．16 D．34
6．如图，设 ，线段 DE与 BC交于点 F，且 ，则
的最小值为（ ）
1
A．8 B．9 C． D．
7．掷一枚均匀的骰子 2次，记出现的点数分别为 a，b，令 X＝min{a，b}，则 X的数学期望 E（X）＝（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥 A﹣BCD中，△BAC和△BDC是边长为 2的等边三角形，且平面 ABC⊥平面 BCD，该三棱
锥外接球的表面积为（ ）
A．4π B． C．8π D．
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．某商务局统计了一展销活动连续 10天的日销售额（单位：万元），依次为：2.5，2.0，2.3，2.1，2.9，2.5，
2.1，2.3，2.8，2.5，则（ ）
A．该组数据的极差为 0.8
B．该组数据的 30%分位数为 2.2
C．若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的平均数变小
D．若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的方差变大
10．如图，棱长为 2的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 P为线段 BC1上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥 D1﹣ADP的体积不是定值
B．平面 PBD1⊥平面 AB1C
C．平面 A1BC1与平面 ABCD所成二面角的余弦值为
D．若 ，则过 P，D，B1三点的平面截正方体所得截面的面积为
11．已知 A，B，C是抛物线W：y2＝28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线 l为抛物线W的准线，
AB的中点为 P（m，n），则（ ）
A．当 m＝9时，|AB|的最大值为 32
B．当 m＝8时，|CP|+|CF|的最小值为 22
C．当 n＝5时，直线 AB的斜率为
D．当 A，F，B三点共线时，点 P到直线 l的距离的最小值为 14
2
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．若正六棱柱的高为 3，底面边长为 2，则这个正六棱柱体积为 ．
13．从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线会经过另一个焦点，且椭圆在反射点处的切
线与法线垂直，入射光线与反射光线关于法线对称．现有一光线从椭圆 的右
焦点 F2发出，经椭圆上的点 P反射至左焦点 F1．若坐标原点 O到椭圆在 P处的切线 l的距离为 ，
且|PF1|＝2b，则 C的离心率为 ．
14．设 a∈R，函数 ，若 f（ x）恰有两个零点，则 a的取值范围
为 ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（ 13分 ） 已 知 ， （ ω＞ 0， x∈R），
，且 f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求函数 f（x）的单调递增区间；
（2）若锐角△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，f（B）＝0，求△ABC面积的
最大值．
16．（15分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，且焦距为 4，左顶点
为 E，过右焦点 F2的动直线 l交 C于 A，B两点，当 l垂直于 x轴时，|AB|＝6．
（1）求 C的方程；
（2）若动直线 l与 C的左支交于点 A，右支交于点 B，求 的取值范围．
3
17．（15分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AB∥CD，且 CD＝2，PA＝AB＝BC＝1，
AB⊥BC．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求平面 PCD与平面 PAB的夹角；
（3）在线段 PB上是否存在一点 M，使得直线 PC与平面 ADM垂直，如果垂直，求此时点 M到平面
PCD的距离，如果不垂直，说明理由．
18．（17分）已知数列{an}共 n（n≥2）项，对于{an}中的项 at（2≤t≤n），若对任意的 k＜t，都有 ak＜at，
则称 at为{an}中的一个“局部 max一项”，记 M是{an}中所有“局部 max一项”组成的集合．
（1）已知数列{an}共 5项，且 a1＝1，|am﹣am﹣1|＝1（2≤m≤5）．
（i）若{an}为 1，2，1，2，3，求 M；
（ii）若 am﹣am﹣1的值为 1和﹣1的概率均为 ，记 M中有 X个元素，求 E（X）．
（2）若数列{an}满足 a1＝1，an为大于 1的偶数，|am﹣am﹣1|≥1（2≤m≤n），n≥an+3，an∈M，求 M
中元素个数的最大值．（结果用 n和 an表示）
19．（17分）已知函数 f（x）＝sin（cx）+lnx﹣ax，g（x）＝ex﹣ax﹣bsinx（a，b，c∈R）．
（1）当 c＝0时，讨论 f（x）的单调性；
（2）当 时，试求出正整数 a的最小值，使 f（x）存在唯一的极值点；
（3）若 g（x）在（0，+∞）上有零点，求证： ．
4
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D D D D D
二．多选题
题号 9 10 11
答案 BC BCD ACD
三．填空题
12． ．
13． ．
14． ．
四．解答题
15．解：（1）由已知
，
又 f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，
可得 ，可得 T＝π ，解得ω＝1，
所以 ，
令 ，
解得 ，
即函数 f（x）的单调递增区间为 ；
5
（2）因为 ，f（B）＝0，
所以 ，
所以 ，
又 0＜B＜π，所以 ，得 ，
由正弦定理 ，
可得 a＝2sinA，c＝2sinC，
所以 S△ABC acsinB 2sinA 2sinC sinAsin（A ）
sinA（ sinA cosA）
sin2A sinAcosA
sin2A
（ sin2A cos2A）
sin（2A ） ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 2A ，
解得 ，
此时△ABC面积的最大值为 ．
16．解：（1）设 c2＝a2+b2，由题意知，焦距为 4，故 c＝2，
所以 F1（﹣2，0），F2（2，0），
又因为当 l垂直于 x轴时，|AB|＝6，所以可得 A（2，3）．
把 A（2，3）代入 C中得， ①，又 a2+b2＝4②，
则联立①②方程解得，a2＝1，b2＝3．
所以双曲线 C的方程为 ．
（2）如图，由双曲线 C的性质可得：|EF1|＝c﹣a＝1，|EF2|＝c+a＝3．
6
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ， ，
所以 ．
设 lAB：x＝my+2，联立 ，消去 x得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
则Δ＝（12m）2﹣4×（3m2﹣1）×9＝36m2+36＞0恒成立，
所以 ， ，
由于 l与 C交于异支，则 y1y2＞0，解得： ；
又 ，
且 ．
令 ，且 t＞1，则 ，解得 t＞3，
所以 ，
所以 的取值范围为（1，+∞）．
17．解：（1）证明：取 N为 CD中点，则 AB＝NC＝1，AB∥NC，AB⊥BC，
故四边形 ABCN为矩形，则 AN⊥AB，
以点 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），D（1，﹣1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
， ，
7
则 ，故 ，即 AD⊥PC；
（2）平面 PAB的一个法向量为 ，
设平面 PDC的一个法向量为 ， ，
则取 a＝1可得 ，
，
由图象可知，平面 PDC与平面 PAB所成二面角的平面角为锐角，
故平面 PDC与平面 PAB所成二面角为 ；
（3）假设存在，设 M（0，a，1﹣a），PC⊥平面 ADM，AM 平面 ADM，
故 PC⊥AM，
， ，
，
解得 ， ，
此时 PC⊥AM，AD⊥PC，AM∩AD＝A，AM，AD 平面 ADM，
故 PC⊥平面 ADM，
M到平面 PCD的距离为 ．
18．解：（1）（i）根据题意可得 M＝{2，3}．
（ii）由题意可得{a 4n}有 2 ＝16种情况，X的所有可能取值为 4，3，2，1，0，
若 X＝4，则只有 1种情况，即当 m＝2，3，4，5时，am﹣am﹣1＝1，所以 ．
8
若 X＝3，则只有 1种情况，即当 m＝2，3，4时，am﹣am﹣1＝1，当 m＝5时，am﹣am﹣1＝﹣1，所以
．
若 X＝2，则有以下情况：
当 m＝2，3时，am﹣am﹣1＝1，当 m＝4时，am﹣am﹣1＝﹣1，当 m＝5时，am﹣am﹣1＝1或﹣1；
当 m＝2时，am﹣am﹣1＝1，当 m＝3时，am﹣am﹣1＝﹣1，当 m＝4，5时，am﹣am﹣1＝1；
当 m＝2时，am﹣am﹣1＝﹣1，当 m＝3，4，5时，am﹣am﹣1＝1，共 4种情况，
所以 ．
若 X＝1，则有以下情况：
当m＝2时，am﹣am﹣1＝1，当m＝3时，am﹣am﹣1＝﹣1，当m＝4时，am﹣am﹣1＝1，当m＝5时，am﹣am﹣1
＝﹣1；
当 m＝2时，am﹣am﹣1＝1，当 m＝3，4时，am﹣am﹣1＝﹣1，当 m＝5时，am﹣am﹣1＝1或﹣1；
当 m＝2时，am﹣am﹣1＝﹣1，当 m＝3，4时，am﹣am﹣1＝1，当 m＝5时，am﹣am﹣1＝﹣1，共 4种情
况，
所以 ，
则 P（X＝0）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4） ，
．
（2）因为 n≥an+3，an为大于 1的偶数，所以 n≥5．要使M中元素的个数取得最大值，则{an}中的项
尽可能多的是“局部 max一项”，
即 1至 an之间的整数从小到大依次是{an}中的项．
不妨设 M中元素的个数取得最大值时，除整数“局部 max一项”外，其余“局部 max．项”都在区间
（an﹣1，an）内．
记 M中元素的个数为 k，在区间（an﹣1，an）内的“局部 max一项”有 x个，除 1外的非“局部 max
一项”有 y个，则 x+y+an＝n①，
k＝an﹣1+x．
因为|am﹣am﹣1|≥1，所以 y≥x+1，结合①可得 ，
则 ，
an为大于 1的偶数，k为整数，当 n（n≥5）为奇数时， 为整数，此时 M中元素个数的最大值
9
为 ．
当 n（n≥6）为偶数时， 不是整数，满足 的最大整数为 ，此时M中元素个数
的最大值为 ．
综上，当 n（n≥5）为奇数时，M中元素个数的最大值为 ；当 n（n≥6）为偶数时，M中元素个
数的最大值为 ．
19．解：（1）当 c＝0时，函数 f（x）＝lnx﹣ax，其定义域为（0，+∞），求导得 ，
当 a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当 a＞0时，令 f′（x）＝0，解得 ，
当 时，f′（x）＞0，即 f（x）在 上单调递增；
当 时，f′（x）＜0，f（x）在 上单调递减．
综上，当 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时， ，
设 ，x＞0，
1°当 a＝1时， ，
易 知 φ（ 1） ＝ 0， 且 x∈（ 0， 1） 时 ， ， x∈（ 1， 2） 时 ，
，
则 f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故 1为 f（x）的极大值点，
而 ，
，
则存在 x0∈（2，4），使φ（x0）＝f′（x0）＝0，即 x0应为 f（x）的另一极值点，故 a＝1时不成立；
2°当 a＝2时， ，则 ，
①当 x∈（0，2]时， ， 恒成立，
10
所以φ（x）在（0，2]上单调递减，
又 ，φ（1）＝﹣1＜0，所以φ（x）在（0，2]内存在唯一零点 ，
即 f（x）在（0，2]内存在唯一极值点 x1；
②当 x∈（2，3）时， ，所以 ，则 ，
故 f（x）在（2，3）上单调递减，无极值；
③当 x∈[3，+∞）时， ，则 ，
故 f（x）在[3，+∞）上单调递减，无极值．．
故 a＝2符合要求．
综上，正整数 a的最小值为 2，使 f（x）存在唯一的极值点．
（3）证明：g（x）在（0，+∞）上有零点，所以 g（x）＝ex﹣ax﹣bsinx＝0，
即 ax+bsinx﹣ex＝0有实数根，
设 g（x）在（0，+∞）上的零点为 t＞0，则 at+bsint﹣et＝0，
则点（a，b）为直线 tx+ysint﹣et＝0上一点，
所以 表示点（a，b）到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线 tx+ysint﹣et＝0的距离，
即 ，即 ，
不妨设 u（t）＝sint﹣t，t＞0，则 u′（t）＝cost﹣1≤0，
所以函数 u（t）在（0，+∞）上单调递减，则 u（t）＝sint﹣t＜u（0）＝0，
即 sint＜t，又 sint∈[﹣1，1]，则 ，
设 ，t＞0，则 ，
令 v′（t）＜0，得 0＜t＜1，令 v′（t）＞0，得 t＞1，
所以函数 v（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则 ，即 ．
11

展开更多......

收起↑